人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元练习题含答案docx.docx

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第十七章勾股定理

一、选择题

1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移

动的水平距离为2米，这里的水深为（）

A．1.5米

B．2米

C．2.5米

D．1米

2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角

形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝

45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于（）

A．86

B．64

C．54

D．48

3.如图表示的是一个十字路口，

O是两条公路的交点，点

A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若

OC＝8

cm，AC＝17cm，AB＝5cm，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为（）

A．5m

B．4m

C．3m

D．2m

1

4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端

的顶点B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于（）

A．

B．2＋1

C．

D．5

5.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长

AD＝80

cm，高AB＝60cm，水深为

AE＝40cm，在水面上紧贴

内壁

G

处有一鱼饵，

G

在水面线

EF

上，且

＝60

cm；一小虫想从鱼缸外的

A

点沿壁爬进鱼缸内

G

处吃鱼

EG

饵，则小动物爬行的最短路线长为

（）

A．40cm

B．60cmC．80cmD．100cm

6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为（）

A．6

B．4.5

C．4.8

D．8

7.如图，梯子

AB靠在墙上，梯子的底端

A到墙根O的距离为

2m，梯子的顶端

B到地面的距离为

7m，现

将梯子的底端

′

′

O的距离等于

3m

′

A向外移动到A，使梯子的底端

A到墙根

，同时梯子的顶端B下降至B，

那么BB′（）

2

A．小于1m

B．大于1m

C．等于1m

D．小于或等于1m

8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前

的高度是（）

A．5m

B．12m

C．13m

D．18m

二、填空题

9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．

10.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．

11.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则△ABC________直角

三角形．（填“是”或“不是”）

12.如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于________．

3

13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时

期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了

“

”

“

”

勾股圆方图

，开创了

以形证数

的思想方

法．在图

1

中，小正方形

ABCD的面积为

1

1

1

1

1

，则正方形

，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形

A

BC

D

A1B1C1D1的面积为________；再把正方形

A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形

A2B2C2D2

（如图2），如

此进行下去，得到的正方形

AnBnCnDn的面积为________（用含n的式子表示，n为正整数）．

14.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8，AD＝8，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面

积为__________．

15.

1

2

3

1

42

8

3

＝

________.

如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S

，S

，S

且S

＝，S

＝，则S

16.在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C

运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），当x＝

__________，△BPQ是直角三角形．

三、解答题

17.如图所示的一块地，AD＝9m，CD＝12m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积．

4

18.如图，在

B

港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东

60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方

向以每小时

15

海里速度全速前进，2小时后甲船到

M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那

个方向航行吗？

19.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧

加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离

分别是5米和3米．

（1）求公益广告牌的高度AB；

（2）求∠BDC的度数．

21.阅读与应用：

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

中国最早的一部数学著作－－《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：

“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：

天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈

量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？

”商高回答说：

“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中

5

有一条原理：

当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜

边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”

任务：

（1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做__________定理；

（2）请你利用以上数学原理解决问题：

“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而

达其顶，问葛藤之长几何？

”题意是：

如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为

20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短

长度是多少尺．

6

答案解析

1.【答案】A

【解析】设水深为h米，则红莲的高（h＋1）米，且水平距离为2米，

则（h＋1）2＝22＋h2，解得h＝1.5.

故选A.

2.【答案】C

【解析】如图1，S1＝AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，

∵BC2＝AB2－AC2，

∴S2－S1＝S3，

如图2，S4＝S5＋S6，

∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.

故选C.

3.【答案】D

【解析】在Rt△AOC中，∵OA2＋OC2＝AC2，

∴OA＝＝＝15（m），

∴OB＝OA＋AB＝20m，

在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2＋OD2，

∴OD＝＝＝10（m），

∴CD＝OD－OC＝2m，

故选D.

4.【答案】A

7

【解析】如图所示，

由图可知，AB＝＝.

故选A.

5.【答案】D

【解析】如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时

路程最短．

在直角

△

′

′80cm

，EG＝

60cm

AEG

中，AE＝

，

∴

′

′

＝

100cm.

AQ＋QG＝AQ＋QG＝AG＝

∴最短路线长为

100cm.

故选D.

6.【答案】C

【解析】∵62＋82＝102，

∴这个三角形是直角三角形，

∴最长边上的高为

6×8÷10＝4.8.

