圆中辅助线.doc
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圆中辅助线.doc
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圆中辅助线
一、作弦心距.
在解决有关弦的问题时,常常作弦心距,以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.
例1.如图,AB是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点,弦PN与AB相交于点M,
求证:
PM•PN=2PO2.
分析:
要证明PM•PN=2PO2,即证明PM•PC=PO2,
过O点作OC⊥PN于C,根据垂经定理NC=PC,只需证明
PM•PC=PO2,要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO.
证明:
过圆心O作OC⊥PN于C,∴PC=PN
∵PO⊥AB,OC⊥PN,∴∠MOP=∠OCP=90°.
又∵∠OPC=∠MPO,∴Rt△POC∽Rt△PMO.
∴即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•PN,∴PM•PN=2PO2.
二、作直径所对的圆周角
在解决有关直径的问题时,常常作直径所对的圆周角,以利用直径所对的圆周角是直角的性质。
例2如图,在△ABC中,∠C=90°,以BC上一点O为圆心,以OB为半径的圆交AB于点M,交BC于点N.
(1)求证:
BA·BM=BC·BN;
(2)如果CM是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC=3时,求AB的值.
分析:
要证BA·BM=BC·BN,需证△ACB∽△NMB,而∠C=90°,所以需要△NMB中有个直角,而BN是圆O的直径,所以连结MN可得∠BMN=90°。
M
N
O
C
A
(1)证明:
连结MN,则∠BMN=90°=∠ACB
∴△ACB∽△NMB
∴
∴AB·BM=BC·BN
(2)解:
连结OM,则∠OMC=90°
∵N为OC中点
B
∴MN=ON=OM,∴∠MON=60°
∵OM=OB,∴∠B=∠MON=30°
∵∠ACB=90°,∴AB=2AC=2×3=6
三、连结半径
圆的半径是圆的重要元素,圆中的许多性质如:
“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关,连结半径是常用的方法之一.
例3.已知:
如图,△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,以OB为半径的圆切AC于D点,交AB与E点,AD=2,AE=1.
求CD的长.
分析:
D为切点,连结DO,则∠ODA=90°.根据切线长定理,有CD=CB.DO=EO=半径r,在Rt△ADO中根据勾股定理或Rt△ADO~Rt△ABC,即可求出CD.
证明:
连结DO∴OD⊥AC于D,∴∠ODA=90°.
∵AB过O点,∠B=90°.∴BC为⊙O的切线,∴CD=CB
设CD=CB=x,DO=EO=y
在Rt△ADO中,AO2=AD2+DO2,AD=2,AE=1
∴,解得y=
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即(2+x)2=(1+y+y)2+x2,∴x=3∴CD=3.
四、连结公共弦
在处理有关两圆相交的问题时,公共弦像一把“钥匙”,常常可以打开相应的“锁”,因此“遇到相交圆,连接公共弦.”。
例4.已知:
如图,⊙O1和⊙O2相交于点A和B,
O2O1的延长线交⊙O1于点C,CA、CB的延长线分
别和⊙O2相交于点D、E,求证:
AD=BE.
分析:
⊙O1和⊙O2是相交的两圆,作公共弦AB为辅助线.
证明:
连结AB交O2O1于P点,
∵O1O2⊥AB且O1O2平分AB∴CA=CB
∴∠ACP=∠BCP∴点O2到线段AD、BE的距离相等∴AD=BE.
五、作连心线
两圆相交,连心线垂直平分两圆的公共弦;两圆相切,连心线必过切点.通过作两圆的连心线,可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此,“已知有两圆,常画连心线.”.
例5.已知:
如图,⊙A和⊙B外切于P点,⊙A的半径为r,⊙B的半径为3r,CD为⊙A、⊙B的外公切线,C、D为切点,求:
(1)CD的长;
(2)CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.
解:
(1)连结AB、AC、BD
∵⊙A和⊙B外切于P点,∴AB过P点
∵CD为⊙A、⊙B的外公切线,C、D为切点,
∴AC⊥CD,BD⊥CD
过A点作AE⊥BD于E,则四边形ACDE为矩形.
∴DE=AC=r,BE=BD-DE=3r-r=2r
在Rt△AEB中,AB=AP+PB=r+3r=4r,BE=2r
∴AE=∴CD=2r.
(2)由
(1)可知COSB=,∴∠B=60°.∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=90°+30°=120°.
∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP
=4-π-π=(4-π)
六、作公切线
分析:
相切两圆过切点有一条公切线,这条公切线在解题时起着非常重要的作用,如下题中所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此,相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.
例6.已知:
⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点.
求证:
AB⊥AC
证明:
过切点A作公切线MN交BC于P点,
∵BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,
∴PB=PA=PC
∴∠PBA=∠PAB,∠PAC=∠PCA
∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA=180°.
∴∠BAC=90°.
∴AB⊥AC.
七、切线判定分两种:
公共点未知作垂线、公共点已知作半径
切线的判定定理是:
“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”,就是说,要判定一条直线是否是切线,应同时满足这样的两条:
(1)直线经过半径的外端,
(2)直线垂直于这条半径,所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
1.无点作垂线
需证明的切线,条件中未告之与圆有交点,则联想切线的定义,过圆心作该直线的垂线,证明垂足到圆心的距离等于半径.
例7.已知:
如图,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,若∠DOC=90°.
求证:
DC是⊙O的切线.
分析:
DC与⊙O没有交点,“无点作垂线”,过圆心O作OE⊥DC,只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径,若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中,需证明△DEO≌△DAO
证明:
作OE⊥DC于E点,取DC的中点F,连结OF.
又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.
∵AD⊥AB,BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.
∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.
∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA,OE⊥DC,
∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.
2.有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时,联想切线的判定定理,只要将该点与圆心连结,再证明该半径与直线垂直.
例8.已知:
如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:
CD是⊙O的切线.
分析:
D在⊙O上,有点连圆心,连结DO,证明DO⊥DC即可.
证明:
连结DO,∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB,又OC=OC,DO=BO∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC,∵BC为⊙O的切线,切点为B
∴∠OBC=90°,∴∠ODC=90°,又D在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀:
弦与弦心距,密切紧相连;直径对直角,圆心作半径;已知有两圆,常画连心线;.
遇到相交圆,连接公共弦;遇到相切圆,作条公切线;“有点连圆心,无点作垂线.”
切线证明法,规律记心间.
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