小学数学《逻辑推理初步》练习题含答案.docx

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小学数学《逻辑推理初步》练习题含答案

小学数学《逻辑推理初步》练习题（含答案）

【例1】在三只盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个．现在三只盒子上的标签全贴错了．你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球?

分析与解：

可以枚举，一一尝试．

当从贴有“一黑一白”的盒子中取出一个球，如果是白球，那么这只盒子一定装有两个白球，于是贴有“两个黑球”的盒子一定装有一个白球和一个黑球，最后贴有“两个白球”的盒子一定装有两个黑球．

对应的，如果从贴有“一黑一白”的盒子中取出一个球，如果是黑球，那么这只盒子一定装有两个黑球，剩下的两只盒子可以同上分析出．

所以，只要从贴有“一黑一白”的盒子中取球即可。

【例2】甲、乙、丙、丁4位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说：

“甲是2号，乙是3号．”钱说：

“丙是4号，乙是2号．”孙说：

“丁是2号，丙是3号．”李说：

“丁是l号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．那么丙的号码是几号?

分析与解：

如下表，先假设赵的前半句话正确，判断一次；再假设赵的后半句正确，再判断一次．

即甲是1号，乙是3号，丙是4号，丁是2号．所以丙的号码是4号。

拓展训练

有三个人拿着一块金属，第一个人说：

“这不是铁，这是锡。

”第二个人说：

“不对，是铁不是锡。

”第三人说：

“这不是铁也不是铜。

”三人各执一词，最后他们去问一位物理老师。

老师听了以后说：

“你们之中，有一个人的两个判断都不对，有一个人的两个判断一对一错，有一个人的两个判断都对。

”三个人想了一会儿，终于明白这是一块什么金属。

现在你知道了吗？

答案：

这是一块铁。

由第一个人与第二个人的谈话可知，这两个人的观点正好完全相反，因此，这两个人中一定有一个人的结论完全正确，一个人的结论完全错误，而第三个人的结论一对一错。

由此可得出此结论。

【例3】某参观团根据下列条件从A，B，C，D，E这5个地方中选定参观地点：

①若去A地，则也必须去B地；②B，C两地中至多去一地；③D，E两地中至少去一地；④C，D两地都去或者都不去；⑤若去E地，一定要去A，D两地．那么参观团所去的地点是哪些?

分析与解：

假设参观团去了A地，由①知一定去了B地，由②知没去C地，由④知没去D地，由③知去了E地，由⑤知去了4、D两地，矛盾．

所以开始的假设不正确，那么参观团没有去A地，由①知也没去B地，由②知去了C地，由④知去了D地，因为A、D两地没有都去，所以由⑤知没去E地．

即参观团去了C、D两地。

【例4】人的血型通常分为A型、B型、0型、AB型．子女的血型与其父母间的关系如下表所示．现有3个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B．每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝3种，依次表示所具有的血型为AB，A，0．问：

穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子?

分析与解：

孩子是0型血的父母只能均是0型或A型血，孩子是A型血的父母只能均是A型或AB型血，孩子是B型血的父母只能均是B型或AB型血．

因为现在这些孩子的父母中没有人是B型血，所以孩子是B型血的父母均是AB型血，孩子是A型血的父母只能均是A型血，孩子是0型血的父母只能均是0型血．

即穿红、黄、蓝上衣的孩子父母对应的均是0、A、AB型血，对应戴蓝、黄、红颜色帽子。

拓展训练

５个海盗抢到了１００颗宝石，每一颗都一样的大小和价值连城。

他们决定这么分：

第一步，抽签决定自己的号码（１、２、３、４、５）；第二步，首先，由１号提出分配方案，然后５个人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼；第三步，１号死后，再由２号提出分配方案，然后４人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼；第四步，以此类推。

条件：

每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。

问题：

最后的分配结果如何？

（提示：

海盗的判断原则：

１．保命；２．尽量多得宝石；３．尽量多杀人。

）

答案：

推理的关键是找对思路。

其实任何推理的源泉都在于简化。

所以推理过程是这样的：

从后向前推，如果１－３号强盗都喂了鲨鱼，只剩４号和５号的话，５号一定投反对票让４号喂鲨鱼，以独吞全部金币。

所以，４号惟有支持３号才能保命。

３号知道这一点，就会提（１００，０，０）的分配方案，对４号、５号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道４号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。

