小升初数学专题复习训练拓展与提高典型应用题3知识点总结+同步测试 通用版.docx
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小升初数学专题复习训练拓展与提高典型应用题3知识点总结+同步测试通用版
2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高
典型应用题(3)
知识点复习
一.牛吃草问题
【知识点归纳】
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长,草的数量都在不断变化.解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量,我们可以把总草量看成两部分的和,即原有的草量加新长的草量.显而易见,原有的草量是一定的,新长的草量虽然在变,但如果是匀速生长,我们也能找到另一个不变量--每天(每周)新长出的草的数量.
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量.
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:
确定两个不变的量.
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
牛吃草问题常用到四个基本公式:
牛吃草问题又称为消长问题,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的.典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天.由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随着吃的天数不断地变化.解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是:
(1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度.
这四个公式是解决消长问题的基础.
由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量.牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的.正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式.
【命题方向】
例1:
牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长.这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天.问:
可供25头牛吃几天?
分析:
这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化,我们要想办法从变化当中找到不变的量.总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分.牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以这片草地每天新长出的草的数量相同,即每天新长出的草是不变的.即:
(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的.
(2)在已知的两种情况中,任选一种,假定其中几头牛专吃新长出的草,由剩下的牛吃原有的草,根据吃的天数可以计算出原有的草量.
(3)在所求的问题中,让几头牛专吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,根据原有的草量可以计算出能吃几天.
解:
设1头牛1天吃的草为“1“,由条件可知,前后两次青草的问题相差为10×20-15×10=50.
为什么会多出这50呢?
这是第二次比第一次多的那(20-10)=10天生长出来的,所以每天生长的青草为50÷10=5.
现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃.由此,我们可以把每次来吃草的牛分为两组,一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢?
(10-5)×20=100.
那么:
第一次吃草量20×10=200,第二次吃草量,15×10=150;
每天生长草量50÷10=5.
原有草量(10-5)×20=100或200-5×20=100.
25头牛分两组,5头去吃生长的草,其余20头去吃原有的草那么100÷20=5(天).
答:
可供25头牛吃5天.
点评:
解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题中所求的问题.
这类问题的基本数量关系是:
1、(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草量.
2、牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草.
二.平均数问题
【知识点归纳】
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题,如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数.
解答这类应用题时,主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系,根据总数除以它相对应的份数,求出一份数,即平均数.
【命题方向】
例1:
在抗震救灾的日子里,解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时,后3天平均每天在一线工作15小时,这一周,张叔叔平均每天在一线工作多少小时?
分析:
根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时,用总的小时数除以总天数,就是要求的答案.
解:
(74+15×3)÷(4+3),
=(74+45)÷7,
=119÷7,
=17(小时);
答:
这一周,张叔叔平均每天在一线工作17小时.
点评:
此题是典型的解答平均数应用题,关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数.
例2:
甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元.现把甲种糖果4千克,乙种糖果3千克,丙种糖果5千克混合在一起,问买2千克这种混合糖果需多少元?
分析:
用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价,再用平均价乘2千克就是要求的答案.
解:
甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是:
(14×4+10×3+8×5)÷(4+3+5),
=126÷12,
=10.5(元),
买2千克混合糖果的价钱是:
10.5×2=21(元),
答:
买2千克这种混合糖果需21元.
点评:
解答此题的关键是根据平均数的意义,先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价,那2千克混合糖的价钱即可求出.
三.盈亏问题
【知识点归纳】
把若干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完.如果物体还有剩余,就叫盈;如果物体不够分,少了,叫亏.凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题.
解盈亏问题的公式
一盈一亏的解法:
(盈数+亏数)÷两次每人分配数的差
双盈的解法:
(大盈-小盈)÷两次每人分配数的差
双亏的解法:
(大亏-小亏)÷两次每人分配数的差.
【命题方向】
例1:
小红给房里的人分饼干,如果其中3人每人分4块,其余每人分2块,还多出4块.如果其中2人分6块,其余每人分3块,则缺12块.问房间里有多少人?
分析:
如果其中有3个人每人分4块,其余每人分2块,就多了4块糖,也就是如果每人都分2块,就多了3×(4-2)+4=10块糖;如果其中2人分6块,其余每人分3块,则缺12块,即如果每人都分3块的话,则缺12-2×(6-3)=6块;即盈10,亏6,两次分配的差为3-2,则共有(10+6)÷(3-2)=16人.
