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概率知识点和公式
第1章随机事件及其概率
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它岀现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用0来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用。
表示。
一个事件就是由。
中的部分点(基本事件㈢)组成的集合。
通常用大写字母
A,B,C,…表示事件,它们是O的子集。
G为必然事件,0为不可能事件。
不可能事件(0)的概率为零,而概率为零的事件不一泄是不可能事件;同理,必然事件(Q)的槪率为1,而概率为1的事件也不一立是必然事件。
(6)事件的关系与运算
1关系:
如果事件A的组成部分也是事件万的组成部分,(刃发生必有事件万发生):
AuB
如果同时有AuB,则称事件月与事件方等价,或称川等于丘
A=Bo
A.万中至少有一个发生的事件:
月11万,或者卅万。
属于川而不属于万的部分所构成的事件,称为月与万的差,记为月-万,也可
表示为月-初或者AB,它表示兔发生而万不发生的事件。
A.万同时发生:
A^B,或者仙。
aAB=0,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
G-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为只。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC二(AUC)n(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)
QA,=l加
徳摩根率:
-1i=aC\b=a\jb
(7)概率的公理化定义
设0为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°OWP(A)
2°P(Q)=1
3°对于两两互不相容的事件4】,42,…有
X\x
pQk卜4人)
\/=|/1=1
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
r0=仙,力2…©,
2°)=…)=丄。
/?
设任一事件A,它是由©,少2…血皿组成的,则有
尸⑷二{(®)U(®)U…U(©“)}二P(®)+P92)+…+P(%)_m_A所包含的基本事件数
n基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
P(A)=S.。
其中L为几何度量(长度、而积、体积)。
厶(⑵
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BcA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)条件
概率
定义设A.B是两个事件,且P(A)>0,则称甞工为事件A发生条件下,事P(A)
件B发生的条件概率,记为P(B/A)_P(AB)°
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1=>P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A’,A=,…驚,若P(Ay)>0,则有
P{A\Ai...An)=P(Ai)P(A21Ai)P(As1A1A2)……P(A“1A1A2...An-1)
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件q、8是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)>°,则有
门…P(AB)P(A)P(B)“„
P(B1A)==——-——-=P(B)
P(A)P(A)
若事件A、3相互独立,则可得到入与3、A与&、入与万也都相互独
立。
必然事件C和不可能事件0与任何事件都相互独立。
0与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(0P(A)并且同时满足P(ABC)二P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全槪公式
设事件…,Bn满足
1°…、Bn两两互不相容,P(Bi)>0(1=12…/),
n
AuUE
2°i,
则有
P(A)=P(Bi)P(A1Bi)+P(B2)P(A182)+…+P(Bn)P(A1Bn)
0
(16)贝叶斯公式
设事件E,B2,…,B“及A满足
1°B\,…,B”两两互不相容,j=i,2,…,n,
2。
讨,P(A)>0,
则
⑷引,E,2,
±P(BJP(A/B,
丿
此公式即为贝叶斯公式。
P(BJ,(f=l,2,•・・,n),通常叫先验概率。
P(B」A),(i=l,2,…,"),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了"因果”的概率规律,并作出了"由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了川次试验,且满足
♦每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
♦"次试验是重复进行的,即人发生的概率每次均一样;
♦每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验人发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为〃重伯努利试验。
用"表示每次试验q发生的概率,则只发生的槪率为\_p=q,用几伙)表
示"重伯努利试验中A出现kXk次的概率,
P心)=ClPkQ'~ktk=0,1,2,•••,/?
