二次函数系数abc与图像的关系.docx
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二次函数系数abc与图像的关系
二次函数系数a、b、c与图像的关系
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0.
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=
判断符号.
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0.
(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定:
2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0.
(5)当x=1时,可确定a+b+c的符号,当x=-1时,可确定a-b+c的符号.
(6)由对称轴公式x=
,可确定2a+b的符号.
一.选择题(共9小题)
1.(2014•威海)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:
①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).
其中正确的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.(2014•仙游县二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中所有正确结论的序号是( )
A.
③④
B.
②③
C.
①④
D.
①②③
3.(2014•南阳二模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:
①a<0;②c>0;③b2﹣4ac>0;④
<0中,正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4.(2014•襄城区模拟)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图,有以下结论:
①b2﹣4c<0;②c﹣b+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确结论的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.(2014•宜城市模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0)下列说法:
①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2.
其中说法正确的是( )
A.
①②
B.
②③
C.
②③④
D.
①②④
6.(2014•莆田质检)如图,二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,则m的取值范围是( )
A.
m>2
B.
m<3
C.
m>3
D.
2<m<3
7.(2014•玉林一模)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.
其中正确结论的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
8.(2014•乐山市中区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与
y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点).有下列结论:
①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣
;④
≤n≤4.
其中正确的是( )
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
①③④
9.(2014•齐齐哈尔二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),(x1,0),且1<x1<2,下列结论正确的个数为( )
①b<0;②c<0;③a+c<0;④4a﹣2b+c>0.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
10、(2011•重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )
A、a>0B、b<0C、c<0D、a+b+c>0
11、(2011•雅安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,其对称轴x=-1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a+b+c>0;⑤a-b+c<0,则正确的结论是( )
A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤
12、(2011•孝感)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(12,1),下列结论:
①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确结论的个数是( )
A、1B、2C、3D、4
答案
一.选择题(共9小题)
1.(2014•威海)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:
①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).
其中正确的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
分析:
由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
抛物线与y轴交于原点,
c=0,(故①正确);
该抛物线的对称轴是:
,
直线x=﹣1,(故②正确);
当x=1时,y=a+b+c
∵对称轴是直线x=﹣1,
∴﹣b/2a=﹣1,b=2a,
又∵c=0,
∴y=3a,(故③错误);
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,
x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c,
又∵x=﹣1时函数取得最小值,
∴a﹣b+c<am2+bm+c,即a﹣b<am2+bm,
∵b=2a,
∴am2+bm+a>0(m≠﹣1).(故④正确).
故选:
C.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
2.(2014•仙游县二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.其中所有正确结论的序号是( )
A.
③④
B.
②③
C.
①④
D.
①②③
考点:
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专题:
数形结合.
分析:
由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①当x=1时,y=a+b+c=0,故①错误;
②当x=﹣1时,图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1,
∴y=a﹣b+c<0,
故②正确;
③由抛物线的开口向下知a<0,
∵对称轴为0<x=﹣
<1,
∴2a+b<0,
故③正确;
④对称轴为x=﹣
>0,a<0
∴a、b异号,即b>0,
由图知抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0
∴abc<0,
故④错误;
∴正确结论的序号为②③.
故选:
B.
点评:
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0;
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=﹣
判断符号;
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;
(4)当x=1时,可以确定y=a+b+c的值;当x=﹣1时,可以确定y=a﹣b+c的值.
3.(2014•南阳二模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论:
①a<0;②c>0;③b2﹣4ac>0;④
<0中,正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
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专题:
数形结合.
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①∵图象开口向下,∴a<0;故本选项正确;
②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴,∴c>0;故本选项正确;
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点,∴根的判别式△=b2﹣4ac>0;故本选项正确;
④∵对称轴x=﹣
>0,∴
<0;故本选项正确;
综上所述,正确的结论有4个.
故选D.
点评:
本题主要考查了二次函数的图象和性质,解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定,做题时要注意数形结合思想的运用,同学们加强训练即可掌握,属于基础题.
4.(2014•襄城区模拟)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图,有以下结论:
①b2﹣4c<0;②c﹣b+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确结论的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
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分析:
由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;当x=﹣1时,y=1﹣b+c>0;当x=3时,y=9+3b+c=3;当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.
