广东省深圳市罗湖区华英学校人教版七年级数学培优讲义无答案第13讲 平行线的性质及其应用.docx

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广东省深圳市罗湖区华英学校人教版七年级数学培优讲义无答案第13讲平行线的性质及其应用

第13讲平行线的性质及其应用

考点·方法·破译

1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；

2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.

经典·考题·赏析

【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数.

【解法指导】

两条直线平行，同位角相等；

两条直线平行，内错角相等；

两条直线平行，同旁内角互补.

平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.

【解】：

∵AB∥CDBC∥AD

∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）

∴∠A＝∠C∵∠A＝38°∴∠C＝38°

【变式题组】

01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）

A．155°B．50°C．45°D．25°

02．（安徽）如图，直线l1∥l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）

A．50°B．55°C．60°D．65°

03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：

∠D：

∠B＝2:

3:

4,试求∠α、∠D、∠B的度数.

【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.

【解】∵AB∥CD∥EF∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD（两条直线平行，内错角相等）又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°

【变式题组】

01．如图，已知AF∥BC,且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________

02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________

03．如图，已知AB∥MP∥CD,MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：

∠A＝∠F.

【解法指导】

因果转化，综合运用.

逆向思维：

要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．

要证明DF∥AC,即要证明∠D＋∠DBC＝180°，

即：

∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC

＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要

证明∠1＝∠3.

证明：

∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）

【变式题组】

01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：

DE∥FG

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：

∠AED＝∠ACB

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行

于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行

于α，则角θ等于_________.

【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.

求证：

AD平分∠BAC．

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析

条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论

的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：

∠1＝∠3）

证明：

∵EG⊥BC，AD⊥BC∴∠EGC＝∠ADC＝90°

（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）

∵∠1＝∠3∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等）

∴AD平分∠BAC（角平分线定义）

【变式题组】

01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求证：

DC⊥BC．

02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED，CE平分∠ACB．求证：

∠EDF＝∠BDF.

3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分线.CM⊥CN，求：

∠BCM的度数.

【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：

∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°

【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，

联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

过点C作CD∥AB即把已知条件AB∥EF联系起来，这是关键.

【证明】：

过点C作CD∥AB∵CD∥AB∴∠1＋∠ABC＝180°

（两直线平行，同旁内角互补）又∵AB∥EF，∴CD∥EF（平行

于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180°（两直线平行，

同旁内角互补）∴∠ABC＋∠1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°

即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°

【变式题组】

01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.

结论：

⑴____________________________⑵____________________________

⑶____________________________⑷____________________________

【例６】如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是

∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°

【解法指导】基本图形

善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.

【解】过点E作EH∥AB．过点F作FG∥AB．∵AB∥EH∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3又∵AB∥CD∴FG∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°

【变式题组】

01．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）

A．∠β＝∠α＋∠γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°

C．∠α＋∠β－∠γ＝90°D．∠β＋∠γ－∠α＝90°

02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数.

【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.

⑴定：

确定平移的方向和距离.

⑵找：

找出图形的关键点.

⑶移：

过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.

⑷连:

按原图形顺次连接对应点.

【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.

【变式题组】

01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.

02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°,BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3,求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积.

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：

厘米）

演练巩固反馈提高

01．如图，由A测B得方向是（）

A．南偏东30°B．南偏东60°

C．北偏西30°D．北偏西60°

02．命题：

①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°

04．下列命题中，正确的是（）

A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补

05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.

A．①②B．②③C．③④D．①④

06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）

A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°

07．下列几种运动中属于平移的有（）

①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.

A．1种B．2种C．3种D．4种

08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）

10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移.平移方向为射线AD的方向.平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.

11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.

⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；

⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.

⑴互补的角是邻补角；

⑵两个锐角的和是锐角；

⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？

并说明理由.

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角.当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系.你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？

15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.

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01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（）个

02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）

03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AA1＝2cm.将AC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.

04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1[即阴影部分如图⑴];将折现A1A2A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1[即阴影部分如图⑵];

⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.

⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________,S2＝________,S3＝________.

⑶联想与探究：

如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？

05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）

A．720°B．108°或144°C．144°D．720°或144°

06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）

A．90B．1620C．6480D．2006

07．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.

08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三等分∠AEC．问：

EF与EG中有没有与AB平行的直线？

为什么？

09．如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.

⑴求∠EOB的度数；

⑵若平行移动AB，那么∠OBC：

∠OFC的值是否随之发生变化？

若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.

⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？

若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.

11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？

12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？