不过，２号推知到３号的方案，就会提出（９８，０，１，１）的方案，即放弃３号，而给予４号和５号各一枚金币。

由于该方案对于４号和５号来说比在３号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由３号来分配。

这样，２号将拿走９８枚金币。

不过，２号的方案会被１号所洞悉，１号并将提出（９７，０，１，２，０）或（９７，０，１，０，２）的方案，即放弃２号，而给３号一枚金币，同时给４号（或５号）２枚金币。

由于１号的这一方案对于３号和４号（或５号）来说，相比２号分配时更优，他们将投１号的赞成票，再加上１号自己的票，１号的方案可获通过，９７枚金币可轻松落入囊中。

这无疑是１号能够获取最大收益的方案了！

【例5】房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话．其中一个人说：

“这里没有一个老实人．”第二个人说：

“这里至多有一个老实人．”第三个人说：

“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：

“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人?

分析与解：

假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾；

假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾；

假设这房间里只有2个老实人，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有lO个老实人，矛盾；

假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾；

假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾；

假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾；

假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足；

…………

以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人。

【例6】甲、乙、丙、丁约定上午10时在公园门口集合．见面后，甲说：

“我提前了6分钟，乙是正点到的．”

乙说：

“我提前了4分钟，丙比我晚到2分钟．”丙说：

“我提前了3分钟，丁提前了2分钟．”丁说：

“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到后1分钟才听到收音机报北京时间10时整．”

请根据以上谈话分析，这4个人中，谁的表最快，快多少分钟?

分析与解：

注意到丁有标准时间依据，从丁开始推算，有各自到达公园的时间为：

甲说：

提前了6分钟，实际上甲提前了10分钟，所以甲表快了4分钟，验证为甲的表最快。

拓展训练

一个男子把自己的5个孩子交给摆渡者，让他必须把孩子们全部送到河对岸，每次到达对岸的孩子数要尽可能最少，以保证每个孩子单向往返的次数相同。

孩子们的年龄都不相同，摆渡者一次最多只能带两个孩子渡河。

但是，摆渡者不在场的情况下，任何两个年龄临近的孩子不能待在一起。

只有摆渡者才可以划船。

那么，摆渡者需要往返多少次才能把孩子全部送到对岸？

又是怎样的一个顺序呢？

答案：

需要往返九次。

按照年龄的大小顺序，把5个孩子设为A.B.C.D.E，河的两岸分别设为近岸和远岸，从而可以按照下表顺序来渡河。

每个孩子单向往返的次数都是3次。

【例7】甲、乙、丙、丁4个同学同在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一个人在念英语，一个人在看小说，一个人在写信．已知：

①甲不在念英语，也不在看小说；

②如果甲不在做数学题，那么丁不在念英语；

③有人说乙在做数学题，或在念英语，但事实并非如此；

④丁如果不在做数学题，那么一定在看小说，这种说法是不对的；

⑤丙既不是在看小说，也不在念英语．

那么在写信的是谁?

分析与解：

我们将①、③、⑤的条件反应在下表中．表中“√”表示对应列的人在做对应行的事，“×”表示对应列的人不在做对应行的事．

显然只能是丁在念英语，由②知甲在做数学题，那么丙只能在写信．进一步可以得到如上右表。

【例8】在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁4位朋友进行有趣的交谈，他们分别用了汉语、英语、法语、日语4种语言．并且还知道：

①甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；

②有一种语言4人中有3人都会；

③甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；

④甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；

⑤没有人既会日语，又会法语．

请根据上面的情况，判断他们各会什么语言?

