工程数值方法课件第一章13节doc.docx
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工程数值方法课件第一章13节doc
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工程数值方法
学习内容:
Chi线性代数方程组的数值解法
Ch2插值问题与数值微分
Ch3数值积分方法
Ch4常微分方程(组)初值问题的数值方法
Ch5常微分方程(组)边值问题的数值方法
Ch6椭圆型偏微分方程的数值方法
Ch7加权残值方法
参考书目:
武大,山大编;《计算方法》,高教版
林成森,数值计算方法(上,下),科学出版社,2000
屮科院研究生数学丛书,工程屮的数值方法,科学出版社,2000曾绍林,工程数学基础(研究生数学丛书),科学出版社,2001李庆扬,数值分析基础教程,高等教育出版社
李庆扬,数值分析(第4版),清华版
关治,数值计算方法,清华版
李岳生,黄有谦,数值逼近,高教版
李荣华编,微分方程数值解法,人教版
[10]邱吉宝,加权残值法的理论与应用,宇航版
Chapter1线性代数方程组的数值解法
线性代数方程组的求解是工程实践中最常遇到的问题。
据不完全统计,在工程实践中提出的计算问题中,有近一半涉及到求解线性方程组。
例如,结构有限元分析问题,大地测量问题,气象预报问题,电力传输网分析问题,各种电路分析问题,数据拟合问题,以及非线性方程组与微分方程的数值求解问题等等。
因此,学习掌握线性代数方程组求解的基本理论、方法是十分必要的。
本章将介绍一些目前利用计算机求解线性代数方程组常用的且简单有效的数值方法。
求解线性方程组的数值方法尽管很多,但归并起來可分为两类:
(1)直接法(精确法)
经有限次的四则运算(若运算屮没有舍入误差)即可求得方程组的精确解的方
法。
如克莱姆(Cramer)规则方法、消元法、LD分解法、LDlJ等等。
(2)迭代法
它将求解方程组的问题化为构造一个无限迭代的序列,在实现该序列过程屮的每一步的计算结果是把前一步所得结果施行相同的计算步骤而获得,这一无限序列的极限就是原方程组的精确解答。
如:
简单迭代法、赛徳尔迭代法、牛顿法、共轨斜量法等。
需要指岀的,在一般情况下,我们使用直接法和迭代法两类方法都不可能完全获得原方程组的精确解答。
显然,
(1)实际中在使用直接法时不可能没有数值计算的舍入误差,故所谓精确方法的解并不见得是绝对精确的。
(2)在使用迭代法时,不可能把极限过程进行到底,而只能进行有限次的迭代,获得满足精度要求的近似解答。
关于这两类方法求解的误差分析,我们将在每类方法的介绍之后进行简要讨论。
§1.1直接Cramer法则与求逆方法
将n元非齐次线性代数方程组表为:
ax內+al2x2+…+aXnxn=bx
(1」)
UM+色2兀2+•••+%兀二仇
利用矩阵和向量符号,这个方程组可表为:
(1.2)
Ax=b
其中泌二「°]——方程组(1」)系数矩阵(m阶方阵);
B=(b\,b2,・・・,b,y——方程组(1.1)的右端向量5阶列阵);
x=(x,,x2,...,xn)7方程组(1.1)的解向量5阶列阵)。
一.Cramer法则
由线性代数中线性方程组解的定理可知:
若A的行列式detA=|A|^O,则方程(1.1)有唯一解,此吋,根据Cramer法则,其
解的表达式为:
xj=dCtA//detA(丿"i,2,・・・,〃)(1.3)
an\,…,Q“J-1'antj+l'•••'ann
即将detA中的第j列元素依次换为右端向量乙的元素所构成的〃阶方阵的行列式。
易见,利用Cramer法则给出的(1.3)式求解n阶线性方程组(1.2)式,需要计算(/1+1)个”阶行列式,而每个n阶行列式将有加项,其中每一项又含有n个因子,故展开每一n阶行列式仅乘法运算(忽略加法运算次数)就需(/7-1>!
次。
而对(/7+1)个n阶行列式:
其乘法次数为:
(力+1)•(n-l)n!
=(n2一1)斤!
