全等三角形复习资料搜集整理版.docx
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全等三角形复习资料搜集整理版
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第十一章全等三角形复习
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质
(1):
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):
全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
斜边.直角边:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路:
二、角的平分线:
1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;
(2表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4)时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
第十二章轴对称
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为______.
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、(等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一)
2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
五、(等边三角形)知识点回顾
1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4.直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半、
常见图形
一、轴对称型:
二、相交线型
三、旋转型
1.三角形全等的判定一(SSS)
1.如图,AB=AD,CB=CD.△ABC与△ADC全等吗?
为什么?
2.如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
求证△ACD≌△CBE.
3.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF, BE=CF.求证∠A=∠D.
4.已知,如图,AB=AD,DC=CB.求证:
∠B=∠D。
5.如图,AD=BC,AB=DC,DE=BF.求证:
BE=DF.
2.三角形全等的判定二(SAS)
1.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
2.如图,△ABC≌△
,AD,
分别是△ABC,△
的对应边上的中线,
AD与
有什么关系?
证明你的结论.
3.如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
4.已知:
如图,AD∥BC,AD=CB,求证:
△ADC≌△CBA.
5.已知:
如图AD∥BC,AD=CB,AE=CF。
求证:
△AFD≌△CEB.
6.已知,如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。
求证:
△ABD≌△ACE.
7.已知:
如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:
AC∥DF.
8.已知:
如图,AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
9.如图,在△ABC中,分别延长中线BE、CD至F、H,使EF=BE,DH=CD,连结AF、AH.求证:
(1)AF=AH;
(2)点A、F、H三点在同一直线上;(3)HF∥BC.
10.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC=BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF=CD.求证:
BF=AD,BF⊥AD.
11.证明:
如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.(提示:
首先分清已知和求证,然后画出图形,再结合图形用数学符号表示已知和求证)
12.证明:
如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等,那么这两个三角形全等.
13.已知:
如图,正方形ABCD,BE=CF,求证:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
14.已知:
E是正方形ABCD的边长AD上一点,BF平分∠EBC,交CD于F,求证BE=AE+CF.(提示:
旋转构造等腰)
15.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.
(1)判断CD与BE有怎样的数量关系;
(2)探索DC与BE的夹角的大小.(3)取BC的中点M,连MA,探讨MA与DE的位置关系。
3~4.三角形全等的判定三、四(ASA、AAS)
1.如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm.
求BE的长.
3.已知,D是△ABC的边AB上的一点,DE交AC于点E,DE=FE,FC∥AB。
求证:
AE=CE。
4.已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:
△ABD≌△CDB
5.如图,在△ABC中,AC⊥BC,CE⊥AB于E,AF平分∠CAB交CE于点F,过F作FD∥BC交AB于点D.求证:
AC=AD.
6.如图,AD∥BC,AB∥DC,MN=PQ.求证:
DE=BE.
7.如图,在ABC中,∠A=90°,BD平分B,DE⊥BC于E,且BE=EC,
(1)求∠ABC与∠C的度数;
(2)求证:
BC=2AB.
8.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
(1)求证:
AE⊥BE;
(2)求证:
E是CD的中点;
(3)求证:
AD+BC=AB.
9.已知,如图Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC,D为垂足,∠ABD的平分线交AD于E点,EF∥AC,求证:
AE=EF.
10.△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC.
⑴若D为BC的中点,过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N,
求证:
DM=DN。
⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
11.已知:
C点的坐标为(4,4),A为y轴负半轴上一动点,连CA,CB⊥CA交
x轴于B。
①求证:
CA=CB;
②问OB-OA是否为定值,是定值并求其定值。
12.已知A(-4,0),B(0,4),C(0,-4),过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。
①求证:
OM=ON;
②连MN,MN交x轴于Q,若M点的纵坐标为3,求M与N的坐标。
5.三角形全等的判定五(HL)
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是高.求证:
(1)BD=CD;
(2)∠BAD=∠CAD.
2.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC.求证:
∠ABD=∠ACD.
3.已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
(1)
;
(2)
.
4.如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:
EB=FC
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
求证:
AD是△ABC的角平分线.
6.角的平分线的性质
1.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC.
求证∠1=∠2.
2.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF=EF.
3.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
求证:
AD是△ABC的角平分线.