分析与解：

由条件③，④知丙不会日语，⑤知甲不会法语．如下表，×表示不会这门语言，√表示会这门语言．

由丙会不会作为突破口：

第一种情况

如果丙会汉语，那么由④“甲与丙不能直接交谈”知甲不会汉语，由①知甲会英语，

那么丙不会英语，会法语，如下左表．

由④“丙不能与丁直接交谈”，所以丁不会汉语也不会法语，那么丁会英语．由上右表知，这样就没有一种语言3人都会与②矛盾，所以开始的假设不正确．

第二种情况

．丙不会汉语，由①知丙会英语、法语．由④“甲与丙不能直接交谈”，所以甲不会英

语，由①知甲会汉语．

由④“丙与丁不能直接交谈”，所以丁不会英语，也不会法语．由①知丁会汉语，由下左表与②知只能是汉语三者都会．

所以乙会汉语，因为④，乙与丙能直接交谈，所以乙会法语，由①知乙不会日语．最终情况如上右表．

拓展训练

有人邀请A,B,C,D,E,F6个人参加一项会议，这6个人有些奇怪，因为他们有很多要求，已知：

1.A,B两人至少有1人参加会议。

2.A,E,F3人中有2人参加会议。

3.B和C两人一致决定，要么两人都去，要么两人都不去。

4.A,D两人中只1人参加会议。

5.C,D两人中也只要1人参加会议。

6.如果D不去，那么E也决定不去。

那么最后究竟有哪几个人参加了会议呢？

答案：

a,b,c,f参加了会议。

【例9】甲、乙、丙、丁、戊5人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这5本书的厚度以及他们5人的阅读速度都差不多，因此总是5人同时交换书．经过数次交换后，他们5人每人都读完了这5本书．现已知：

①甲最后读的书是乙读的第二本；

②丙最后读的书是乙读的第四本；

③丙读的第二本书甲在最初就读了；

④丁最后读的书是丙读的第三本；

⑤乙读的第四本是戊读的第三本；

⑥丁第三次读的书是丙最初读的那本．

设甲、乙、丙、丁、戊5个人最后读的书分别为4，B，C，D，E，根据以上情况确定他们5人读的第四本书各是什么书?

分析与解：

由①知乙读的第二本书是A，由②知乙读的四本书是C，由④知丙读的第三本书是D，由⑤知戊读的第二本书是C．如下左表．

乙读的第三本书是D或E，但是丙读的第三本书是D，而一本书不能同时被二人阅读，所以乙读的第三本书是E，那么乙读的第一本书为D．如上右表．

丁读的第三本书只能是A或B，而由⑥知丙读的第一本书是A或B．

如果丁读的第三本书是B，那么丙读的第一本书是B，那么丙的第二本书只能是E．由下左表知，这样甲的第三本书只能是A，与其最后读的一本书是A矛盾，所以开始的假设不正确，即丁读的第三本书是A．

由⑥知丙读的第一本书也是A，则甲读的第三本书只能是B，由③知丙读的第二本书只能是B或E，而甲读的第一本书与丙读的第二本书一样，但不能是A、B，所以丙读的第二本书、甲读的第一本书均是E．如上右表，这样我们将题中所给的6个条件均全部用完．

那么丙读的第四本书是B，丁读的第四本书是E，所以甲读的第四本书是D，则戊读的第四本书是A，如下左表所示．（反复利用某个位置的字母与其同一行、同一列的字母全部都不同）

进一步的利用某个位置的字母与其同一行、同一列的字母全部都不同可以将所有的情况列出，如上右表．

那么，显然甲、乙、丙、丁、戊读的第四本书依次是D、C、B、E、A．

【例10】如下图，这是一个挖地雷的游戏，在64个方格中一共有10个地雷，每个方格中至多有一个地雷．对于写有数字的方格，其格中无地雷．但与其相邻（有公共边或公共顶点）的格中有可能有地雷，地雷的个数与该数字相等．请你指出哪些方格中有地雷．

分析与解：

如下图，我们利用数组将未知区域编号，如第三行第二列称为（3，2）

①我们通过第六行的4个“0”，第6列的2个“0”，所以这6个方格的附近区域都没有地雷．如下左图：

②因为（2，5），（1，6），（6，6）这3个位置的附近均只有一个地雷，而这3个位置又各只有一个附近位置可能存在地雷，所以这3个位置的附近未知的位置一定有地雷，如上右图．

③而（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，8）这些位置的附近只有一个地雷，并且这个地雷已经确定，所以它们的附近位置不再有地雷，如下左图所示．

④（1，7）这个方格的附近有2个地雷，其中一个地雷已知，所以还有1个地雷在其附近，但是其附近只有（1，8）这个位置有可能，所以（1，8）格有地雷，如上右图所示．

⑤注意到（4，1）格附近只有1格地雷，而只用（3，2），（4，2）两个位置中的其中之一有可能，如果是（4，2）格有地雷，那么（3，2）格就没有地雷．而（3，1）格附近必须有2个地雷，现在只有（4，2）格有地雷，所以剩下的惟一有可能存在地雷的（2,2）格一定有地雷，这样就满足了（2，1）格附近只用一个地雷，所以（2，1）格附近的其他格内就没有地雷，即（1，1），（1，2）格没有地雷，如下左图所示．

