1高中数学数列练习题与解析.docx
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1高中数学数列练习题与解析
数列练习题
一.选择题(共
16小题)
1.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且
bn=an+1﹣an(n∈N*),若b3=﹣2,b10=12,则a8=(
)
A.0
B.3
C.8
D.11
2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+
),则an=(
)
A.2+lnn
B.2+(n﹣1)lnn
C.2+nlnn
D.1+n+lnn
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n
2﹣9n,第k项满足5<ak<8,则k等于(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(
)
A.2n﹣1
B.
C.
D.
5.已知数列{an}满足a1=1,且
,且n∈N*),则数列{an}的通项公式为(
)
A.
an=
B.n
C.n
D.n
n
a=
a=n+2
a=(n+2)3
6.已知数列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,bn=log2an,那么数列{bn}的前10项和等于(
)
A.130
B.120
C.55
D.50
7.在数列
an中,若a1
1,an1
2an
3(n1),则该数列的通项
an(
)
A.2n
3
B.2n13
C.2n
3
D.2n1
3
8.在数列{an}中,若a1=1,a2=
,
=
+
(n∈N
*),则该数列的通项公式为(
)
A.n
B.n
C.n
D.n
a=
a=
a=
a=
9.已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1(n≥2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+⋯+an,则下列结论正确的是(
)
A.a
B.
a=﹣3,S
=5
100=﹣1,S100=5
100
100
C.a100=﹣3,S100=2
D.a100=﹣1,S100=2
10.已知数列{a
}中,a=3,a=2a+1,则a=(
)
n
1
n+1
n
3
A.3
B.7
C.15
D.18
11.已知数列
{an},满足
an+1=
,若
a1=
,则
a2014=(
)
A.
B.2
C.﹣1
D.1
12.已知数列
an中,a1
5
an1
1an
(1)n1,,则an=(
)
6
3
2
A.3
(1)n
2
(1)n
B.3
(1)n1
2
(1)n1
C.2
(1)n
3
(1)n
D.2
(1)n1
3
(1)n1
2
3
2
3
2
3
2
3
13.已知数列
an
中,a1
1;数列bn
中,b10。
当n
2时,an
1(2an1bn1),bn
1(an12bn1),求an,bn.
3
3
(
)
14.已知:
数列{an}满足a1=16,an+1﹣an=2n,则
的最小值为(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
15.已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,n∈N+,则a11=(
)
A.36
B.38
C.40
D.42
16.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥2时,an+2Sn﹣1=n,则S2015的值为(
)
A.2015
B.2013
C.1008
D.1007
二.填空题(共
8小题)
17.已知无穷数列{an}前n项和
,则数列{an}的各项和为
18.若数列{an}中,a1=3,且an+1=an
2(n∈N*),则数列的通项an=
.
19.数列{an}满足a1=3,
﹣
=5(n∈N+),则an=
.
20.已知数列{an}的前n项和Sn=n
2﹣2n+2,则数列的通项
an=
.
21.已知数列{an}中,
,则a16=
.
22.已知数列{a
}的通项公式a=
,若它的前n项和为10,则项数n为
.
n
n
23.数列{a
n
}的前60项和为
.
}满足a+(﹣1)a=2n﹣1,则{a
n
n+1
n
n
24.已知数列{an},{bn}满足a1=,an+bn=1,bn+1=
(n∈N*),则b2012=
.
三.解答题(共
6小题)
25.设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=
,a3=,且当a≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1.
(1)求a4的值;
(2)证明:
{an+1﹣an}为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
26.数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2.
(Ⅰ)设bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列;
(Ⅱ)求{an}的通项公式.
27.在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+)an+.
(1)设bn=,求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
28.(2015?
琼海校级模拟)已知正项数列满足4Sn=(an+1)2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
29.已知{an}是等差数列,公差为
d,首项a1=3,前n项和为Sn.令
,{cn}的前20项
n﹣2n﹣1
,a∈R.
和T20=330.数列{bn}满足bn=2(a﹣2)d+2
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn+1≤bn,n∈N*,求a的取值范围.
30.已知数列{an}中,a1=3,前n和Sn=(n+1)(an+1)﹣1.
①求证:
数列{an}是等差数列
②求数列{an}的通项公式
③设数列{}的前n项和为Tn,是否存在实数M,使得Tn≤M对一切正整数n都成立?