故选C.

7.【答案】A

【解析】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7，

由勾股定理，得AB＝，

由题意可知AB＝A′B′＝，

又

OA′＝

3，根据勾股定理得OB′＝

，

∴

′7

－＜

1.

BB＝

8

故选A.

8.【答案】D

【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，

所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．

根据勾股定理，折断的旗杆为

＝13m，

所以旗杆折断之前高度为

13m＋5

m＝18m.

故选D.

9.【答案】6

【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，

∴另一直角边长为＝4.

该直角三角形的面积S＝×3×4＝6.

10.【答案】480

【解析】设三边的长是5x,12x,13x，

则5x＋12x＋13x＝120，

解得x＝4，

则三边长是20,48,52.

∵202＋482＝522，

∴三角形是直角三角形，

∴三角形的面积是×20×48＝480.

11.【答案】是

【解析】由分别以

△

ABC的三边为直径向外作

3

个半圆，它们的面积分别为

459

、、，得

BC2＋AC2＝AB2，

则△ABC是直角三角形．

12.【答案】96

【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，

∴AC＝＝＝10，

在△ABC中，

∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，

9

∴△ABC直角三角形；

∴形面

S△ABC－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96.

13.【答案】55n

【解析】已知小正方形

ABCD的面

1

△

1

1

的面是

1

，把它的各延一倍后，

AA

B

，

新正方形A1B1C1D1的面是5，

从而正方形A2B2C2D2的面5×5＝25＝52，⋯

正方形AnBnCnDn的面5n.

14.【答案】84＋96

【解析】接BD，

∵AB⊥AD，

∴∠A＝90°，

∴BD＝24，

∵BC2＋BD2＝72＋242＝625＝252＝CD2，

∴△CBD直角三角形，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD

＝×8×8＋×24×7

＝96＋84.

15.【答案】12

【解析】∵△ABC直角三角形，

∴BC2＋AC2＝AB2，

∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，

∴S3＝S1＋S2＝12.16.【答案】2或

10

【解析】根据题意，得

BP＝t

cm

2cm

，BQ＝

（8

2

t

）cm

，

，CQ＝t

－

若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，

①当∠BPQ＝90°时，

Q在A点，CQ＝CA＝4cm，

4÷2＝2（s）；

②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，

∴BQ＝BP，

即8－2t＝t，

解得t＝，

故当t＝2或秒时，△BPQ是直角三角形．

17.【答案】解连接AC，则在Rt△ADC中，

AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，

∴AC＝15，

在△ABC中，AB2＝1521，

AC2＋BC2＝152＋362＝1521，

∴AB2＝AC2＋BC2，

∴∠ACB＝90°，

∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.

答：

这块地的面积是216平方米．

【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，

此块地的面积为两个直角三角形的面积差．

18.【答案】解BM＝8×2＝16海里，

BP＝15×2＝30海里，

11

在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝1156，

BM2＋BP2＝PM2，

∴∠MBP＝90°，

180°－90°－60°＝30°，

故乙船沿南偏东30°方向航行．

【解析】先根据路程＝速度

×

BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到

∠

MBP＝

90°

时间，求出

，进一步

即可求解．

19.【答案】解

如图，在

△

ABC中，AB＝

15

，BC＝

14

13

，

，AC＝

设BD＝x，则CD＝14－x，

由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－（14－x）2，

故152－x2＝132－（14－x）2，

解之得x＝9.

∴AD＝12.

∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.

【解析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．

20.【答案】解

（1）在直角三角形ADC中，

AC＝＝＝4（m），

在直角三角形BDC中，

BC＝＝＝3（m），

故AB＝AC－BC＝1（米），

答：

公益广告牌的高度AB的长度为1m；

（2）∵在直角三角形BDC中，BC＝CD＝3m，∴△DBC是等腰直角三角形，

∴∠BDC＝45°.

【解析】

（1）直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长；

12

（2）

利用已知结合

（1）中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案．

21.【答案】解

（1）上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；故答案是勾股；

（2）如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3＝15（尺），

因此葛藤长为＝25（尺）．

答：

问题中葛藤的最短长度是25尺．

【解析】

（1）根据勾股定理的概念填空；

（2）这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

13