奥数工程问题集锦.docx
- 文档编号:23464263
- 上传时间:2023-05-17
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:23.22KB
奥数工程问题集锦.docx
《奥数工程问题集锦.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《奥数工程问题集锦.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
奥数工程问题集锦
1.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。
如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天?
解:
由题意得,甲的工效为1/20,乙的工效为1/30,甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让做的快的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。
只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天,则甲独做时间为(16-x)天
1/20*(16-x)+7/100*x=1
x=10
答:
甲乙最短合作10天
2.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还是要多少小时?
解:
1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5=45/80表示5小时后进水量
1-45/80=35/80表示还要的进水量
35/80÷(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满
答:
5小时后还要35小时就能将水池注满。
3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时?
解:
由题意知,1/4表示甲乙合作1小时的工作量,1/5表示乙丙合作1小时的工作量
(1/4+1/5)×2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。
1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。
答:
乙单独完成需要20小时。
4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成?
解:
由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1
(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后结束必须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天)
1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因为前面的工作量都相等)
得到1/甲=1/乙×2
又因为1/乙=1/17
所以1/甲=2/17,甲等于17÷2=8.5天
5.师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时,徒弟完成了4/5这批零件共有多少个?
答案为300个
120÷(4/5÷2)=300个
可以这样想:
师傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,两次一共全部完工,那么徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,刚好是120个。
6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。
单份给男生栽,平均每人栽几棵?
答案是15棵
算式:
1÷(1/6-1/10)=15棵
7.一个池上装有3根水管。
甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可将满池水放完。
现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完?
答案45分钟。
1÷(1/20+1/30)=12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后,还多放了6分钟的水,也就是甲18分钟进的水。
1/2÷18=1/36表示甲每分钟进水
最后就是1÷(1/20-1/36)=45分钟。
8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几天?
答案为6天
解:
由“若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,”可知:
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即:
甲乙的工作效率比是3:
2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:
3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷(3-2)×2=6天,就是甲的时间,也就是规定日期
方程方法:
[1/x+1/(x+2)]×2+1/(x+2)×(x-2)=1
解得x=6
9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:
停电多少分钟?
答案为40分钟。
解:
设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120*x=(1-1/60*x)*2
解得x=40
一件工作,甲、乙、丙三人合作6小时,乙、丙合作2小时,可以完成这件工作的4/9。
如果甲、乙合作3小时,丙做6小时,可以完成这件工作的3/4,甲、乙、丙单独完成这件工作各需多少小时?
解:
设甲的工作效率为X,乙的工作效率为Y,丙的工作效率为Z。
则(X+Y+Z)*6=1;
6X+2Y+2Z=2/3;
3X+3Y+6Z=2/3
解的:
X=1/12,Y=1/36,Z=1/18
故甲乙丙单独完成这件工作分别需要12,36,18小时
继续追问:
我不会3元方程,能不能不用方程解答
补充回答:
甲工效=2/3-1/6×2)÷4=1/12,甲需要12天
丙工效=(2/3-1/6×3)÷3=1/18,丙需要18天
乙工效=[4/9-(8×1/18)-(6×1/12)]/(2+6)=1/36,乙需要36天
补充回答:
纠正:
甲乙丙工效之和为1/6
乙丙合作两小时,完成了4/9
如下三人合作2小时的话应该完成了3*1/6=1/2
所以甲工效为(1/2-4/9)/2=1/36,甲需要36天
甲乙合作三小时,丙做6小时,相当甲乙丙合作3小时,然后丙再做3小时
所以丙工效为(3/4-1/2)/3=1/8,丙需要8天
乙工效为1/6-1/8-1/36=1/36,乙需要36天
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。
我们通常所说的:
“工程问题”,一般是把工作总量作为单位“1”,因此工作效率就是工作时间的倒数。
它们的基本关系式是:
工作总量÷工作效率=工作时间。
工程问题是小学分数应用题中的一个重点,也是一个难点。
下面列举有关练习中常见的几种题型,分别进行思路分析,并加以简要的评点,旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
例1一项工程,由甲工程队修建,需要12天,由乙工程队修建,需要20天,两队共同修建需要多少天?