若存在,求M的最小值,
若不存在,试说明理由.
2015年08月23日1384186492的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共
16小题)
1.(2014?
湖北模拟)数列
{an}的首项为
3,{bn}为等差数列且
bn=an+1﹣an(n∈N*),若
b3=﹣2,b10=12,则
a8=(
)
A.0
B.3
C.8
D.11
(累加)
考点:
数列递推式.
专题:
计算题.
分析:
先利用等差数列的通项公式分别表示出
b3和
b10,联立方程求得
b1和d,进而利用叠加法求得
b1+b2+⋯+bn=an+1
﹣a1,最后利用等差数列的求和公式求得答案.
解答:
解:
依题意可知求得b1=﹣6,d=2
∵bn=an+1﹣an,
∴b1+b2+⋯+bn=an+1﹣a1,
∴a8=b1+b2+⋯+b7+3=+3=3
故选B.
点评:
本题主要考查了数列的递推式.考查了考生对数列基础知识的熟练掌握.
2.(2008?
江西)在数列
{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+
),则an=(
)
A.2+lnn
B.2+(n﹣1)lnn
C.2+nlnn
D.1+n+lnn
(累加)
考点:
数列的概念及简单表示法.
专题:
点列、递归数列与数学归纳法.
分析:
把递推式整理,先整理对数的真数,通分变成
,用迭代法整理出结果,约分后选出正确选项.
解答:
解:
∵
,
,
⋯
∴
=
故选:
A.
点评:
数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等,这种办
法通常称迭代或递推.解答本题需了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
3.(2007?
广东)已知数列
{an}的前n项和Sn=n
2﹣9n,第k项满足5<ak<8,则k等于(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
考点:
数列递推式.
专题:
计算题.
分析:
先利用公式an=求出an,再由第k项满足5<ak<8,求出k.
解答:
解:
an=
=
∵n=1时适合an=2n﹣10,∴an=2n﹣10.
∵5<ak<8,∴5<2k﹣10<8,
∴<k<9,又∵k∈N+,∴k=8,
故选B.
点评:
本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式an=的合理运用.
4.(2015?
房山区一模)已知数列
{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(
)
A.2n﹣1
B.
C.
D.
考点:
数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前
n项和.
专题:
计算题.
分析:
直接利用已知条件求出
a2,通过Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出Sn.
解答:
解:
因为数列{an
n,a1
n
n+1,a2
=
}的前n项和为S
=1,S=2a
所以Sn﹣1=2an,n≥2,可得an=2an+1﹣2an,即:
,
所以数列{an}从第2项起,是等比数列,所以Sn=1+=,n∈N+.
故选:
B.
点评:
本题考查数列的递推关系式的应用,前n项和的求法,考查计算能力.
5.(2015?
衡水四模)已知数列
{an}满足a1=1,且
,且n∈N*),则数列{an}的通项公式为
(
)
A.an=
B.an=
C.an=n+2
D.an=(n+2)3
n
考点:
数列递推式.
分析:
由题意及足a1=1,且
,且n∈N*),则构造新的等差数列进而求解.
解答:
,且n∈N*)?
解:
因为
,
即,则数列{bn}为首项,公差为1的等差数列,
所以bn=b1+(n﹣1)×1=3+n﹣1=n+2,所以,
故答案为:
B
点评:
此题考查了构造新的等差数列,等差数列的通项公式.
6.(2015?
江西一模)已知数列
{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,bn=log2an,那么数列{bn}的前10项和等于(
)
A.130
B.120
C.55
D.50
考点:
数列递推式;数列的求和.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由题意可得,可得数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,利用等比数列的通项公式即可得到
an,利用对数的运算法则即可得到bn,再利用等差数列的前n项公式即可得出.
解答:
解:
在数列{an}中,a1=2,an+1﹣2an=0,即,
∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴=2n.
∴=n.
∴数列{bn}的前10项和=1+2+⋯+10=
=55.
故选C.
点评:
熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n项公式即可得出.
7.在数列
an中,若a1
1,an12an3(n
1),则该数列的通项
an(
)
A.2n
3
B.2n13
C.2n
3
D.2n1
3
8.(2015?
遵义校级二模)在数列
{an}中,若a1=1,a2=
,
=+
(n∈N*),则该数列的通项公式为(
)
A.n
B.n
C.n
D.n
a=
a=
a=
a=
考点:
数列递推式.