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为Xjk二1,2,…)且取各个值的槪率,即事件(X=XJ的概率为
P(X=Xjc)=Px»k=l,2,…♦
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给岀:
X|…
P(X=Xk)P,"2,…,〃灯…。
显然分布律应满足下列条件:
00
工宀=1
(1)*=1,2,…,
(2)20
(2)连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数/("),对任意实数x,有F(x)=『fMdx
则称X为连续型随机变量。
/(X)称为X的概率密度函数或密度函数,简称槪率密度。
密度函数具有下而4个性质:
1。
f(x)>0
2。
匚加心。
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)aP(x 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X==也)=0在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 (4)分布函数 设X为随机变疑,x是任意实数,则函数 F(x)=P{X 称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。 P(a 分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x]内的概率。 分布函数具有如下性质: 1°0 2°F(x)是单调不减的函数,即XKX2时,有F(xi) 3°F(-oo)=limF(x)=O,F(+s)=limF(x)=1: .t—>-00 4°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的: 5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)o 对于离散型随机变量,F(x)=pk: X 对于连续型随机变量,F(x)=jf(x)dx。 -X (5)八大分布 0-1分布 P(X=l)=p,P(X=0)=q 二项分布 在〃重贝努里试验中,设事件A发生的概率为事件A发生的次数是随机变疑,设为X,则X可能取值为0,1,2,--,//o P(X=k)=P“g=C;卩^qZ,英中 q=\-p,0 记为X~B(n,/? )。 当”=1时,P(X=k)=pk严,£=0」,这就是(0-1)分 布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量X的分布律为 p(x=k)=—eS2>0,k=0丄2…,k\ 则称随机变量X服从参数为久的泊松分布,记为X〜兀(几)或者P(/)o 几何分布 泊松分布为二项分布的极限分布(np二入,n-8)。 P(X=k)=q’-'p、k=\23、…,其中p20,q=l-p0 随机变咼X服从参数为p的几何分布,记为G(p)° 均匀分布 设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数/(X)在[a,b]上为常数一^・即 b_a aWxWb 其他, 1 f(x)=•b-a 0, 则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~Udb)o分布函数为 x-a xJb-/aWxWb ^w=£c/(a-)ja-= 1>x>bo 当aWx&Wb时,X落在区间(山宀)内的概率为 P(xt b-a 指数分布 fM=- 0, x>0 x<0 其中久>°,则称随机变量X服从参数为久的指数分布。 X的分布函数为 记住积分公式: x>0 x<0u 正态分布 设随机变量X的密度函数为 1_(S =&,-oo >1271(7 其中"、cr>°为常数,则称随机变量X服从参数为"、b的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(“,b')。 /(X)具有如下性质: 1°/(兀)的图形是关于x=P对称的: 2°当x=»时,/(“)=十「为最大值; 若X则X的分布函数为 -仃-“0 (It 参数"=°、b=l时的正态分布称为标准正态分布,记为x~n(o,i»英题函数记为 (p(x)=-==e2 72兀,-oo<%<+oo, 分布函数为 1x上 ①(x)=‘[e1dtoyj2jr2X ①(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。 ①(-x)=1- 如果X~皿“。 2),则X—"、N(O,1)°S (6)分位数 \u/\u7 上分位表: P(X>p"=a° (7)函数分布 离散型 已知X的分布列为 XXI,X2,…,劝,… P(X=Xi)[儿卩2、…、]儿… Y=g(X)的分布列(”=g(£)互不相等)如下: Yg(R),g(X2),…,g(x“),… 若[某鑫(口佈等他应鳶対翻匕相加作为g(Xi)的概率。 连续型 先利用X的槪率密度仇6)写出Y的分布函数Fv(y)=P(g(X)W y),再利用变上下限积分的求导公式求岀fXy)。 