解:
[3×(4-2)+4]+[12-2×(6-3)]
=[6+4]+[12-6],
=10+6,
=16(块);
16÷(3-2),
=16÷1,
=16(人);
答:
房间内共有16人.
点评:
由于两次分配的数量不统一,因此据已知条件将每次分配的数量统一后,算出盈与亏是完成本题的关键.
四.逆推问题
【知识点归纳】
1.逆推问题内容:
逆推问题还可称为还原问题,解答这类问题时,要根据题意的叙述顺序,由后向前逆推计算.
2.解题方法:
(1)要根据题意的顺序,从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系,这就是逆推法中去处顺序的逆推含义.
(2)原题相加,逆推用减;原题相减,逆推用加;原题相乘,逆推用除;原题相除,逆推用乘,这就是逆推法中计算方法的逆运算含义.
【命题方向】
例1:
一根绳子,第一次剪去一半,第二次剪去4米,最后剩下2米.原来绳长12米.
分析:
根据题干分析可得,这根绳子的一半就是4+2=6米,据此再乘2就是绳子的长度.
解:
(4+2)×2=12(米);
答:
这根绳子原来长12米.
故答案为:
12.
点评:
解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量,从后先前进行推理,根据加减乘除的逆运算思维进行解答.
例2:
老妇提篮卖蛋.第一次卖了全部的一半又半个,第二次卖了余下的一半又半个,第三次卖了第二次余下的一半又半个,第四次卖了第三次余下的一半又半个.这时,全部鸡蛋都卖完了.老妇篮中原有鸡蛋15个.
分析:
根据最后篮内的鸡蛋个数是0,那第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×(0+
),第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是2×[2×(0+
)+
],同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数,那原有鸡蛋的个数即可求出.
解:
第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是:
2×(0+
)=1(个),
第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是:
2×(1+
)=2×
=3(个),
第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是:
2×(3+
)=2×
=7(个),
原有鸡蛋的个数是:
2×(7+
)=2×
=15(个),
答:
篮中原有鸡蛋15个,
故答案为:
15.
点评:
解答此题的关键是,根据题意,运用逆推的方法,求出每次卖蛋后余下的鸡蛋的个数,由此即可得出答案.
【解题方法点拨】
解题思路:
①从结果出发,逐步向前一步一步推理.
②在向前推理的过程中,每一步运算都是原来运算的逆运算.
③列式时注意运算顺序,正确使用括号.
同步测试
一.选择题(共8小题)
1.解放军行军训练,前两天各行了45千米,后三天共行了92千米,要求平均每天行军多少千米,正确的算式是( )
A.(45+92)÷2B.(45×2+92)÷3
C.(45×2+92)÷5D.(45×2+92×3)÷5
2.最近一次数学测试,甲、乙两个同学的平均成绩为88分,甲、丙两个同学的平均成绩为90分,乙、丙两个同学的平均成绩为92分,他们三人的平均成绩是( )分.
A.88B.90C.92D.94
3.池塘里有一块浮萍,每天长一倍,如果二十天长满池塘,那么( )天长到池塘的四分之一?
A.4B.5C.18D.10
4.小明在计算(28+33)×□时,漏看了小括号,算出的结果是358,检查时发现了错误,又重新计算,他算出的正确结果是( )
A.610B.612C.614D.616
5.(北京市第一实验小学学业考)美猴王带着蟠桃回到花果山分给众猴,先分给3只老猴各6个,每只小猴4个,发现还有4只小猴分不到,于是收回重新分,3只老猴各5个,每只小猴3个,可是还剩下12个,那么花果山共有( )只猴.
A.24B.25C.26D.28
6.甲乙二人买同一种杂志,甲买一本差2角8分,乙买一本差2角6分,而他俩的钱合起来买一本还剩2角6分,那么这种杂志每本价钱是( )
A.1元B.7角C.8角D.9角
7.有一满水池,池底有泉水不断涌出,每分钟涌出的水量相等,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部抽水机10小时可以把水抽干,那么用25部同样的抽水机( )小时可以把水抽干.
