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高三月考数学含答案
2019-2020年高三12月月考数学含答案
张太年朱军姚动徐瑢
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上。
1.已知集合
,
,则.
2.复数,其共轭复数为,则 .
3.在平面直角坐标系中,从五个点:
中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 .(结果用分数表示)
4.在棱长为的正方体中,四面体的体积为 .
5.已知函数有两个不同的零点,且方程有两个不同的实根,若把这四个数按从小到大顺序排列恰好构成等差数列,则实数的值为___________.
6.已知双曲线()的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为 .
7.已知锐角满足,则的最大值为 .
8.过直线上一点作圆
的两条切线,为切点,若直线关于直线对称,则.
9.已知是等腰直角三角形,,且,,若,则的面积为 .
10.已知椭圆与抛物线有相同的焦点,是椭圆与抛物线的的交点,若经过焦点,则椭圆的离心率为____.
11.已知数列的通项公式为,那么满足
的正整数.
12.在平面直角坐标系中,若点同时满足:
①点都在函数图象上;②点关于原点对称.则称点对是函数的一个“姐妹点对”,当函数,有“姐妹点对”时,的取值范围是.
13.已知等比数列的首项,令,是数列的前项和,若是数列中的唯一最大项,则的公比的取值范围是 .
14.设为整数,方程在区间内有两个不同的根,则的最小值为 .
二、解答题:
本大题共6小题,第15,16,17题各14分,第18,19,20题各16分,共计90分.
15.在中,三个内角分别为,且.
(1)若,,求.
(2)若,且,求.
16.如图,、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点,沿将折起到的位置,连结、,为的中点.
(1)求证:
平面.
(2)求证:
平面平面.
17.为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现1个单位剂量的药物在血液内的浓度与
时间的关系因使用方式的不同而不同。
若使用注射方式给药1个单位,则在注射后的小时
内,药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式:
,
若使用口服方式给药1个单位,则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式:
,现对小白鼠同时进行注射给药和口服给药各1个单位,且注射药
物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.
(1)若,求小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值.
(2)若使小白鼠在用药后小时内血液中的药物浓度始终不低于,求正数的取值范围.
18.已知点分别为椭圆的右顶点和上顶点,点满足,直线交椭圆于两点,(为坐标原点),和的面积分别记为和.
(1)若,求的值.
(2)当变化时,求的取值范围.
19.已知数列中,,,前项和恒为正值,
且当时,.
(1)求证:
数列是等比数列.
(2)设与的等差中项为,比较与的大小.
(3)设是给定的正整数,.现按如下方法构造项数为有穷数列:
当时,.
当时,.
求数列的前项和.
20.设函数,.(注:
).
(1)讨论的单调性.
(2)若有两个极值点,且,求的取值范围.
数学附加题部分(12月)
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
如图,圆O的直径,C为圆周上一点,,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求的度数与线段AE的长.
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知二阶矩阵属于特征值的一个特征向量为,求矩阵的逆矩阵.
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与轴的正半轴重合,曲线的极坐标方程
试求曲线上点到直线的距离的最大值.
D.选修4—5:
不等式选讲
(1)设是正数,求证:
;
(2)若,不等式
是否仍然成立?
如果仍成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的的值.
二、必答题:
本大题共2小题.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程.
22.如图,平面平面,是等腰直角三角形,,四边形是直角梯形,∥,,,分别为的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小.
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
23.设数列是等比数列,,公比是的展开式中的第二项(按的降幂排列).
(1)求的值并用表示数列的前项和.
(2)若
,用表示(表示为最简形式).
江苏省盐城中学xx/xx高三第三次考试
数学试题
(总分160分,考试时间120分钟)
命题:
张太年朱军审核:
姚动徐瑢
三、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知集合
,
,则.
2.复数,其共轭复数为,则 .
3.在平面直角坐标系中,从五个点:
中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 .(结果用分数表示).
4.在棱长为的正方体中,四面体的体积为 .
5.已知函数有两个不同的零点,且方程有两个不同的实根,若把这四个数按从小到大顺序排列恰好构成等差数列,则实数的值为__
6.已知双曲线()的两条渐近线均和圆相切且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为 .
7.已知锐角满足,则的最大值为 .
8.过直线上一点作圆
的两条切线,为
切点,若直线关于直线对称,则.
9.已知是等腰直角三角形,,且,,若,则的面积为 .
10.已知椭圆与抛物线有相同的焦点,是椭圆与抛物线的的交点,若经过焦点,则椭圆的离心率
为.
11.已知数列的通项公式为,那么满足
的正整数.2或5
12.在平面直角坐标系中,若点同时满足:
①点都在函数图象上;②点关于原点对称.则称点对是函数的一个“姐妹点对”,当函数,有“姐妹点对”时,的取值范围是.
13.已知等比数列的首项,令,是数列的前项和,若是数列中的唯一最大项,则的公比的取值范围是 .
