七年级一元一次方程解决实际问题及分析答案最新整理.docx
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七年级一元一次方程解决实际问题及分析答案最新整理
1、列方程解行程问题
类型
基本数量关系
备注
行程问题
相遇问题
(相向运动)
路程=速度×时间
甲走的路程+乙走的路程=两地的路程
追及问题
(同向运动)
①同地不同时出发:
前者走的路程=后
者走的路程
②同时不同地出发:
前者走的路程+两地走的距离=追及者走的路程
水流问题
①顺水速度=静水速度+水流速度
②逆水速度=静水速度—水流速度
1
③水流速度=(顺水速度—逆水速
2
度)
顺风和逆风问题与其类似
火车过桥等问
题
桥长+车长=速度×时间
例1:
甲乙两地相距1500千米,两辆汽车同时从两地相向而行,其中吉普车每小时60千米,是另一辆客车的1.5倍。
①几小时后两车相遇?
②若吉普车先开40分钟,那客车开出多长时间两车相遇?
分析:
若两车同时出发,则等量关系为:
吉普车的路程+客车的路程=1500
①解:
设两车x小时后相遇,根据题意得
60x+(60÷1.5)x=1500
解得:
x=15
答:
15小时后两车相遇。
②分析:
吉普车先出发40分钟,则等量关系式为:
吉普车先行路程+吉普车后行路程+客车行驶路程=1500,即吉普车行驶路程+客车行驶路程=1500。
解:
设客车开出x
小时后两车相遇,根据题意得
60⨯(2+x)+(60÷1.5)x=1500
3
解得x=14.6
答:
客车开车14.6小时后两车相遇。
例2、甲乙两名同学练习百米赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,如果甲让乙先跑1秒,那么甲经过几秒可以追上乙?
分析:
甲让乙先跑1秒,则等量关系为:
乙先跑的路程+乙后跑的路程=甲跑到路程,也就是乙跑的路程=甲跑的路程。
解:
设甲经过x秒追上乙,根据题意得
6.5(x+1)=7x
解:
得x=13
答:
甲经过13秒后追上乙。
例3、小明、小亮两人相距40km,小明先出发1.5h,小亮再出发,小明在后小亮在前,两人同向而行,小明的速度是8km/h,小亮的速度是6km/h,小明出发后几小时追上小亮?
分析:
小明快,小亮慢,两人同向而行,等量关系式为:
小明走的路程—小亮走的路程=相距路程解:
设小明出发后x小时追上小亮,根据题意得
8x-6(x-1.5)=40
解得x=15.5
答:
小明出发后15.5小时追上小亮
例4、一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶,用了2小时,从乙码头返回甲码头,逆水行驶,用了2.5小时,已知水流速度是3千米/时,求船在静水中的速度。
分析:
水流存在如下相等关系:
顺水速度=船在静水中的速度+水流速度,逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。
由顺水行程=逆水行程可列方程.
解:
设船在静水中的速度为x千米/时,则船在顺水中的速度为(x+3
)千米/时,根据题意得
2(x+3)=2.5(x-3)
解得x=27
答:
船在静水中的速度为27千米/时。
)千米/时,船在逆水中的速度为(x-3
例5、一轮船在A、B两地之间航行,顺水航行用3h,逆水航行比顺水航行多用30min,轮船在静水中的速度是26km/h,问水流的速度是多少?
分析:
分析同例题4,水流存在如下相等关系:
顺水速度=船在静水中的速度+水流速度,逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。
由顺水行程=逆水行程可列方程.
解:
设水流的速度是x
根据题意得
km/h,则船在顺水中的速度为(26+x)km/h,船在逆水中的速度为(26-x)km/h.
3(26+x)=3.5(26-x)
解得x=2
答:
水流的速度是2km/h。
例6、甲乙两人参加环形跑道竞走比赛,跑道一周长400m,乙的速度是80m/min,甲的速度是乙的速度的1.25
倍,若现在甲在乙前面100m处,多少分钟后,两人第一次相遇?