如果开始假设是（3，2）格有地雷，可推至矛盾．

⑥再看（7，1）格，其附近只有1个地雷，而（8，1），（8，2）两个位置有可能，假设（8，1）格有地雷，那么（8，2）格无地雷，再根据（7，2）格附近有2个地雷的条件知（8，3），（8，4）格均有地雷，这样（7，4）格的附近有2个地雷，矛盾，所以开始的假设错误．

即（8，2）格有地雷，（8，1）格无地雷，（8，3）格有地雷，（8，4）格无地雷，如上右图所示．

⑦接着看（8，7）格，其附近只有1个地雷，而（8，8），（7，8）两个位置有可能，假设（8，8）格有地雷，那么（7，8）格无地雷．又因为（7，7）格附近只有一个地雷，所以（6，8）格没有地雷，又因为（6，7）格附近有3个地雷，现在只有（5，6）格有地雷，那么其附近剩下的两个位置（5，8），（6，8）格均有地雷，但是这样（5，7）格附近就有3个地雷，与条件矛盾，所以开始的假设错误．

那么只能是（7，8）格有地雷，（8，8）格无地雷，因为（7，7）格附近不再有地雷，所以（6，8）格也无地雷，又（5，7）格附近要求有2个地雷，现在只有1个地雷，所以剩下的惟一附近位置（5，8）格有地雷，这样也满足（6，7）格附近有3格地雷，如下左图所示．

⑧这样10个地雷均找到，所以剩下的位置均不再有地雷，最终地雷分布情况如上右图。

拓展训练

赵明、钱红、孙杰三人被北京大学、清华大学和北京师范大学录取。

他们分别被哪个学校录取的，同学们作了如下的猜测：

同学甲猜：

赵明被清华大学录取，孙杰被北京师范大学录取。

同学乙猜：

赵明被北京师范大学录取，钱红被清华大学录取。

同学丙猜：

赵明被北京大学录取，孙杰被清华大学录取。

结果，同学们的猜测各对了一半。

那么，他们的录取情况是？

答案：

赵明、钱红、孙杰分别被北京大学、清华大学和北京师范大学录取。

【作1】某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H这8位同学获得前8名．老师让他们猜一下谁是第一名．A说：

“或者F是第一名，或者H是第一名．”B说：

“我是第一名．”C说：

“G是第一名．”D说：

“B不是第一名．”E说：

“A说得不对．”F说：

“我不是第一名，H也不是第一名．”G说：

“C不是第一名．”H说：

“我同意A的意见．”老师指出：

8个人中有3人猜对了．那么第一名是谁?

答案：

我们抓住谁是第一名这点，一一尝试，

如果A是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；

如果B是第一名，那么B、E、F、G这4人都猜对了，不满足；

如果D是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；

如果E是第一名，那么D、E、F、G这4人都猜对了，不满足；

如果F是第一名，那么A、D、G、H这4人都猜对了，不满足；

如果G是第一名，那么C、D、E、F、G这5人都猜对了，不满足；

如果H是第一名，那么A、D、G、H这4人都猜对了，不满足．

所以，第一名是C。

【作2】如图，有一座4层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上黑色和白色，每个窗户代表一个数字．每层楼有3个窗户，由左向右表示一个三位数．4个楼层表示的三位数为：

791，275，362，612．问：

第二层楼表示哪个三位数?

分析与解：

因为275、362、612均有数字2，且362、612的个位相同，所以有某两层楼的最右边的窗户涂色情况相同，有4、2层楼最右的窗户涂色情况相同．

所以

表示2，有第1层的最左边一个窗户也是如此涂色，所以第一层楼表示的数字为275，所以

表示7,

表示5.

而第三层的最左边的窗户也是

涂色，所以第三层表示的数为791，所以

表示9,

表示1.

第2层的中间一个窗户也是

涂色，即中间数为1，所以第二层代表612．

有四层对应的四个三位数为

【作3】桌子上放了8张扑克牌，都背面向上，牌放置的位置如下图所示．现在知道：

①每张牌都是A，K，Q，J中的某一张；②这8张牌中至少有一张是Q；③其中只有一张A；④所有的Q都夹在两张K之间；⑤至少有一张K夹在两张J之间；⑥至少有两张K相邻；⑦J与Q互不相邻，A与K也互不相邻．试确定这8张牌各是什么?