[思路说明]①把这项工程的工作总量看作“1”。
甲队修建需要12天,修建1天完成这项工程的1/12;乙队修建需要20天,修建1天完成这项工程的1/20。
甲、乙两队共同修建1天,完成这项工程的1/12+1/20=2/15,工作总量“1”中包含了多少个2/15,就是两队共同修建完成这项工程所需要的天数。
1÷(1/12+1/20)=1÷2/15=15/2(天)
②设这项工程的全部工作量为60(12和20的最小公倍数),甲队一天的工作量为60÷12=5,乙队一天的工作量为60÷20=3,甲、乙两队合建一天的工作量为5+3=8。
用工作总量除以两队合建一天的工作量,就是两队合建的天数。
60÷(60÷12+60÷20)=60÷(5+3)
=60÷8=15/2(天)
评点这是一道工程问题的基本题,也是工程问题中常见的题型。
上面列举的两种解题方法,前者比较简便。
这种解法把工作量看作“1”,用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率,用工作总量除以工作效率和,就可以求出完成这项工程所需的时间。
工程问题一般采用这种方法求解。
练习:
一段公路,甲队单独修要10天完成,乙队单独修要12天完成,丙队单独修要15天完成,甲、乙、丙三队合修,需要几天完成?
例2一项工程,甲队独做8天完成,乙队独做10天完成,两队合做,多少天完成全部工程的3/4?
[思路说明]①把这项工程的工作总量看作“1”,甲队独做8天完成,一天完成这项工程的1/8;乙队独做10天完成,一天完成这项工程的1/10。
甲、乙两队合做一天,完成这项工程的1/8+1/10=9/40,工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和,就是甲乙合做所需要的天数。
甲乙合做所需时间的3/4,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所需的时间。
1÷(1/8+1/10)×3/4
=1÷9/40×3/4=10/3(天)
②把甲、乙两队合做的工作量3/4,除以甲、乙两队的效率之和1/8+1/10=9/40,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所需要的时间。
3/4÷(1/8+1/10)=3/4÷9/40=10/3(天)
评点思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间,再用乘法求出完成全部工程的3/4所需的时间。
思路②是把“3/4”看作工作总量,工作总量除以两队效率之和,就可以求出完成全部工程的3/4所需的时间。
两种思路简捷、清晰,都是很好的解法。
练习:
一项工程,单独完成,甲队需8天,乙队需12天。
两队合干了一段时间后,还剩这项工程的1/6没完成。
问甲、乙两队合干了几天?
例3东西两镇,甲从东镇出发,2小时行全程的1/3,乙队从西镇出发,2小时行了全程的1/2。
两人同时出发,相向而行,几小时才能相遇?
[思路说明]①由甲2小时行全程的1/3。
可知甲行完全程要2÷1/3=6(小时);由乙2小时行全程的1/2,可知乙行完全程要2÷1/2=4(小时)。
求出了甲、乙行完全程各需要的时间,时间的倒数便是各自的速度,进而可求出两人速度之和,把东西两镇的路程看作“1”,除以速度之和,就可求出两人同时出发相向而行的相遇时间。
综合算式:
1÷(1/(2÷1/3)+1/(2÷1/2))
=1÷(1/6+1/4)=1÷5/12=12/5(小时)
②由甲2小时行了全程的1/3,可知甲每小时行全程的1/3÷2=1/6;由乙2小时行全程的1/2,可知乙每小时行全程的1/2÷2=1/4。
把东西两镇的路程“1”,除以甲、乙的速度之和,就可得到两人同时出发相向而行的相遇时间。
综合算式:
1÷(1/3÷2+1/2÷2)
=1÷(1/6+1/4)=1÷5/12=12/5(小时)
评点本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间,所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度,是解题的关键所在。
练习:
打印一份稿件,小张5小时可以打完份稿件的1/3,小李3小时可以打完这份稿件的1/4,如果两人合打多少小时完成?
例4一项工程,甲、乙合做6天可以完成。
甲独做18天可以完成,乙独做多少天可以完成?
[思路说明]把一项工程的工作总量看作“1”,甲、乙合做6天可以完成,甲、乙合做一天,完成这项工程的1/6,甲独做18天可以完成,甲做一天完成这项工程的1/18。
把甲、乙工作效率之和,减去甲的工作效率1/18,就可得到乙的工作效率:
1/6-1/18=1/9。
工作总量“1”中包含了多少个乙的工作效率,就是乙独做这项工程的需要的时间。
1÷(1/6-1/18)=1÷1/9=9(天)
评点这是一道较复杂的工程问题,是工程问题的主要题型之一。
主要考查同学们运用分数的基本知识及工程问题的数量关系,解决实际问题的能力。
解答这类工程问题的关键是:
先求出独做的队或个人的工作效率,然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率,就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
有的同学在解这道题时,由于审题马虎,而且受基本工程问题解法的影响,错误地列成:
1÷(1/6+1/18),这是同学们应引起注意的地方。
练习:
一批货物,用大小两辆卡车同时运送,5小时可以运完。
如果用小卡车单独运,15小时可以运完。
问大卡车单独运几小时可以运完?
例5加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,乙要15天完成,丙要12天完成。
如果先由甲、乙两人合做5天后,剩下的由丙1人做,还要几天完成?