4.如图,在ABC中,∠A=90°,BD平分B,DE⊥BC于E,且BE=EC,
(1)求∠ABC与∠C的度数;
(2)求证:
BC=2AB.
7.倍长中线法与截长补短法
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD为BC边的中线,则AD的长
的取值范围是().
A.1<
<4B.3<
<5C.2<
<3D.0<
<5
2.AD是△ABC中BC边上的中线,AB=4,AC=6,则AD的取值范围是.
3.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.
(1)判断CD与BE有怎样的数量关系;
(2)探索DC与BE的夹角的大小.(3)取BC的中点M,连MA,探讨MA与DE的位置关系。
4.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
(1)求证:
AE⊥BE;
(2)求证:
E是CD的中点;
(3)求证:
AD+BC=AB.
5.如图△ABC中,∠A=500,AB>AC,D、E分别在AB、AC上,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,BE、CD相交于O点,求∠BOC的度数.
6.△ABC中,D是BC中点,DE⊥DF,E在AB边上,F在AC边上,判断并证明BE+CF与EF的大小?
.
7.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,求证:
BC=AB+AD.
(分别用截长法和补短法各证一次)
8.已知,如图,在正方形ABCD中AB=AD,∠B=∠D=90°.
(1)如果BE+DF=EF,求证:
①∠EAF=45°;②FA平分∠DFE.
(2)如果∠EAF=45°,求证:
①BE+DF=EF.②FA平分∠DFE.
(3)如果点F在DC的延长线上,点E在CB的延长线上,且DF-BE
=EF,求证:
①∠EAF=45°;②FA平分∠DFE.(画图并证明)
8.全等三角形检测
一.选择题:
1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D,∠B=∠E,要使△ABC≌△FED,还需要的条件是()
A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F
2.如图:
AB∥CD,AD∥BC,AC、BD交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F点,那么图中全等三角形共有()
A.5对B.6对C.7对D.8对
3.如图,D在AB上,E在AC上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是()
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC
4.如图:
某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块,现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()
A.带①去B.带②去
C.带③去D.带①和②去
5.下列说法中,正确的个数是()
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等;③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;④有两边相等的直角三角形全等;⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD为BC边的中线,则AD的长
的取值范围是().
A.1<
<4B.3<
<5C.2<
<3D.0<
<5
7.下列四个命题:
①直角三角形只有一条高线;②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等;③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.等腰三角形周长为
,一腰的中线将周长分成5:
3两部分,则它的底边长为().
A.
B.
C.
或
D.
9.下列条件中,能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是().
①顶角和一条腰对应相等;②一条腰和底边对应相等;
③顶角和底边对应相等;④两条腰和底角对应相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知:
如图,BD为△ABC的的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:
①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;
④BA+BC=2BF.其中正确的是().
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
11.如图:
已知AD⊥AB,AE⊥AC,AD=AB,AE=AC则下列结论:
①∠DAC=∠BAE;②△DAC≌△BAE;③DC⊥BE;④MA平分∠DME;⑤△BMC≌△CEA;正确个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PG⊥EF于G,在GP的延长线上取一点D,使PD=PB,则BC与DC关系是()
A.BC=DCB.BC=DC,且BC⊥DC
C.BC>DCD.BC⊥DC
二.填空题:
13.AD是△ABC中BC边上的中线,AB=4,AC=6,则AD的取值范围是.
14.如图△ABC中,∠A=500,AB>AC,D、E分别在AB、AC上,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,BE、CD相交于O点,则∠BOC的度数为.
15.已知:
如图,点A在线段DE上,点F在线段AB上,且∠1=∠2=∠3,要使得△ABC≌△EDC,需要添加的一个条件是
_____________(只需写出一个满足的条件)
16.已知△ABC中,高AD与高BE交于H点,BH=AC,则∠ABC的度数等于.
17.如图,∠1=∠2=25°,∠3=∠4,∠5=∠6,则∠7=.
18.有一张等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的顶角为度.
三.解答题:
19.如图,已知:
AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
求证:
△ABD≌△ACE.
20.如图,AB=AD,BC=DE,∠1=∠2,求证:
(1)AC=AE;
(2)∠CAE=∠CDE
21.已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF.
22.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=
(AB+AD).①求证:
BC=DC.②求∠ABC+∠ADC的度数.
23.如图,△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形,BF与CE相交于O.①求证:
BF=EC.②求∠EOB的度数.③求证:
OA平分∠EOF.
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