研究生高等代数复习题.docx

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研究生高等代数复习题

1.设是数域P上线性空间V的线性变换且扌2扌，证明:

（1）的特征值为1或0;

（2）01（0）

A（）|V;（3）

*扌"01fllTUl

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［d亠2」LaV*1

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嶽[小吊。

讹比加"十賊.

2.已知是n维欧氏空间的正交变换，证明：

的不变子空间W的正交补W也是

的不变子空间.

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缭制严叫f%舟淀边提.

6.设A为n阶

方阵，WXr"|Ax0

3.已知复系数矩阵A

12

01

00

00

34

23

12'

01

（1）求矩阵A的行列式因子、不变因子

和初等因子；

（2）若当标准形.（15分）

如[JH心巧十

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E=lVi费鵝，

7.若设W=f（x）|f

（1）0,f（x）R[x]n,

证明：

W是R[x]”的子空间，并求出W的一组基及维数.

T曲，⑴0£用「W那艺

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紂口十+…+①+弘之.

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8.设V是一个n维欧氏空间，

0证明A为幂等矩阵，则RWW.

笹tjOnLXT,』ty对：

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W|（，J0,V,i

，H）,”为V中的正交向量组，令

1,2,Hl,m

（2）证明：

WL,,”

，肤芳翱掠班谢为[：

°

0IO

O彷I-0O血I.

222

4.已知二次型f（X1,x2,X3）2X13X23X32ax2X3，（a

个正交变换可化为标准形fy22y25y2，

（1）写出二次型对应的矩阵A及

A的特征多项式，并确定a的值；

（2）求出作用的正交变换.

A二

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O'

0）通过某

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（1）证明：

W是V的一个子空间；

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3

1

9.试求矩阵A

3

4

1

1

0

1

0

0

5

3

0

0

的特征多项式、最小多项式.

3

1

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A-iIo0T汩ooTom

T1乍用

忙4吨^的ix±4,宀氛牛

孤r叭心丹cb⑷E）廿丄A花和穹賦倍說

10.在线性空间pn中定义变换：

（X',X，M，X）（0,XJ11|,X）

（1）证明：

是pn的线性变换.

（2）求值域（pn）及核1（0）的基和维数.

•ff：

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11.证明二次型f（X1，|H，Xn）

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2

14.设r4的线性变换在标准基下的矩阵为A'

（1）求的特征值和特征向量，

（2）求R4的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵哈R

TI

Ai\

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12.求的值，使

2

f（X1,X2,X3，X4）（X1

22

X2X3）

是正定二次型.（12分）

A-

AII

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2x1x22X2X32X1X3

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2

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111

13.设A333

（1）求A的不变因子.

（2）求A的若当标准形.

15.设

是四维线性空间V的一组基，线性变换

在这组基下的矩阵为

3

（1）求线性变换的秩，

（2）求线性变换

5

核与值域.

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16.求正交变换使二次型2x24xxx24xx化为标准形，并判定该二次型是

112223

否正定.

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17.设e,e,M,e是5维的欧几里得空间

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R5的一组标准正交基，

VL（

），其中

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，求V的一组

1

4e15e2

标准正交基.

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18.设A（a）是nn矩阵，其中aa,ij

"ij1,ij

（1）求detA的值；

（2）设wXAX0，求W的维数及W的一组基.

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19.设是线性空间

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r3上的线性变换

（x,y,z）R（）（xy,y（0,1,1）,（1,0,1）,（1,1,0）下的矩阵.

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A为岛下

20.设是n维线性空间V上的线性变换，「「卅，”是V的一组基.

如果是单射，则』，入2,||丨，』也是一组基.

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21.二次型f（x,x,x）2xx2xx2xx，1）写出二次型f的矩阵

'1'2'3'121323

2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.

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22.求方阵A131的不变因子、初等因子和若当标准形.

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23.设V是n维欧氏空间，n3,给定非零向量V

（,）

2

（,）

是正交基，则存在不全为零实数k,k,|Hk

IIIk是v上的恒等变换.

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24.V1，V2是X’x,IHXn0和Xxi,0,i1,2，H|,n1的解空间,

则Pnv1v2.

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25.设和是线性空间P［x］中依据如下方式定义的两个线性变换：

（f（x））f（X），（f（X））xf（X），求

25懈；T砒00匕卡幼珅丈）二V*I

（血询叮如

二o~fcc肿

=6［*松沪rc-f*ix）}

二予幻十TCfMm1X芋囱

二掛）_

二、乐诃为FM2輕融嘉汽舉换

26.设欧氏空间中有，1,2,川,n，0.WL（1,2,川,n），

W2L（,1,2,川，n）,证明：

如果（，,）0，那么dimW1dimW/.几祉P用:

寧ildM^\4=h\Wd，和：

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鏈閔由旳孤一从缎^^掾虫严06妙十卄一+%论冷¥磁）二0,"打刃…丿fl

「、屮P）工屮/轴臥+"X>i9n+、””二巧J"f=：

D

27.求实二次型f（x,x,x,x）2xX2xX4xx2xx的规范形及

'1'2'3'4'12131423

符号差.（15分）

I站祝减笫器M

口I肘旧（5斗）池対州卅屮4<3丹）*斗扫也序眷

二列:

詡主4卽加玛^》+侍鼬+号心吗^（4弓％

Tjl刊Ua®躬十斗艸汽铀怜

二如斗时沁场;-加泌M-f吋州］ni玛r'T/J忙辭亍£扩财十申嶄令.占削屮Jh讥

/心眇•胖省，丄罟■爲扇粧*

r汗H屮*丄.』.