A.5B.6C.7D.8
8.有20个玩具被丢在地板上,小红妈妈每30秒把3个玩具从地板上放到玩具盒里,但30秒一过,小红就从玩具盒拿出两个玩具,那么小红和她妈妈需要( )秒才能把20个玩具都放到玩具盒中.
A.510B.540C.570D.600
二.填空题(共8小题)
9.乐乐前4次跳绳的平均数是98下,第5次跳 下能使他5次跳绳的平均数为99.
10.一批饲料可供10只鸭子和15只鸡共吃6天,或供12只鸭子和6只鸡共吃7天.则这批饲料可供 只鸭子吃21天.
11.有一口枯井,现有一根绳子,对折后垂直放到井底,绳子一端比井口多10米;如果三折后垂到井底,绳子的一端比井口多2米,绳子的长度是 米.
12.甲、乙、丙三人共有图书195本,甲拿15本给乙,乙拿20本给丙,丙拿30本给甲,则此时甲、乙、丙手中的图书一样多,那么原来甲有 本图书.
13.一本故事书,小明第一天看了全书的一半,第二天看了剩下的一半,还有48页没看.这本书共有 页.
14.一箱橙子有47个,小胖任意取出6个,称得它们的质量为1386克,那么这箱橙子大约重 千克.(四舍五入到个位)
15.若干个同学去划船,若每船4人,则多5人;若每船5人,则船上有4个空位,有 名同学.
16.某岛国的一家银行每天9:
00﹣17:
00营业,正常情况下,每天9:
00准备现金50万元,假设每小时的提款量都一样,每小时的存款量也都一样,到17:
00下班时有现金60万元.如果每小时的提款量是正常情况的4倍,而存款量不变的话,14:
00银行就没有现金了:
如果每小时提款量是正常情况的10倍,而存款量减少到正常情况一半的话,要使17:
00下班时银行还有现金50万元,那么9:
00开始营业时需要准备现金 万
三.判断题(共5小题)
17.小明的身高是1米45厘米,他在一个平均水深为1米35厘米的游泳池中游泳一定不会有危险. (判断对错)
18.一次比赛中一班有12名同学参加,二班有15名同学参加,我们可以用平均成绩来比较两个班参赛选手的整体水平情况. (判断对错).
19.(□﹣30)×4+50=150,□里填55. (判断对错)
20.一条毛毛虫长到成虫,每天长一倍,8天能长到40厘米,长到10厘米时是第6天. (判断对错)
21.一个池塘种有睡莲,睡莲每天成倍生长,已知30天能长满全池,15天能长满半池. (判断对错)
四.应用题(共8小题)
22.(北京市第一实验小学学业考)小红用自己的零用钱到文具店买练习本,如果买4本就余2.8元,买6本就差1.4元,每本练习本多少钱?
23.有一袋大米,第一次取出全部的一半多1.5kg,第二次取出余下大米的一半少2kg,最后袋中的大米还剩20kg,这袋大米原来重多少千克?
24.妈妈带一些钱去买布.买2米布后还剩下1.80元;如果买同样的布4米则差2.40元.问:
妈妈带了多少钱?
25.小丁丁和妈妈去餐馆吃饭,点好单后小丁丁算出平均每人餐费80元.正好碰上妈妈的同事张阿姨,3人一起用餐,还加了两个菜,加菜后平均每人餐费增加了6元.新加的两个菜总价是多少元?
26.学校第二季度各月用水量统计如表:
月份
四
五
六
用水量/吨
96
120
148
学校第二季度平均每天用水多少吨?
27.第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷,三个牧场上的草长得一样密,且生长得一样快.有两群牛,第一群牛2天将一号牧场的草吃完,又用5天将二号牧场的草吃完,在这7天里,第2群牛刚好将三号牧场的草吃完.如果第一群牛有15头,那么第二群牛有多少头?
28.小红做题时,由于粗心大意,把减数个位上的3错写成8,把十位上的5错写成3,这样算得的差是40,请你帮小红算一算正确的差是多少?
29.一片牧场,每天生长草的速度相同.这片牧场可供14头牛吃30天,或者可供70只羊吃16天.如果4头羊的吃草量相当于1头牛的吃草量.那么17头牛和20只羊一起吃这片牧场上的草,可以吃多少天?
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.【分析】根据题干,前两天各行了45千米,即前两天共行了45×2千米,先把这5天行军总路程加起来,再除以行军的天数5,即可解答问题.