专题:
计算题;等差数列与等比数列.
分析:
由=+,确定数列{}是等差数列,即可求出数列的通项公式.
解答:
解:
∵=+,
∴数列{}是等差数列,
∵a1=1,a2=,
∴=n,
∴an=,
故选:
A.
点评:
本题考查数列递推式,考查数列的通项公式,确定数列{}是等差数列是关键.
﹣a﹣(n≥2),a
,记Sn=a1+a2+⋯+an
,则下列结论正确的是(
)
9.(2015?
锦州一模)已知数列{an}满足an+1=ann1
1=1,a2=3
A.a100=﹣1,S100=5
B.a100=﹣3,S100=5
C.a100=﹣3,S100=2
D.a100=﹣1,S100=2
考点:
数列递推式;数列的求和.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由an+1=an﹣an﹣1(n≥2)可推得该数列的周期为
6,易求该数列的前
6项,由此可求得答案.
解答:
解:
由
an+1=an﹣an﹣1(n≥2),得
an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣(an+2﹣an+1)=﹣(an+1﹣an﹣an+1)=an,
所以6为数列{an}的周期,
又a3=a2﹣a1=3﹣1=2,a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1,a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3,a6=a5﹣a4=﹣3﹣(﹣1)=﹣2,
所以a100=a96+4=a4=﹣1,
S100=16(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5,
故选A.
点评:
本题考查数列递推式、数列求和,考查学生分析解决问题的能力.
10.(2015春?
沧州期末)已知数列{a
}中,a=3,a
=2a
+1,则a=(
)
n
1n+1
n
3
A.3
B.7
C.15
D.18
考点:
数列的概念及简单表示法.
专题:
点列、递归数列与数学归纳法.
分析:
根据数列的递推关系即可得到结论.
解答:
解:
∵a1=3,an+1=2an+1,
∴
a2=2a1+1=2×3+1=7,
a3=2a2+1=2×7+1=15,
故选:
C.
点评:
本题主要考查数列的计算,利用数列的递推公式是解决本题的关键,比较基础.
11.(2015春?
巴中校级期末)已知数列
{an},满足
an+1=
,若
a1=
,则
a2014=(
)
A.B.2C.﹣1D.1
考点:
数列递推式.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由已知条件,分别令
n=1,2,3,4,利用递推思想依次求出数列的前
5项,由此得到数列{an}是周期为
3的周
期数列,由此能求出
a2014.
解答:
解:
∵数列{an},满足an+1=
,a1=,
∴a2==2,
a3==﹣1,
a4==,
,
∴数列{an}是周期为3的周期数列,
∵2014÷3=671⋯1,
∴a2014=a1=.
故选:
A.
点评:
本题考查数列的第2014项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想的合理运用.
12.已知数列
an中,a1
5
an1
1an
(1)n1,,则an=(
)
6
3
2
A.3
(1)n
2
(1)n
B.3
(1)n1
2
(1)n1
C.2
(1)n
3
(1)n
D.2
(1)n1
3
(1)n1
2
3
2
3
2
3
2
3
13.已知数列
an中,a1
1;数列bn中,b10。
当n
2时,an
1
bn1),bn
1
(2an1
(an12bn1),求an,bn.
3
3
(
)
A.an
1[1
(1)n1]bn
1[1
(1)n1]B.an
1[1
(1)n1]bn
1[1
(1)n1]
C.
2
3
2
3
2
3
2
3
解:
因an
bn
1(2an
1
bn
1)
1(an1
2bn1)
an1
bn1
3
3
所以an
bn
an1bn1
an2
bn2
a2
b2
a1
b11
即an
bn
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
1)
又因为an
bn
1(2an
1
bn
1)
1(an1
2bn1)
1(an1
bn1)
3
3
3
所以an
bn
1(an1
bn1)
(1)2an2
bn2)⋯⋯
(1)n1(a1
b1)
3
3
3
(1)n1
.即an
bn
(1)n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
2)
3
3
由
(1)、
(2)得:
an
1[1
(1)n1],bn
1[1
(1)n1]
2
3
2
3
14.(2014?
通州区二模)已知:
数列
{an}满足a1=16,an+1﹣an=2n,则
的最小值为(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
考点:
数列递推式.
专题:
计算题;压
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