14.设为整数,方程在区间内有两个不同的根,则的最小值为 .
15.在中,三个内角分别为,且.
(1)若,,求.
(2)若,且,求.
在中,由正弦定理知:
代入数据得:
,所以.
(2)因为,
所以
,又,所以
.
16.如图,、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点,沿将折起到的位置,连结、,为的中点.
(1)求证:
平面.
(2)求证:
平面平面.
(1)证明:
E、P分别为AC、A′C的中点,
EP∥A′A,又A′A平面AA′B,EP平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB
(2)证明:
∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC
∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面A′ECBC平面A′BC∴平面A′BC⊥平面A′EC
17.为了研究某种药物,用小白鼠进行试验,发现1个单位剂量的药物在血液内的浓度与时
间的关系因使用方式的不同而不同。
若使用注射方式给药1个单位,则在注射后的小时内,
药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式:
,若
使用口服方式给药1个单位,则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式:
,现对小白鼠同时进行注射给药和口服给药各1个单位,且注射药
物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.
(1)若,求小时内,该小白鼠何时血液中药物的浓度最高,并求出最大值.
(2)若使小白鼠在用药后小时内血液中的药物浓度始终不低于,求正数的取值范围.
18.已知点分别为椭圆的右顶点和上顶点,点满足,直线交椭圆与两点,(为坐标原点),和的面积分别记为和.
(1)若,求的值.
(2)当变化时,求的取值范围.
(1)当时,,为线段的中点,故直线的方程为,
与椭圆联立,可得,于是,,所以
(2)因为,所以,故直线的方程为,与椭圆联立,可得,于是
,记分别表示点到直线的距离,则
19.已知数列中,,,前项和恒为正值,
且当时,.
(1)求证:
数列是等比数列.
(2)设与的等差中项为,比较与的大小.
(3)设是给定的正整数,.现按如下方法构造项数为有穷数列:
当时,.
当时,.
求数列的前项和.
19.解:
⑴当时,
化简得,
又由,得,解得,
∴,也满足,
而恒为正值,∴数列是等比数列.
⑵的首项为1,公比为,.当时,
∴.
当时,
此时
当时,
.
∵恒为正值∴且,
若,则,若,则.
综上可得,当时,;
当时,若,则,若,则
⑶∵∴,当时,.
若,则由题设得
若,则
.
综上得:
20.设函数,.(注:
).
(1)讨论的单调性.
(2)若有两个极值点,且,求的取值范围.
解:
(1),
令,所以
①若,即时,在递增.
②若
(Ⅰ)若,则在和上递增,
在
递减.
(Ⅱ)若,
单调增区间为,单调减区间为.
综上所述:
当时,在递增.
若,则在和上递增,
在
递减.
若,单调增区间为,单调减区间为.
(2)若有两个极值点,则.
因为,所以,
因为
.
令
,.
则
.
因为,所以,,.
所以
所以在单调递增,故.
所以.
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
如图,圆O的直径,C为圆周上一点,,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求的度数与线段AE的长.
1.解:
如图,连结OC,因,因此,由于,
所以,又得;5分
又因为,得,那么,
从而,于是.10分
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知二阶矩阵的属于特征值-1的一个特征向量为,求矩阵的逆矩阵.
解:
由题知=-1,得∴A=………………5分
………………10分
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与轴的正半轴重合,曲线的极坐标方程
试求曲线上点到直线的距离的最大值.
解:
曲线C的直角坐标方程是………………2分
直线l的普通方程是………………4分
设点M的坐标是
的距离是
…………7分
d取得最大值.………………10分
D.选修4—5:
不等式选讲
(1)设是正数,求证:
;
(2)若,不等式
是否仍然成立?
如果仍成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的的值.
简证:
(1)∵,∴,,,三个同向正值不等式相乘得
.------------------5分
简解:
(2)时原不等式仍然成立.
思路1:
分类讨论、、、证;
思路2:
左边=
.---------------10分
二、必答题:
本大题共2小题.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程.
22.如图,平面平面,是等腰直角三角形,,四边形是直角梯形,∥AE,,,分别为的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
解:
∵,又∵面面,面面,,∴,∵BD∥AE,∴,…………2分
如图所示,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
∵,
∴设各点坐标为,,,
,,
则,,
,
,
,.
(1)
,
则与所成角为.…………5分
(2)设平面ODM的法向量,则由
且可得
令,则,,∴,
设直线CD和平面ODM所成角为,则
,
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为.…………10
23.设数列是等比数列,,公比是的展开式中的第二项(按的降幂排列).
(1)求的值并用表示数列的前项和;
(2)若
,用表示(表示为最简形式).
解:
(1)∵∴∴,
由的展开式中的同项公式知,
∴∴
…………4分
(2)当时,
,
又∵
,
∴
,∴,…………6分
当x≠1时,,
∴
…………10分
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