【解答】解:
(45×2+92)÷5
=182÷5
=36.4(千米)
答:
平均每天行军36.4千米.
故选:
C.
【点评】此题考查了平均数的意义及求解方法.
2.【分析】根据“平均数×数量=总数”分别求出甲、乙的成绩和,甲、丙的成绩和,乙、丙的成绩和,把三个的数相加,就是三个人总分的2倍;然后再分别除以2和3就是他们三人的平均成绩.
【解答】解:
(88×2+90×2+92×2)÷2÷3
=540÷6
=90(分)
答:
他们三人的平均成绩是90分.
故选:
B.
【点评】解答此题应根据平均数、数量和总数三者之间的关系进行解答.
3.【分析】此题用逆推的方法解答,浮萍的面积每天长大一倍,20天浮萍长满整个池塘,所以19天长满半个池塘,18天就可以长满池塘的
.
【解答】解:
20﹣1﹣1=18(天)
答:
经过18天浮萍可长满池塘的
.
故选:
C.
【点评】做这道题,要理解浮萍的面积每天长一倍,长满的前一天就是一半,再往前推一天就可以长满池塘的
.
4.【分析】由结果向前推,漏看了小括号先算的乘法,再算的加法,所以358﹣28就是33×□,算出□,再代入计算即可.
【解答】解:
□=(358﹣28)÷33
=330÷33
=10;
(28+33)×10
=61×10
=610;
算出的正确结果应该是610.
故选:
A.
【点评】此题说明在混合运算中关键的是抓住运算顺序,按运算顺序正确计算即可.
5.【分析】设花果山共有x只猴,则小猴有(x﹣3)只.根据“先分给3只老猴各6个,每只小猴4个,发现还有4只小猴分不到”可知,一共有桃子6×3+(x﹣3)×4﹣4×4个桃子.根据“只老猴各5个,每只小猴3个,可是还剩下12个”可知,一共有桃子5×3+(x﹣3)×3+12个桃子.根据桃子总个数不变即可列方程解答.
【解答】解:
设花果山共有x只猴.
6×3+(x﹣3)×4﹣4×4=5×3+(x﹣3)×3+12
18+4x﹣12﹣16=15+3x﹣9+12
x=28
答:
花果山共有28只猴.
故选:
D.
【点评】此类题最好是用方程解答,设其中的一个量为未知数,另一个数也用未知数表示,根据题意,找出数量间的相等关系式,列出方程,解答即可.
6.【分析】假设甲、乙两人合买2本,则共缺0.28+0.26=0.54(元),现在他们的钱合起来买一本还剩0.26元,所以一本应该是0.26+0.54=0.80(元).
【解答】解:
2角8分=0.28元,2角6分=0.26元.
0.28+0.26+0.26=0.8(元)=8角
答:
这种杂志每本价钱是0.8元.
故选:
C.
【点评】本题属于盈亏问题,对于此类问题,一般采用假设法求解.
7.【分析】设每部抽水机每小时能抽泉水1份,每小时涌出的泉水量为:
(20×10﹣15×10)÷(20﹣10)=5(份);泉中原有的水量为:
20×10﹣20×5=100(份);25部抽水机拿出5部抽每小时涌出的5份的泉水,剩下的20台抽泉中原有的水量,所需时间为:
100÷20=5(小时),即为所求问题.
【解答】解:
(20×10﹣15×10)÷(20﹣10)
=50÷10
=5(份)
20×10﹣20×5
=200﹣100
=100(份)
100÷(25﹣5)
=100÷20
=5(小时)
答:
用25台这样的抽水机5小时可以把水抽干.
故选:
A.
【点评】本题是典型的牛吃草问题,关键是求出草的生长速度(本题相当于每小时涌出水的水量)和草地原有的份数(本题相当于泉中原有的水量).
8.【分析】由于30秒一过,小红就从玩具盒拿出两个玩具,相当于妈妈每个30秒只放到筐里3﹣2=1个玩具,由于第一次小红不再从玩具盒拿出两个玩具,所以前20﹣3=17个玩具,需要17÷1=17个30秒,然后再加上最后一个30秒即可.