分析:
甲走的路程—乙走的路程=两人相距的距离
解:
设xmin后两人第一次相遇,根据题意得
(80⨯1.25)x-80x=400-100
解得x=15
答:
15分钟后两人第一次相遇。
2、列方程解工程问题
类型
基本数量关系
备注
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
若无工作总量常设工作总量为1(各部分工作量
之和=1)
例1、一件工作,甲做9天可以独立完成,乙做6天可以独立完成,现在甲先做了3天,余下的工作由乙独立完成,乙需要做几天可以完成全部的工作?
11
分析:
如果把总工作量设为1,则甲的工作效率为,乙的工作效率为,根据工作总量=甲完成的工作量+
乙完成的工作量解:
设乙需要做x
1⨯3+1⨯x=1
96
解得x=4
96
天可以完成全部的工作,根据题意得
答:
乙需要做4天可以完成全部的工作。
例2、整理一批图书,由一个人做需要40小时完成,现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们
一起做8小时,完成这项工作,假设这些人的工作效率完全相同,具体应先安排多少人工作。
1
分析:
把工作总量看成1,则人均效率为
40
8
,有x
4
个人先做4小时的工作量为x
40
,(x+2)
个人8
小时的工作量为
(x+2)
40
,由两部分的工作总量为1,可列方程。
解:
设具体应先安排x
个人工作,根据题意得
4x+8(x+2)=1
4040
解得x=2
答:
具体应先安排2个人工作。
例3、一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?
分析:
等量关系为:
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1解:
设打开丙管后x小时可注满水池,由题意知
(1+1)(x+2)-x=1689
解得x=24
13
答:
打开丙管后24小时可注满水池。
13
3、列方程营销问题
类型
基本数量关系
备注
营销问题
①商品利润=商品售价—商品进价=商品进价×商品利润率
②商品利润率=(商品利润÷商
品进价)×100%
③售价=进价×(1+利润率)
①牢记各个量之间的换算关系
②抓住价格升价对利润率的影响
同时需要了解类似的储蓄问题:
顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.
利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息
利息
利率=
⨯100%
本金
利息税=利息×税率
例1、某商品的售价为每件900元,商店按售价的9折再让利40元销售,此时仍可获利10%,此商品的进价是多少元?
分析:
题中的等量关系为:
商品利润=商品售价—商品进价=商品进价×商品利润率
设商品的进价为x元,商品售价—商品进价=900×90%—40—x=商品进价×商品利润率=10%x
解:
设此商品的进价为x
元,根据题意得
900⨯90%-40-x=10%x
解得x=700
答:
设此商品的进价为700元
例2、某商场在一段时间里以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
总售价120与总成本的关系
盈利还是亏损
120〉总成本
盈利
120〈总成本
亏损
120=总成本
不盈不亏
解:
设盈利25%的衣服进价为x
(1+0.25)x=60
解得x=48
元,由题意知:
设亏损25%的衣服进价为y
(1-0.25)x=60
解得y=80
元,由题意知:
两件衣服的进价是x+y=48+80=128
两件衣服的售价是60+60=120(元)
(元)
120-128=-8
(元)
答:
在这次买卖中商场亏损10元。
例3、某商品月末的进货价比月初的进货价下降8%,而销售价不变,这样利润率月末比月初高10%问月初的利润率是多少?
分析:
利用售价=进价×(1+利润率),再根据“月初售价=月末售价”列方程。
注意:
本题未知月初进货价,可以设一个,也可以看着整体1
解:
设月初进货价为a
元,月初利润率为x
,则月初的销售价为a(1+x)元,
月末进货价为a(1-8%)
元,月末销售价为a(1-8%)[1+(x+10%)]
元,由题意知:
a(1+x)=a(1-8%)[1+(x+10%)]
解得x=0.15
答:
月初的利润率为15%。
例4、例某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品?
分析:
根据商品利润率=(商品利润÷商品进价)×100%=[(商品售价—商品进价)÷商品进价]×100%
解:
设售货员最低可以打x
3000x-2000=5%
2000
解得x=0.7
折出售此商品,则
答:
售货员最低可以打7折出售此商品。
例5、某企业生产一种产品,每件成本价是400元,销售价是510元,本季度销售了m件,为进一步扩大市场,该企业决定在降低售价的同时降低生产成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?
