线性代数习题四docx.docx
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线性代数习题四docx
习题四
1.思路:
往证R(A)=R(A,B)以及R(B)vR(B,A),其中因为(A,B)与(B,A)列等价,所以R(A,B)=R(B,A)必定成立.
2.思路:
往证R(A)=R(B)=R(A,B).
3.
解法一:
利用向量组线性表示的性质(P.83定理1至P.85定理3)
(1)因为R(a2,a3) 又7? (apa2,a3)=2,所以根据P.84定理2可知,纠能由a2,a3线性表示. (2)因为/? (q,°2,為,。 4)»尺(。 2,為,。 4)=3,且7? (q,O2,偽)=2, 所以R(d],勺,)VR(%,色,),从而a4不能由,冬,线性表示. 解法二: 利用向量组线性相关的性质(P.89定理5) ⑴因为/? @卫3,吗)=3,所以a2,a3,a4线性无关,从而其部分组也线性无关. 又/i(al9a29a3)=2<3,所以al9a2,a3线性相关. 根据P.89定理5结论(3)可知,坷能由色,5线性表示. ⑵反证法设偽能由坷4卫3线性表示・己经证明“q能由勺4线性表示”成立,故冬能由。 2,。 3线性表示,这与尺他,勾為)=3矛盾,假设不成立,故匂不能由。 1,。 2卫3线性表示. 9.解法一: 勺—$+/? 34=(。 1+°2)一(。 2+。 3)+(。 3+。 4)一(。 4+坷)=0,得证. R(K)=3,于是R(B)=R(AK) (A),R(K)} 解法三: 设有一组实数蛀2虫出使得kfy+k2b2+k3b3+k4b4=0,即 (k、+Q)d]+(/+k2)a2+伙2+&)©+&+k4)a4=0, ⑴若线性相关,则%+心),伙]+短),伙2+心),伙3+心)可以不全为零,从而 仆&人不全为零,于是%优厶上°线性相关. 解法四: 设有一组实数k^k2,k3,k4使得切+k2b2+k3b3+k4b4=0,即 k、+kA £+E=o ';c有非零解,从而b\,b」3,S线性相关. *2+*3=0 冏+心=0 10. 5 1…1、 解法一: 根据题意,有(勺上2,・・・,$)=(坷卫2,・・・4) 0 ■ ■ ■ 1…1 •• •• ♦• <0 0…1丿 (11 01上三角形矩阵.. •• •• 00 1) 1是可逆矩阵,又4卫2,…,色线性无关,故 ■ ■ 1丿 /? (%/? 2,・・・,也.)=/? (0]卫2,…4)=r,勺厶,线性无关. 方法二: 设切+也・・・+%=0,即 &+£+・・・+&)再+(&+・・・+&)^2+•••+&/—=0 k、+k24kr=0 己知a,%,…,%线性无关,故《k2+—k「=0,解得心=&=•••=匕=0, 心=0 -厂 从而%$,・・・,$线性无关. 15.证明: 必要性设b是任一斤维向量,根据P.89定理5结论⑵可知,即色,线性相关.若4卫2,…,色线性无关,则根据P.89定理5结论⑶可知b可由即如…,%线性表示. 充分性设任一兀维向量都可由坷卫2,…,色线性表示.特别地,&的列向量组也可由缶,。 2,…,%线性表示,那么n=jR(En) 16.证明: 方法一: 因为qHO,所以®线性无关. 第一步: 考虑珂宀,若勺线性相关,则勺可由舛线性表示,色即为所求.否则,转入 下一步. 第二步: 考虑a^a2,a3,若即吆他线性相关,则禺可由马宀线性表示,禺即为所求・否 则,转入下一步. 因为$,•••,%线性相关,所以此过程必在笫加-1步之前结束.若在第k-l步结朿(l 方法二(反证法): 设不存在某个向量匕,使得ak(2 q”不能由其前个向量线性表示,则km=0; 陽I不能由其前面m-2个向量线性表示,则饥-=0;勺不能由其前面州个向量线性表示,则£=0. 于是kxaA=0. 又®H0,故k}=0,从而卬卫2,…,%线性无关,矛盾,假设不成立,命题得证. 17.