布有时也用下面的概率分布表来表示: X yz ••• ••• Xi Pn Pi: ••• Pv ••• x- Pri ••• PR ••• : : : : : Xi 皿 ••• Ps ••• : : : : : 这里具有下而两个性质: (1)p&O(1,3=1,2,-): (1)联合 分布 离散型 第三章二维随机变量及其分布 如果二维随机向量疳(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称纟为离散型随机量。 设疔二(X,Y)的所有可能取值为(兀,片)&,_/=1,2,…),且事件{§=(X.,儿)}的概率为皿,称 川(x,丫)=(小,yj)}=pijaj=i,2,…) 为台二(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。 联合分 ⑵EE几 连续型 对于二维随机向量纟=(x,y),如果存在非负函数f(X,y)(-8VXV+S,-S<>'<+8),使对任意一个英邻边 分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)a 有 P{(X,r)e£>|=jJ/(x,yW>- i) 则称纟为连续型随机向量: 并称f(x,y)为纟二(X,Y)的分布 密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下而两个性质: (1)f(x,y)MO; (2)J*/ay)dxdy=1. (2)二维随机变量的本质 ^(X=x9Y=y)=^(X=xf)Y=y) (3)联合分布函数 设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,-元函数 F(x,y)=P{X 称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平而为其泄义域,以事件{(®,®)1ydVX(©)5 分布函数F(x,y)具有以下的基本性质: (1)0 (2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即 当X5〉Xi时,有F(xs,y)2F(x“y);当yj%时,有F(x,y3)MF(x,yj; (3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即 F(x,y)=F{x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0); (4)F(—oo,—oo)=F(—oo,y)=F(x,—s)=0,F(+^,+s)=1. (5)对于坷 Fg,y2}~F(xvyJ-Fg,y2)+F(xr^)>0. (4)离散型与连续型的关系 P(X=x,Y=y)«P(x (5)边缘分布 离散型 X的边缘分布为 Pi.=P(X=xi)=X為(iJ=12…);J Y的边缘分布为 ^=P(y=y;)=^內(ij=l,2,…)。 i 连续型 X的边缘分布密度为办(劝=匚/(")芳; Y的边缘分布密度为 //(>')=匚 (6)条件分布 离散型 在已知X二山的条件下,Y取值的条件分布为 Pa P(Y=yj\X=Xi)=-^; Pi・ 在已知『二力的条件下,X取值的条件分布为 P(X=x/ir=y.)=-^, P・j 连续型 在已知Y二y的条件下,X的条件分布密度为 /(小)"*); 齐(刃 在已知Xp的条件下,Y的条件分布密度为 fxM (7)独立性 一般型 F(X,Y)=Fx(x)Fr(y) 离散型 p.j=Pi.p.j 有零不独立 连续型 f(x,y)=fxGc)fr(y)直接判断,充要条件: 1可分离变量 2正概率密度区间为矩形 二维正态分布 11mg)(rI —、12(l-p2)l616616丿 f(x.y)=0」, 2/ktsJi一p2 p=0 随机变量的 函数 若X;,X“…百,…凡相互独立,h,g为连续函数,则: h(X”^,…汕)和g(Xru-Xn)相互独立。 特例: 若X与Y独立,贝ij: h(X)和g(Y)独立。 例如: 若X与Y独立,则: 3X+1和5Y-2独立。 (8)二维均匀分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 占(v,y)eD 0,其他 苴中S"为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)〜 U(D)o (9)二维正态分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 1X-灿f_20.一"])Jf] C,,、_1c2(1-,)”巧丿6616? 1 J(X,))1e» 2E6yj\~P~ 英中內,“2.6>°,旷2>0,lQlvl是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布, 记为(X,Y)〜N(M,“2.b: cr;,Q). 由边缘密度的汁算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布, 即X〜N(“],of),Y~N(〃2.&). 但是若X〜N(“i,bf),Y~N(“2&),(X,Y)未必是二维正态分布。 (10)函数分布 Z=X+Y 根据定义计算: Fz(z)=P(Z 对于连续型,f: (z)=jf(x.z-x)dx —QC 两个独立的正态分布的和仍为正态分布(“]+“2,b: +b;)。 n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 ",O-2 ii Z=maxjnin( X1.X2,…Xn) 若X|,X2…X“相互独立,英分布函数分别为 Fk(x),Fx(兀)…化(X).