分析:
降价前利润总额=m(降价前的销售价-降价前的成本价)
降价后的利润总额=m(1+10%)
(降价后的销售价-降价后的成本价),根据降价前利润总额=降价后的利
润总额可列方程。
解:
设该产品每件的成本价应降低x元,则
[510⨯(1-4%)-(400-x)]⨯(1+10%)m=(510-400)m
解得x=10.4
答:
该产品每件的成本价应降低10.4元。
4、列方程解比例问题
类型
基本数量关系
备注
按比例分配问题
甲:
乙:
丙=a:
b:
c
全部数量=各种成分的数量之和
例1:
男女生有若干人,男生与女生人数之比为4:
3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2
倍.求原来的男生和女生的人数
分析:
本题的等量关系为:
女生人数—走了的人数=男生人数的一半。
解:
设,原来男生的人数为x人,则女生的人数为3x人,由题意知
4
x=2(3
4
x-12)
解得x=48
3x=3⨯48=36
44
答:
原来男生的人数为48人,女生的人数为36人。
例2、洗衣厂今年计划生产洗衣机25500台,其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1:
2:
14,这三种洗衣机计划各生产多少台?
分析:
全部数量=三种型号的洗衣机型号的数量之和
解:
设Ⅰ型洗衣机计划生产x
知
x+2x+14x=25500
解得x=1500
台,则Ⅱ型洗衣机计划生产2x
台,Ⅲ型洗衣机计划生产14x
台,由题意
2x=2⨯1500=3000台
14x=14⨯1500=21000台
答:
Ⅰ型洗衣机计划生产1500台,则Ⅱ型洗衣机计划生产3000台,Ⅲ型洗衣机计划生产21000台。
5、列方程解配套问题
解决这类题的基本等量关系是:
加工(或生产)的总量成比例。
例1、某车间有100名工人每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个,要使每天加工螺栓和螺母(一个螺栓配两个螺母)应如何分配加工螺栓和螺母的工人?
分析:
本题中要求:
加工螺母的总个数=2×加工螺栓的个数
解:
设分配x
人加工螺栓,则加工螺母的为(100-x)
人,由题意知:
24(100-x)=2⨯18x
解得x=40
100-x=100-40=60
答:
分配40
人加工螺栓,60
人加工螺母。
例2:
机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
分析:
本题的等量关系为:
加工的大齿轮数量÷2=加工的小齿轮数量÷3
解:
设分配x名工人加工大齿轮,则加工小齿轮的有85-x名工人,由题意知
16x÷2=10(85-x)÷3
解得x=25
85-x=85-25=60
答:
应分配25名工人加工大齿轮,60名工人加工小齿轮。
6、比赛问题
这类问题的等量关系有:
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分
例1、在一次有12支球队参加的足球循环赛中(每两队必须比赛一场),规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多2,结果得18分,那么该队胜了多少场?
解:
设该队胜x
场,则该队负(x-2)
场,该队平的场数为11-x-(x-2)=13-2x
,由题意知
3x+(13-2x)=18
记得x=5
答:
该队胜了5场.
例2、某学校七年级8个班进行足球友谊赛,采用胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分的记分制。
某班与其他7个队各赛1场后,以不败的战绩积17分,那么该班共胜了几场比赛?
解:
设设该班共胜了x场比赛,则平了(7-x)
场,由题意知
3x+(7-x)=17
解得x=5
答:
该班共胜了5场比赛。
7、方案决策问题
例1、某商场在2009年元旦期间搞促销活动,一次性购物不超过200元不优惠;超过200元,但不超过500元,按9折优惠,超过500元,超过部分按8折优惠,其中的500元仍按9折优惠。
某人两次购物分别用了134元和466元:
①此人两次购物,若物品不打折,值多少钱?
②此人两次购物共省多少钱?
③将两次购物的钱合起来,一次购买相同的商品,是否更节省?