[思路说明]题目要求剩下的工作量由丙1人做,还要几天完成,必须知道剩下的工作量和丙的工作效率。
加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,甲一天加工一批零件的1/10;乙要15天完成,乙一天加工一批零件的1/15;丙要12天完成,丙一天加工一批零件的1/12。
甲、乙合做一天,完成这批零件的1/10+1/15=1/6,合做5天完成这批零件的1/6×5=5/6,工作总量“1”减去甲、乙合做5天的工作量,就得到剩下的工作量。
把剩下的工作量除以丙的工作效率,就可以求出剩下的工作量由丙1人做还要几天完成。
综合算式:
[1-(1/10+1/15)×5]÷1/12
=[1-1/6×5]÷1/12
=1/6÷1/12=2(天)
评点这是一道较复杂的工程问题,是工程问题中的主要题型之一,也是升学或毕业考试中最常见的试题之一。
它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。
关键是正确求出剩余部分的工作量。
从工作总量“1”中减去已完成的工作量,就是剩余部分的工作量。
有的同学由于审题不细,又受前面几例工程问题的解法的影响,容易错误地列成:
[1÷(1/10+1/15)×5]÷1/12.
练习:
加工一批零件,甲独做要8天完成,乙独做要7天完成,丙独做要14天完成,三人合作2天后,甲因病休息,乙、丙两人继续合做还要几天完成?
例6一件工程,甲、乙合作6天可以完成。
现在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙独做又用8天正好做完。
这件工程如果由甲单独做,需要几天完成?
[思路说明]一件工程,甲、乙合作6天可以完成,可知甲、乙合作1天完成这件工程的1/6,甲、乙合作2天,完成这件工程的1/6×2=1/3。
用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量1/3,所得的差1-1/3=2/3,就是余下的工作量。
又知余下的工程由乙独做用了8天正好做完,用余下的工作量除以8,就可以求出1天的工作量,即乙的工作效率。
把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率,就可得到甲的工作效率。
求出了甲的工作效率,只要把工作总量“1”除以甲的工作效率,就可得到甲独做这件工程所需要的天数了。
综合算式:
1÷[1/6-(1-1/6×2)÷8]
=1÷[1/6-(1-1/3)÷8]=1÷[1/6-2/3÷8]
=1÷[1/6-1/12]=1÷1/12=12(天)
评点这也是一道复杂的工程问题。
解题的关键是正确求出甲的工作效率。
要求出甲的工作效率,解题的步骤较多,只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路,熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的技能、技巧,才能正确顺利地解答本题。
练习:
一项工程,甲、乙两队合做9天完成,乙、丙两队合做12天完成,现在甲、乙两队合做了3天,接着乙、丙两队又合做了6天,最后由丙队单独12天完成了整个工程。
如果整个工程由甲、丙两队合做需要几天完成?
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。
工程问题是小升初奥数一个重要的分类,下面小编就为大家整理工程问题的基本思路
工程问题的基本数量关系是:
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
上面这些数量关系式是在题目中给出(或间接给出)工作总量和工作效率的具体数量情况下进行解题用的。
如果题目中没有给出工作总量的具体数量,也没有给出工作效率的具体数量,那么我们通常把工作总量看作整体“1”,工作效率表示单位时间内完成工作量的几分之几。
例1:
完成一件工作,需要甲干5天,乙干6天;或者甲干7天,乙干2天。
问:
甲、乙单独干这件工作各需多少天?
分析与解答:
分析:
先对比如下
一项工作甲干5天、乙干6天,或甲干7天、乙干2天,显而易见甲干2天的工作量,若换成乙干,则需要4天。
因此,甲干1天的工作量,若换成乙来干,则需要2天。
解答:
甲完成这件工作需要的天数:
5+6÷2=8(天)
乙完成这件工作需要的天数:
5×2+6=16(天)
评注:
我们在解难题无从下手时,不妨把题目所交代的条件罗列下来,认真地观察、比较,有时会柳暗花明的。
本题运用了整体代换的数学思想,使题目的解答巧妙、简练,更具创造性。
例2:
一件工程,甲队单独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天半可完成一半。
现在甲、乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等。
问:
共用多少天?
分析与解答:
分析:
甲队的工作效率的1/12,乙队的工作效率是1/8,甲、乙两队的工作效率和是1/8+1/12=5/24。
由于甲、乙两队合做的时间与乙队单独做的时间相同,所以甲、乙两队合做的工作量与乙队独做的工作量之比是:
(1/8+1/12):
1/8=5:
3。
解答:
乙队的工作效率:
(1/2-1/12×3)÷2=1/8
甲、乙两队合做工作量是这件工程的5/8,乙队单独做的工作量是这件工程的3/8。
完成这件工程的总天数:
3/8÷1/8×2=6(天)
说明:
适时、恰当地运用正、反比例概念,会使问题简单化。
例3:
师徒两人共同加工一批零件,师傅每小时加工9个,徒弟每小时加工5个。
完成任务时,徒弟比师傅少加工120个。
这批零件共有多少个?