证明: 因为qs,…心线性无关,所以R(A)=Ra,a2,-g)=s,即A是一个列满 秩矩阵. 又B=AKf根据P.70例9的结论,R⑻=R(K)・于是%? ・••,$线性无关oR(B)=R(b\,S,…如=厂oR(K)=r・ 18.证明: 显然向量组0|,02,…,0“可以由@,羽,… 线性表示. "01…1、 ‘01•…r 10…1 10・・・1 因为(01,02,…,"“"(©,禺,•••'%) •••• •••• •••• ,记K二 •••• •••• •••• 」1…0丿 11•…0丿 0 1 1对 …1刊 n-\n-\…77-1 1 1… 1 1 0 …1zr 10…1 1 0… 1 |K|= • ■ ■ • ■ ■ •• •• •• •••• •••• •••• 二0—1). • • •• •• •• ■ • • 1 1 …0 11…0 1 1… 0 1 1… 1 GT -1 =(n-l)(-ir, =OT) ■ ■ ■ -1 当gl时,|K|HO,K可逆,于是(匕。 2,・・・。 "=(伙,卩2,…心K・',即向量组 $02,…,%也可以由久02,…,禹线性表示,原题得证. 19.解: (1)“存在3阶矩阵B,使得AP=PB”意味着矩阵AP的列向量组可以由矩阵P的列向量组线性表示,矩阵B就是这一线性表示的系数矩阵. 因为P=(x,Ax,A2x),AP=A(x,Ax,A2x)=(Ar,A2x,A3x),显然 Ax=Ox+l•Ar+O・Ab, A~x=0•x+0•Ax+1•xy x=0•x+34x+(-1)•A~xy <0 0 0、 所以矩阵B二 1 0 3 <0 1 i丿 ⑵解法一: 因为兀,线性无关,所以R(P)=3,从而矩阵P可逆. 又因为存在3阶矩阵B,使得AP=PB,所以A=PBPT,|A|=|B|=O. 解法二: 因为Ax=3Ax-A2x,所以3Ax-A1x-A\=A(3x-Ax-A2x)=(),即 3x-Ar-A2x是齐次线性方程组Au=0的解.又因为%,Ar,A2%线性无关,所以 3x-Ax-A2x^0,即是齐次线性方程组Aw=0的非零解,于是R(A)<3, H=o- -213、 "2-213、 斤-2仪 <-801-1、 6*(-1) r-8o1-r -528丿 <5-102丿 <5-102丿 <-510-2, 21.解: 如果能找到山=0两个线性无关的解向量%优,则B=(b「2)即为所求. (2 A= 2 <0> 1丿 <0> fl0) 5 2 52 8 1 则3= (%$)= 81 <01丿 不妨令q 即为所求. 注意: 是否把矩阵A化为行最简形矩阵并不影响方程组Ar=0的求解.木题中,如果机械地把矩阵A化为行最简形矩阵,会涉及不少分数运算,容易计算出错.另外,选取不同的变量充当自由变量,会得到不同通解.但是根据分析,方程组Ax=Q任意两个线性无关的解向量构成的矩阵都是满足题目要求的,故本题的答案应该不唯一。 事实上,任取下列四个解向量中的两个都构成Ax=0的基础解系: <0 <0> "2、 <-P 5 2 0 11 b\= 8 4= 1 ,2= 11 上4= 0 0 1 <_5> 即系数矩阵A的列数等于4.另 22.解: 因为是4维向量,所以方程组有4个未知数, 一方面,因为基础解系含2个线性无关的解向量,所以R(A)=4-2=2,方程的个数可以 是任意m(>2)个.考虑构造一个2x4矩阵A,且/? (A)=2. 显然厶和刍线性无关,构成齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,那么通解可表示为 容易看出: 可令西,兀2做自由变量,那么兀3=一兀1+2兀2,兀4=一2兀]+3兀2・于是収 解法二: 是山=0的基础解系 AB=A(^2)=O且R(A)=2,其中B=($,■) BlAr=O且/? (A7)=2 «屮的两个列向量是刃兀=0的两个线性无关的解,其屮A是2x4矩阵 o屮的两个列向量是Btx=0的基础解系(因为R(B)=2) 对应的齐次方程组为(丙一2兀2+"=° 2兀[一3兀2+兀4=° 24.