说明理由。
本题的优惠实质分为两个等级:
(1)中首先应判断134元的商品是否给予优惠,466元的商品应该是如何优惠的,(3)中应计算买相同的商品付款数为多少,然后与(133+466)元进行比较。
解:
因为200⨯0.9=180
,134〈180,所以134元的商品未优惠。
又500⨯0.9=450〈466
,故购466元的商品有两种优惠。
设其售价为x
元,由题意知‘
500⨯0.9+0.8(x-500)=466
解得x=520
134+520=654
所以如果不打折,则分别值134和520元,共值654元。
(2)654-(134+466)=54
(元)
答:
此人两次购物节省54元。
(3)654元的商品优惠价为500⨯0.9+0.8(654-500)=573.2
(元)
(134+466)-573.2=26.8
(元)
答:
若买相同的物品,则合起来购买更省钱,节省26.8元。
例2、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案.
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
(1)①当选购A,B两种电视机时,B种电视机购(50-x)台,可得方程
1500x+2100(50-x)=90000
5x+7(50-x)=300
2x=50
x=2550-x=25
②选购A,C两种电视机时,C种电视机购(50-x)台,可得方程1500x+2500(50-x)=90000
3x+5(50-x)=1800x=35
50-x=15
③当购B,C两种电视机时,C种电视机为(50-y)台.可得方程
2100y+2500(50-y)=90000
21y+25(50-y)=900
4y=350,不合题意
由此可选择两种方案:
一是购A,B两种电视机25台;二是购A种电视机35台,C种电视机15台.
(2)若选择
(1)中的方案①,可获利150×25+250×15=8750(元)
若选择
(1)中的方案②,可获利150×35+250×15=9000(元)9000>8750
故为了获利最多,选择第二种方案.
例3、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其
中团体票占总票数的2,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,
3
共售出团体票的3
5
;零售票每张16元,共售出零售票的一半.如果在六月份内,团体票按每
张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
解:
设总票数a张,六月份零售票按每张x元定价
12(3⨯2a)+16⎡1⨯(1-2)a⎤=16⨯⎡(1-3)⨯2a⎤+⎡1⨯(1-2)a⎤x
53⎢⎣23⎥⎦
⎣⎢53⎥⎦
⎢⎣23⎥⎦
解得x=19.2
答:
零售票应按每张19.2元定价,才符合要求。
8、分段计费问题
例1、某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下:
第一档电量
第二档电量
第三档电量
月用电量210度以下,每度价
格0.52元
月用电量210度至350度,每
度比第一档提价0.05元
月用电量350度以上,每度比
第一档提价0.30元
(1)如果按此方案计算,小华家5月份的电费为138.84元,请你求出小华家5月份的用电量;
(2)以此方案请你回答:
若小华家某月的电费为a元,则小华家该月用电量属于第几档?
分析:
(1)分别计算出用电量为210度,350度时需要交纳的电费,然后可得出小华家5月份的电量在哪一档上,从而列示计算即可;
(2)根据
(1)求得的结果,讨论a的值,得出不同的结论.
解:
(1)用电量为210度时,需要交纳210×0.52=109.2元,用电量为350度时,需要
交纳210×0.52+(350﹣210)×(0.52+0.05)=189元,故可得小华家5月份的用电量在第二档,
设小华家5月份的用电量为x,则210×0.52+(x﹣210)×(0.52+0.05)=138.84,解得:
x=262,即小华家5月份的用电量为262度.
(2)由
(1)得,当a≤109.2时,小华家的用电量在第一档;当109.2<a≤189时,小华家的用电量在第二档;当a>189时,华家的用电量在第三档;
例2、某城市按以下规定收取每月的水费:
用水量如果不超过6吨,按每吨1.2元收费;如果超过6吨,未超过的部分仍按每吨1.2元收取,而超过部分则按每吨2元收费.如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元,那么该用户5月份应交水费多少元?
分析:
水费平均为每吨1.4元大于1.2,说明本月用水超过了6吨,那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费.根据这个等量关系列出方程求解
解:
设该用户5月份用水x吨,
则1.2×6+(x﹣6)×2=1.4x,7.2+2x﹣12=1.4x,0.6x=4.8,x=8,1.4×8=11.2(元),
答:
该用户5月份应交水费11.2元.
例3、某市居民生活用电基本价格为每度0.40元,若每月用电量超过a度,超过部分按基本电价的70%收费.
(1)某户5月份用电84度,共交电费30.72元,求a的值.
(2)若该户6月份的电费平均每度为0.36元,求6月份共用电多少度应该交电费多少元?
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