解答:
解:
∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,
∴b2﹣4ac<0;
故①正确;
当x=﹣1时,y=1﹣b+c>0,
故②错误;
∵当x=3时,y=9+3b+c=3,
∴3b+c+6=0;
③正确;
∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,
∴x2+bx+c<x,
∴x2+(b﹣1)x+c<0.
故④正确.
故选C.
点评:
主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
5.(2014•宜城市模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0)下列说法:
①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2,y2)是抛物线上的两点,则y1>y2.
其中说法正确的是( )
A.
①②
B.
②③
C.
②③④
D.
①②④
考点:
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分析:
根据抛物线开口方向得到a>0,根据抛物线的对称轴得b=2a>0,则2a﹣b=0,则可对②进行判断;根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0,则abc<0,于是可对①进行判断;由于x=﹣2时,y<0,则得到4a﹣2b+c<0,则可对③进行判断;通过点(﹣5,y1)和点(2,y2)离对称轴的远近对④进行判断.
解答:
解:
∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线对称轴为直线x=﹣
=﹣1,
∴b=2a>0,则2a﹣b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴abc<0,所以①正确;
∵x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,所以③错误;
∵点(﹣5,y1)离对称轴要比点(2,y2)离对称轴要远,
∴y1>y2,所以④正确.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异).抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数:
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
6.(2014•莆田质检)如图,二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,对称轴在y轴的右侧,则m的取值范围是( )
A.
m>2
B.
m<3
C.
m>3
D.
2<m<3
考点:
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分析:
由于二次函数的对称轴在y轴右侧,根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式,由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式,再求两个不等式的公共部分即可得解.
解答:
解:
∵二次函数y=x2+(2﹣m)x+m﹣3的图象交y轴于负半轴,
∴m﹣3<0,
解得m<3,
∵对称轴在y轴的右侧,
∴x=
,
解得m>2,
∴2<m<3.
故选:
D.
点评:
此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题.
7.(2014•玉林一模)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.
其中正确结论的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
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分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
∵抛物线的开口方向向下,
∴a<0;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac,①正确;
由图象可知:
对称轴x=
=﹣1,
∴2a=b,2a+b=4a,
∵a≠0,
∴2a+b≠0,②错误;
∵图象过点A(﹣3,0),
∴9a﹣3b+c=0,2a=b,
所以9a﹣6a+c=0,c=﹣3a,③正确;
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴c>0
由图象可知:
当x=1时y=0,
∴a+b+c=0,④正确.
故选C.
点评:
考查了二次函数图象与系数的关系,解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
8.(2014•乐山市中区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与
y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点).有下列结论:
①当x>3时,y<0;②3a+b>0;③﹣1≤a≤﹣
;④
≤n≤4.
其中正确的是( )
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
①③④
考点:
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分析:
①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;
②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;
③根据两根之积
=﹣3,得到a=
,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围;
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=
c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.
解答:
解:
①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),
∴根据图示知,当x>3时,y<0.
故①正确;
②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.
∵对称轴x=
=1,
∴b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.
故②错误;
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),
∴﹣1×3=﹣3,
=﹣3,则a=
.
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,
∴﹣1≤
≤
,即﹣1≤a≤
.
故③正确;
④根据题意知,a=
,
=1,
∴b=﹣2a=
,
∴n=a+b+c=
c.
∵2≤c≤3,
≤
≤4,
≤n≤4.
故④正确.
综上所述,正确的说法有①③④.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
9.(2014•齐齐哈尔二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),(x1,0),且1<x1<2,下列结论正确的个数为( )
①b<0;②c<0;③a+c<0;④4a﹣2b+c>0.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
二次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有
分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①∵y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),(x1,0),且1<x1<2,
∴对称轴在y轴的右侧,
即:
﹣
>0,
∵a>0
∴b<0,故①正确;
②显然函数图象与y轴交于负半轴,
∴c<0正确;
③∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
即a+c=b,
∵b<0,
∴a+c<0正确;
④∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于点(﹣1,0),且a>0,
∴当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c>0,
故④正确,
故选D.
点评:
主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
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