解: 因为=所以A(A-E)=0,根据矩阵的秩的性质8有,R(A)+R(A-E) R(A)+R(A-E)=R(A)+/? (£-A)>/? (£)=n综上所述,R(A)+R(A-E)=n. 25.证明: (1)当R(A)=n时,|內工0,从而|a[=|A厂工0(P.56第24题的结论),/? (/! *)=/? . (2)当/? (A)=〃—1时,|A|=0,AA=0,/? (A)+/? (A)G7,/? (a4) 又因为当R(A)=n-\时,A中一定存在农-1阶非零子式,故A不是零矩阵,R(A*)=1・(3)当/? (A)5n—2时,A中所有71—1阶子式都等于零,故A*是零矩阵,/? (Aj=0. 解: 因为四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系只包含解一个向量,构造如下: 4 2〃厂(〃2+〃3)=5' 28•思路: (1)/? (坷,。 2卫3)<心即知偽") (2)R(ava2,a3)=R(ava2.a3,b)=3 (3)/? (4卫2卫3)=尺(4卫2卫3上)<3 I、: 纠兀+b]y+q=0, 29.解: 三直线J/2: a2x+fe2y+c2=0,相交于一点(其中分+分工0,i=1,2,3是为了保证/3: a3x^b3y^c3=0, 这3条直线不平行) Q]兀+/? 1);=—C], 当且仅当线性方程组\a2x+b2y=-c29只有唯一解 a3x+b3y=-c3, 当且仅当向量组a"线性无关,abc线性相关. 30. 解: 因为ax=2tz2-a3,所以a〕一2$+冬+°'。 4=°,即〔 10丿 因为矩阵4=(q卫2卫3卫4)也卫3卫4线性无关,4=2。 2-。 3,所以尺(人)=3,四元 齐次线性方程组Ax=0的基础解系中只包含一个解向量. 31•证明: ⑴方法一: 设k"+咕\+&■+•・・+k;…=0,那么 Agif+&&+匕益+…+=k佝=k()b=0• 因为bH0,所以k0=0f从而kg]+k2^2*卜kn_r^n_r=0・ 又刍,•••,《_是对应齐次线性方程组的基础解系,线性无关,故k.=k2=•-=kn_r=Q.于是根据定义,讥: …乩线性无关. 方法二(反证法): 设□—,・•・,©■「线性相关,已知6,徐…乙“是对应的齐次线性方程组的基础解系,线性无关,那么可由6,徐・••,§_线性表示,记作 =入+入§2+…+血一丘—F,从而 血=A(牯+彩2+…+VrCr)=0Hb 这与77*的定义矛盾,假设不成立,命题得证. (2)设切*++$)+灯斤+■)+…+=0,即 伙°+何+怠…+Vr)7+培1+^2§2+…+K-r^n-r=0已经证明•••,£_线性无关,故心+£+&•••+《-=0,k}=k2=•-=kn_r=0,从而心=0,得证. 33.证明: 设Ax=b解集为S,容易验证若x=kg+k2r/2HFkn_r+l? ]n_r+[(其中 何+怠+•••+&_+]=1),则Ax=b成立,于是 {兀=臥+切2+…+Vr+l^n-r+lI$+心+…+利=1}US・ 令6=7-久-冲,盒二“2一,…,Cr=几-厂〃",则6,§2,…,h是对应的齐次线 性方程组的线性无关的解.又/? (A)=r,于是: ,…,h构成Ax=0的一个基础解系,从而Ax=b的通解可表示为 x=kg\+k2^2+…+kn_r^n_r+7]n_r+l =人(〃厂久”)+心(%-久卄)+…+K-r叽-久卄)+久" =心〃1+心〃2+…+人_几7+(1—心一心 =切1+心〃2+…+k叶几7+《—+1〃,—+] 其中/+上2H《_「+]=1,得证. 36•思路: 往证RS]®)=尺(。 ]卫2力1厶)=R(bl9b2)• 37•思路: 仿照P.104例24. 3&思路: 仿照R104例25.
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