3iuU仁仔雌巒,忖Wl虬-唸才啤

正宦耐tef么離y包Ms旅叔「卩爲腿切

28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1，

（1）2

（2）（3）3，求A的所有的初等因子及A的若当标准形.

■城从初写昭灿丸肌Wl加込彌丫肿#福林

0I0PI-I

.001

-l-iE

I0+1

31.在线性空间Rn中，定

X（X1,X2）,y（y1,y2）R，其中A

T0

0TDOti0

0o

0o

…D0（?

口1

0c^QCt0o\

T0u

ITOo0Q\0o3.0£>U000=2O（J0（-抽o0O'oe

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29.设V为数域p上的n维线性空间，且VL（’，2,III，）

Hln｝是V的一组基；

（n,n1,川,21），卄”｝下的坐标.（14分）

划4时：

怅L蚀,山严心J丄J^vth

H必O|+处灯杵匾）+十+十斗4、=^

fc^+XxT-十如M斗也4-讹）4十…

*M+0十…+X二U

（1）证明：

｛1,1

（2）若V在基｛

川12

1,2,III,n｝下的坐标为

求在基｛

（X,y）xAy

3

。

6

（1）证明：

（X,y）是R2的内积，因而R2按此内积构成一个欧氏空间，

（2）求r2的一组标准正交基，（3）求矩阵P，使得APP.

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30.在三维空

间p3中

已知线性变换

（1,1,1）,2

（1,0,1）,

1

（0,1,1）下的矩阵是1

1

32.设R4的两个子空间为：

V

V2（Xi，X2，X3,X4）|x

的基与维数.

配、加V曲E怎+站-为■二阔赳由祠’聊跚0泳

¥t=l~l0\、也阳）

応血也+^+*=0諒4舸丹扫瑚*內心T严小h严二

Vinli卜曲F*）

Vi+Vx42胡申卜村加也呻吩届卿阱抜

X1,X2,X3,X4IX1

X2X,X40

X2X3

.求Viu

X0,

4

鬥

与VV2

（PTO

o2

1-3

G1p—bo

led—GIfiD

在基e,（1,0,0）,e2

认■'ita，

（0,1,0）,e

（0,0,1）下的矩阵.

ryip二与竹d冬⑨呻百

10I

U-II

tT闿牛®二rtet&◎）b卑乌血®A=賤竹姑詁二口弋皿⑷巴

5L堀祐，皿耳丹如1£；毙蔦^0t

I滅+池」P

33.设V是3维线性空间，1,2,3为它的一个基.线性变换：

V

X11X22X3j2X113X224X33

求

（1）在基下的矩阵；

（2）求核ker和值域Im

的正交补

R4的一个线性同构.

!

loo['0\M0口Iiofl00

12

37.设A33（

22

Jordan标准形.

4X：

4x24X；

（1）假设f（X：

X2,X3）是

4tX2X3

1时，试用非退化线性变换化此二次型为标准

J.和.-*»*

饰出4X1肛十屈一：

3詹出十3：

toL+ip4或+

脚I弋3订二工ch、T（C（a）-^0（1,TWi7=+oti

fia中

二口创4g）二個*旳W、"专D全w■胡热）ALe0斗1fhA为工在弘阳必严墟牟a•:

闷詁，"可亂砖可邑授曲旗

34.设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间，对任意A,B

定义（A,B）trAB，其中trAB表示AB的迹

（1）证明：

V构成一欧氏空间；

（2）求使trA0的子空间S的维数；（3）求S的正交补S的维数.

卜城IV'^'iIa'^A\

V札Id艮JAf&.c&V

LtA也心二讯*如q讪皿丹乩）

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35.试找出全体实2级矩阵M2（R）所构成的线性空间到泌3円气肿血业痫-親i亦ti汀环比；］出卢L儿直N

¥2©胡*&乜环十2丘什诃民

和渤一护a臊期

36.求由向量1（1,2,1,0）,2（1,1,1,1）生成的子空间V1与由向量

1（2,1,0,1）,2（1,1,3,7）生成的子空间V的交的基和维数.

址UlMMf伍Jp申）

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2

6，求

（1）A的不变因子、行列式因子、初等因子.

（2）A的

4

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灯斜式阪为口如注Ag,乌⑴胡3

^^翻为AJX-trtn«J；A-LH；L；

品巾棉非形Ip晾Q］L©口母1

38.设pnn是数域p上nn矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，

定义变换（A）A，AV.

（1）证明：

是Pnn上的对合线性变换，即是满足2I（恒等变换）的线性变换；

（2）求的特征值和特征向量.矽洋険如:

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