答案：

为了方便说明我们将8张牌标上数字，如图（A）所示，

由于至少有一个Q，其两边为K，则这样的KQK在图中的位置只能为下图的（a）、（b）、（C）、（d）4种，另一方面，条件⑤告诉我们还有JKJ的存在，因此可以将KQK与JKJ的位置结合起来考虑；

对于上图（a），JKJ只能在146，或567，若JKJ在146，则无法有两个K相连，与条件⑥矛盾；若JKJ在567，则在5的J与Q相连，与条件⑦矛盾．

对于上图（b），JKJ只能为234则在4的J与Q相连，与条件⑦矛盾．

对于上图（C），JKJ只能为567，再考虑A，由条件⑦，A不能在8，只能在2或3，为使两个K相连，则8为K，由条件④知，2与3中不能有Q，再由条件⑦，知2是J，3是A，此为正确答案．

对于上图（d），无法填入JKJ，与条件⑤矛盾．

综上所述，本题有惟一的答案，如下图（B）。

【作4】甲、乙、丙3个学生分别戴着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服去参加一次争办奥运的活动．已知：

①帽子和衣服的颜色都只有红、黄、蓝3种：

②甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；

③戴红帽子的学生没有穿蓝衣服：

④戴黄帽子的学生穿着红衣服：

⑤乙没有穿黄色衣服．

试问：

甲、乙、丙3人各戴什么颜色的帽子，穿什么颜色的衣服?

答案：

如图所示，其中实线表示两端需同时成立．虚线表示两端不能同时成立．

因为戴黄帽子的穿红衣服，而戴红帽子的

又不穿蓝衣服，所以对戴红帽子的人而言只能

穿黄衣服，所以戴蓝帽子的只能穿蓝衣服．

乙不穿黄衣服，又不带黄帽子穿红衣服，

所以乙只能穿蓝衣服，即：

乙一蓝帽子一蓝衣服。

甲不戴红帽子，而乙戴蓝帽子，所以甲戴黄帽子，即：

甲一黄帽子一红衣服，所以丙一红帽子一黄衣服．

即甲戴黄帽子，穿红衣服；乙戴蓝帽子，穿蓝衣服；丙戴红帽子，穿黄衣服．

【作5】5位学生A，B，C，D，E参加一场比赛．某人预测比赛结果的顺序是ABCDE，结果没有猜对任何一个名次，也没有猜中任何一对相邻的名次（意即某两个人实际上名次相邻，而在此人的猜测中名次也相邻，且先后顺序相同）；另一个人预测比赛结果为DAECB，结果猜对了两个名次，同时还猜中了两对相邻的名次．求这次比赛的结果。

答案：

猜中两对相邻的名次，可以有两种情况：

一种是3个相连字母的相对位置正确；另一种是两对即4个字母各自相对位置正确．

第一种情况

：

3个相连字母相对位置正确．

这时，如果这3个字母中有一个字母本身的位置正确，则这3个字母的位置就都正确，但这与DAECB中只有两个字母位置正确矛盾，所以5个字母中，位置正确的只能为3个字母之外的两个字母，由于这3个字母相连，则位置正确的字母只能为D、A或D、B，但无论哪一种情况，剩下三个字母相连的位置确定不变，得到的结果均仍为DAECB，这显然是不符合条件．

第二种情况

：

两对4个字母是相邻正确的．

这时，因5个字母中一共有2个字母的位置是正确的，所以在这4个字母中一定有一个字母位置正确，那么和它相邻位置正确的字母本身位置也正确，并且一共有这样相邻一对字母的位置与实际位置相同，则这对字母有4种可能：

①正确顺序为DA口口口：

此时，符合DAECB所满足条件的顺序有2组，分别是DACBE、DABEC为正确答案，若DACBE正确，则C为第3个，不符合ABCDE所满足的条件；若DABEC为正确答案，则AB相邻，也不符合ABCDE所满足的条件，这样，DA口口口不可能为正确名次．

②正确顺序为口AE口口：

这时，因另有两个字母的位置是相邻正确的，则只能为CB，可这样推出的实际顺序只能还是DAECB，显然不符合题目条件，这样口AE口口不可能为正确名次．

③正确顺序为口口EC口：

此时的情况和口AE口口类似，也不可能为正确名次．

④正确顺序为口口口CB：

此时，符合DAECB所满足条件的顺序有两组，分别是AEDCB、EDACB；若AEDCB为正确答案，ABCDE中A的位置正确，不符合条件，经验证，EDACB为正确答案．

这样，就得到了正确答案：

EDACB。