【解答】解:
(20﹣3)÷(3﹣2)×30+30
=17÷1×30+30
=510+30
=540(秒)
答:
小红和她妈妈需要540秒才能把20个玩具都放到玩具盒中.
故选:
B.
【点评】本题类似于牛吃草问题,关键是求出前20﹣3=17个玩具需要的时间.
二.填空题(共8小题)
9.【分析】根据“总数量=平均数×总份数”分别求出前4次跳绳的总下数、他5次跳绳的总下数,然后作差可得第5次跳的下数.
【解答】解:
99×5﹣98×4
=495﹣392
=103(下)
答:
第5次跳103下能使他5次跳绳的平均数为99.
故答案为:
103.,
【点评】解答此题应根据平均数、数量和总数三者之间的关系进行解答.
10.【分析】根据题意,把这批饲料总量看作单位“1”,设每只鸭子每天吃x,每只鸡每天吃y,根据10只鸭子和15只鸡共吃6天,可得(10x+15y)×6=1;12只鸭子和6只鸡共吃7天,可得(12x+6y)×7=1,列出方程组,求出1只鸭子每天吃的量,再用总量1除以1只鸭子吃的量,然后再除以21即可.
【解答】解:
把这批饲料总量看作单位“1”,设每只鸭子每天吃x,每只鸡每天吃y;
根据题意可得:
解得
1÷
÷21
=105÷21
=5(只)
答:
这批饲料可供5只鸭子吃21天.
故答案为:
5.
【点评】本题关键是把这批饲料总量看作单位“1”,设出每只鸭子和每只鸡吃的量,根据题意列出方程组进行解答.
11.【分析】两次测量的每折总差额是:
10﹣2=8(米),对应的分率的差额是:
﹣
,那么绳长是:
8÷(
﹣
)=48米;据此解答.
【解答】解:
绳子长:
(10﹣2)÷(
﹣
)
=8
=48(米)
答:
绳子的长度是48米.
故答案为:
48.
【点评】盈亏问题的解答思路是:
通过比较已知条件,找出两个相关的差数,一是总差额,二是每份的差额,将这两个差相除,就可求出总份数,然后再求物品数;基本关系式为:
总差额÷每份的差额=总份数.
12.【分析】根据题意,利用逆推法:
因为最后三人图书一样多,所以每人图书本数为:
195÷3=85(本);这是丙给甲30本后的,给之前应为:
甲:
85﹣30=55(本),乙:
85本,丙:
85+30=115(本);乙拿20本给丙前:
甲:
55本;乙:
85+20=105(本),丙:
115﹣20=95(本);甲拿15本给乙前:
甲:
55+15=70(本),乙:
105﹣15=90(本),丙:
95本.据此解答.(也可根据变化,只计算甲的本数.)
【解答】解:
195÷3=85(本)
丙给甲30本后前:
甲:
85﹣30=55(本)
乙:
85本
丙:
85+30=115(本)
乙拿20本给丙前:
甲:
55本
乙:
85+20=105(本)
丙:
115﹣20=95(本)
甲拿15本给乙前:
甲:
55+15=70(本)
乙:
105﹣15=90(本)
丙:
95本
答:
原来甲有70本.
故答案为:
70.
【点评】本题主要考查逆推法解决问题,关键根据题意求出给书之前各自的数量.
13.【分析】从后向前逆推,第二天没看前有48×2=96(页);同理第一天没看前,即原来有96×2=192(页);据此解答即可.
【解答】解:
48×2=96(页)
96×2=192(页)
答:
这本书共有192页.
故答案为:
192.
【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量,从后向前进行推理,根据加减乘除的逆运算思维进行解答.
14.【分析】小胖任意取出6个,称得它们的质量为1386克,用1386除以6求出平均每个的质量,然后再乘47,转化单位即可.
【解答】解:
1386÷6×47
=231×47
=10857(克)
10857克=10.857千克
10.857千克≈11千克
答:
这箱橙子大约重11千克.
故答案为:
11.
【点评】解答此题应根据平均数、数量和总数三者之间的关系进行解答.注意单位的转化和四舍五入到个位.
15.【分析】由“每船5人则船上有4个空位”,可知少了4人,两次数量差为5+4=9(人),两次分物差为5﹣4=1(人),因此船的数量为:
9÷1=9(条).然后求人数,列式为4×9+5或5×9﹣4,解决问题.
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