则Z=maxjnin(Xi,X2/-Xn)的分布*1Art 函数为: FmaKM=FXiM-f'Xi(x)-FxM &in⑴=1一[1一耳(別•11一7(切…卩一仏⑴] F分布 设n个随机变量…,X”相互独立,且服从标准正态分 布,可以证明它们的平方和 w=f%; f-1 力2分布满足可加性: 设 匕-*(阿), 则 k Z=》匕-Z2(«! +〃2+・・+®)・ /-I t分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,且 X~N(O,l),Y~*s), 函数 T-y/Y/n 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T〜t(n)。 h.aW=-ta(n) F分布 设X~*(q),y~才(”2),且x与Y独立,可以证明F=^^~的概率密度函数为 Yin. •- 我们称随机变量F服从第一个自由度为m,第二个自由度为n: 的F分布,记为F〜f(n“nJ. 第四章随机变量的数字特征 (1) 离散型 连续型 一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量,其分布律为P(X=无)=pk,k=l,2,•••,n, A-l (要求绝对收敛) 设X是连续型随机变量,其槪率密 度为f(x), -X E(X)=^xf(x)dx Y (要求绝对收敛) 函数的期望 Y二g(X) I-i Y=g(X) E(y)=j^Gv)/CvXv —oc 方差 D(X)=E[X-E(X)]3, 标准差 D(X)=^[xt-£(X)]2Pi k +oc D(X)=j[X-E(X)]2f(X)dx —QC 矩 1对于正整数k,称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩,记为%即 VfE(Xx)=为X-Pj, i k二1,2,…. 2对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩,记为“衣,即 从=E(X-E(X)y • 二工(兀一E(X))*p, r k二1,2,•••・ 1对于正整数k,称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩,记为%即 k二1,2,•••・ 2对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幕的数学期望为X 的k阶中心矩,记为“一即 ^k=E(X-E(X))k ■ 二匸(x—E(X))‘ k=l,2,…. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E(X)=u,方差D(X)=02,贝IJ对于任意正数£,有下列切比雪夫不等式 2 切比雪夫不等式给岀了在未知X的分布的情况下,对槪率 P(|X-A|>5) 的一种估计,它在理论上有重要意义。 (2)期望的性质 (1)E(0=C (2)E(CX)=CE(X) (3)E(X+Y)二E(X)+E(Y),E(ffC,E(&) i-lr-1 (4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件: X和Y独立; 充要条件: X和Y不相关。 (3)方差的性质 (1)D(C)=0;E(C)=C (2)D(aX)=a: D(X): E(aX)=aE(X) (3)D(aX+b)=a: D(X): E(aX+b)=aE(X)+b (4)D(X)=E(XS)-E2(X) (5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件: X和Y独立: 充要条件: X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 (4)常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布8(1,p) P p(l-p) 二项分布B(n,p) np “仆-p) 泊松分布PW 2 兄 几何分布G(p) 1 P 1一" 均匀分布U(a,b) a+b 2 (b_d)2 12 指数分布巩刃 1 I 1 正态分布"(“,,) b- *分布 n 2n t分布 0 —(n>2) n一2 (5)二维随机变量的数字特 期望 r-1 E{Y)=YyjP.} E(X)=jxf'x -X ■Kc E(Y)=Jyfy(y)dy 征 函数的期望 E[G(X,Y)]= 工工GQ,儿)心 i) E[G(X,y)]= -K» JJG(x,y)f(x,y}dxdy —8—X 方差 Q(X)=》[石-E(X)]2亿. 1 D(r)=2L[x>-E(r)]2p.> } -wc £>(%)=J[x-E(X)]2A(a)Ja- —30 D(Y)=j[y-E(Y)]2fy(y)dy —oc 协方差 对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩,记为bxy或cov(X,y),即 %=E[(x-E(x)xr-E(r»]. 与记号aXY相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为bxy与 相关系数
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