分析与解答:
分析:
徒弟每小时比师傅少加工4个零件,徒弟比师傅少加工120个零件需要120÷4=30小时,那么这批零件的总个数是(9+5)×30=420个。
例4:
一件工程,甲、乙合做需6天完成,乙、丙合做需9天完成,甲、丙合做需15天完成。
现在甲、乙、丙三人合做,需多少天完成?
分析:
由已知条件可知,甲、乙的工作效率和是1/6,乙、丙的工作效率和是1/9,甲、丙的工作效率和是1/15,1/6+1/9+1/15=31/90,这是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍,甲、乙、丙三人的工作效率和是31/90÷2=31/180,那么甲、乙、丙三人合做需要的天数是1÷31/180=180/31天。
例5:
一件工程,甲单独做要12小时完成,乙单独做要18小时完成。
如果先由甲工作1小时,然后由乙接替甲工作1小时,再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作,那么完成任务用了多少小时?
分析:
由已知条件可知甲的工作效率是1/12,乙的工作效率是1/18。
先由甲工作1小时,然后由乙接替甲工作1小时,看作是甲、乙合做1小时。
可得甲、乙合作完成任务需要的时间是1÷(1/12+1/18)=36/5小时,实际上可以理解为甲工作了7小时,乙工作了7小时,剩下的1/36的工作由甲再单独完成。
例6:
甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程,B工程的工作量比A工程的工作量多1/4,甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。
为了同时完成这两项工程,先派甲做A工程,乙、丙两队共同做B工程;经过几天后,又调丙队与甲队共同完成A,结果A、B两项工程同时完成。
问:
丙队与乙队合作了多少天?
分析:
令A工作总量为1,则B工程的工作总量是5/4,A、B两项工程的工作总量是9/4,则甲、乙、丙三队完成A、B两项工程的时间就可以求出,是9/4÷(1/20+1/24+1/30)=18天。
乙队干18天的工作量为1/24×18=3/4,剩下的5/4-3/4=1/2就是丙做的:
1/2÷1/30=15天。
说明:
正确地区分整体与部分的关系,会使我们准确、全面地把握问题,本题就是把A、B两项工程看作一个整体来思考,不要把A、B两项工程分开。
例7:
一水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水。
若只开甲、丙两管,当甲管注入18吨水时,水箱已满;若只开乙、丙两管,乙管注入27吨水时,水箱才满。
又知,乙管每分钟的注水量是甲管每分钟注水量的2倍,则该水箱最多可容纳多少吨水?
分析:
不妨设这个水箱能装X吨水,当甲管注入18吨水时,丙管注入(X-18)吨水;当乙管注入27吨水时,丙管注入(X-27)吨水。
甲、丙两管的工作效率比是18:
(X-18),乙、丙两管的工作效率比是27:
(X-27)。
又因为乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍,所以甲、丙两管的工作效率比是(27×1/2):
(X-27)。
列方程:
18:
(X-18)=(27×1/2):
(X-27)
X=54
说明:
解答工程问题时,方程更是我们的好帮手,尤其是运用等比作等量关系式时更为奇妙!
例8:
某工厂的一个生产小组,生产一批零件,当每个工人在自己原岗位工作时,9小时可完成这项生产任务。
如果交换工人A和B的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可提前1小时完成这项生产任务;如果交换C和D的工作岗位,其他工人生产效率不变时,也可以提前1小时完成这项生产任务。
问:
如果同时交换A与B、C与D的工作岗位,其他工人生产效率不变,可以提前几分钟完成这项生产任务?
分析:
本题已知几种情况,都是工作效率在变化,因此可以求出各种情况的工作效率,然后再研究时间的变化。
解答:
设工作总量为1,则原来全组每小时完成1/9。
(1)A与B交换,全组工作效率是每小时完成1/8,由于其他工人的工作效率不变,所以A与B多干了1/8-1/9=1/72;
(2)同理,C与D交换后,他们两人每小时也多干了1/72;
(3)A与B、C与D同时交换,他们四人每小时多干了2/72,全组平均每小时完成了1/9+2/72=5/36。
因此,交换后全组完成这项任务需要:
1÷5/36=7.2小时,比原来提前了:
9-7.2=1.8小时=108分钟。
说明:
做题时要通过现象看本质
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 工程 问题 集锦