次
对式(1.3)其除法次数为:
n次
解方程(1.2)乘除法次数N为:
N=(n2-\)n^n次
例如,h=20,N=9.7073x102°次
这是一个十分惊人的数字,即使利用超高速的电子计算机能够胜任此计算次数,仅由于多个数的连乘亦有可能造成溢出而无法继续运算。
因此,Cramer法则这个在理论上完善且精确的求解方法,仅在理论上和一些特殊情况下可以发挥作用,而在高阶线性代数方程组的实际求解屮儿乎没有多少实用价值。
为此,人们不得不研究其它一些计算简单且行Z有效的求解方法。
二.求逆方法
若detA^O,则A非奇异,A-存在,则方程组(1.2)的解向量可表为:
x=A~'b(1.4)
矩阵求逆方法有:
(1)伴随矩阵法;
(2)初等变换法;
当A的阶数n较大时,求逆麻烦且计算量较大。
§1.2直接法一Gauss(高斯)消去法
尽管它是一种古老的方法,但目前仍不失为最常用和最有效的方法之一。
基本思想:
利用逐次消元将原方程组化为等价的三角形方程组进行求解。
一.三角形方程组
所谓三角形方程组是指以下两种形式的方程组
(2.1)
厶西+b兀2+•••+—届=4
矩阵厶的元素满足关系:
/..=0(z (2)上三角形式 MjjX,+«12X2+...+WlnXz/=“]u22x2++w2/Jxz? =d2 (2.2) UnXn=dn 矩阵"元素屮的对角线以下的元素均为零,BP: Uij=O(i>j) 三角形方程组的求解是十分简单的。 显然对于下三角方程组(2.1),求解步骤是: 1°从第一个方程中解得: x严% 2’将西代入第二个方程中,解得: 勺=山-匚% 3。 将心兀2代入第三个方程中,解得: 禺=®—‘曲一'"2%/ 如此逐个方程地向前递推下去,直到第n步。 Af将Xp兀2,…%1代入第n个方程中,解得: /Hk…-仁® mi 其求解汁算格式可归结为: (勺-工佔)X—戶1 兀一/.. (2.3) (i=2,3,.・・,〃) 这一求解过程称为前推过程。 同理,对于上三角方程组(2.2),求解步骤亦可如法泡制,即: 1。 从第n个方程中解得: 2。 将暫代入第n-1个方程中,解得: 心严⑺”一]一知九兀力 /绻-1/-1 "将兀忑十…,兀2代入第1个方程中,解得兀1o 其求解讣算格式可归纳为: 这一求解过程称为回代过程。 将(2.4)式合并表为: 英屮约定: 当足标丿的収值大于其上界几时,和式£勺=0 j=m 二.Gauss消去法 高斯消去法的求解过程就是首先利用矩阵的初等行变换方法将原方程组逐次消元,使之化为等价的具有上三角形式的方程组,然后再按上三角方程求解的计算格式(2.4)式求出原方程组的解。 即整个求解过程分为消元和回代两个过程。 1.简例 为了便于说明,以如下4阶方程组的求解为例: (2.5) Ax=b 其展开式为: (1)消元过程 现利用初等行变换设法将司中的A部分化为上三角形式。 若丰牙孝%H0, 则可保留其屮第一个方程,并利用它分别将其余三个方程屮的第一个未知量西消去, 具体做法是取数: 只第i行)一人"(第1行)(i=2,3,4)(其中r,row是行、排的意思) 这样原方程的增广矩阵(2.5.0)被变为如下形式: °11ai2°13 0a;? a;? o苗;)《;)_0简昂 (心2,3,4) 其中改变的元素为: 若在矩阵(2.5.1)中主元素则可保留第1个和第2个方程,利用同上的 处理方法消去第3个和第4个方程小第二个未知量兀2,即取数: 再对矩阵(2.5.1)进行如下初等行变换: £(第i行)-⑺积第2行)(i=3,4) 得新的增广矩阵如下: 其中的改变元素为: 甥=硝)-加岁(丿=3,4) 若在矩阵(2.5.2沖主元素必? 工0,则保留第1〜3个方程,将第4个方程中的第 再对矩阵(2.5.2)进行如下初等行变换: H第4行)-$"(第3行) 得新的增广矩阵为: 其中改变的元素为: 圮胡2)7冲 至此,4阶方程组通过3轮初等行变换,将原方程组(2.5)的增广阵中的A部分已化为上三角形式。 这一演变过程即称为消元过程。 (2)回代过程 由线性代数理论可知: 新的增广阵(2.5.3)对应的方程组A⑶1=万⑶与原方程组 (2.5)为等价方程组,即(2.5.3)的解即为原方程组(2.5)的解。 由前关于下三角方程组求解的计算格式(2.4),可依次求得方程的解为: 逐步求算出解勺,兀,兀2,州的过程即为回代过程。 通过以上4阶方程组的求解过程,我们不难给出对n阶方程组Gauss消去法的求解步骤与计算格式° 2.Gauss法的步骤与计算格式 设n阶线性方程组为: Ax=b (1)消元过程: 用(n・l)轮初等变换将原方程组变为等价的上三角方程组,即: Ux=b(方为上三角方阵) 具体做法是: 将[A囚泌[A叫沪]⑴初]一[卅9尹“] [A®評]—…卡4凶1亦1]=血间 在消元的第k轮中,[4⑷彷⑷]中的前k行元素与14心)亦i]中前*行元素保持 不变,其他元素n£+1jn£+1)和b\k}a+1)的计算格式为: 取厶=%/住_“(j=k+l,£+2,…,斤) /akk
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