浙江省台州市奥赛班数学能力评估测试必修四Word版含答案.docx
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浙江省台州市奥赛班数学能力评估测试必修四Word版含答案
浙江省台州市2017年奥赛班数学能力评估测试(必修四)
(本卷满分:
150分考试时间:
120分钟)
第一部分(共2小题,每题15分,计30分)
.设实数x1,x2,…,xn满足-1≤x1,x2,…,xn≤1且.
求证:
.
.如图,AB是半圆O的直径,C,D是AB上两点,P,Q分别是与的外心.证明:
CP·CQ=DP·DQ.
第II题
第二部分(共3大题,计120分)
一、单项选择题(共6小题,每题6分,计36分).
1.函数的值域是()
A.B.C.D.
2.函数的图像大致为()
A.B.C.D.
3.设函数,,,,,记,.则()
A.B.C.D.
4.内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1, 则
的值为()
A.2B.3C.4D.6
5.设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于()
A.B.C.−1D.1
6.在一个10×10的方格表中有一个由4n个1×1的小方格组成的图形,它既可被n个“”型的图形覆盖,也可被n个“”或“”型(可以旋转)的图形覆盖.则正整数n的最小值为()
A.3B.4C.6D.8
二、填空题(共8小题,第7~11题每题6分,第12~14题每题8分,计54分).
7.设,对任意的向量,和实数,如果满足,则有成立,那么实数的最小值为.
8.已知函数在区间上是减函数,若0 9.设a、b为实数,满足对于任意实数x,都有: ,则a+b的最大值为. 10.设A、B为实数,记为函数在上的最大值.则A、B变化时,的最小值为. 11.M=cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°的值为. 12.设函数满足,则a的最大值为. 13.设,且,则对,=. 14.O为所在平面内一点,A,B,C为的角,若 ++, 则点O为的心. 三、解答题(本大题分2小题,共30分). 15.(本题满分15分)已知函数,其中a、b、c∈R,甲乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a、b、c(如果甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=3)后,如果对于任意实数x,,那么甲得胜;如果存在实数x,,那么乙得胜.甲先选数,试问: 他是否有必胜策略? 16.(本题满分15分)给定实数a,b,a>b>0,将长为a宽为b的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的边至少为多长? 浙江省台州市2017年奥赛班数学能力评估测试 (必修四)答题卷 (满分: 150分时间: 120分钟) 第一部分(共2小题,每题15分,计30分) .设实数x1,x2,…,xn满足-1≤x1,x2,…,xn≤1且. 求证: . .如图,AB是半圆O的直径,C,D是AB上两点,P,Q分别是与的外心.证明: CP·CQ=DP·DQ. 第II题 第二部分(共3大题,计120分) 一、单项选择题(共6小题,每题6分,计36分). 题目 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题(共8小题,第7~11题每题6分,第12~14题每题8分,计54分). 7、8、 9、10、11、 12、13、14、 三、解答题(本大题分2小题,共30分). 15、(本题满分15分)已知函数,其中a、b、c∈R,甲乙两人做一游戏,他们轮流确定系数a、b、c(如果甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=3)后,如果对于任意实数x,,那么甲得胜;如果存在实数x,,那么乙得胜.甲先选数,试问: 他是否有必胜策略? 16、(本题满分15分)给定实数a,b,a>b>0,将长为a宽为b的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的边至少为多长? 浙江省台州市2017年奥赛班数学能力评估测试 (必修四)参考答案 (本卷满分: 150分) 第一部分(共2小题,每题15分,计30分) . 证明设, 则.………………………………………………………(5分) 由三倍角公式: , ;………………………………………(10分) .……………………………………………(15分) II. ………(15分) …………(5分) ………(10分) 第二部分(共3大题,计120分) 一、单项选择题(共6小题,每题6分,计36分). [1~6]BDBACB 二、填空题(共8小题,第7~11题每题6分,第12~14题每题8分,计54分). 7、8、a 9、210、11、0 12、313、n14、内 三、解答题(本大题分2小题,共30分). 15、(15分)(可能有多种解法) 解①若a、b、c是非零实数,甲胜.甲先选b=1,无论乙选a或c,甲可再选c或a.使1-4ac<0,从而方程无解.(5分) ②若a、b、c是任意实数,乙胜.甲先选a或b,乙可选c=0;(3分) 甲选c≠0,乙可选a=-c. ,(7分) 因此在必有实根.(共15分) 16、(15分)(可能有多种解法) 解设长方形为ABCD,AB=a,BC=b,中心为O.以O为原点,建立直角坐标系,x轴、y轴分别与正方形的边平形. 情形1: 线段BC与坐标轴不相交. 不妨设BC在第一象限内,∠BOX≤(90°-∠BOC)(图1). 此时正方形的边长≥BDcos∠BOX≥BDcos =BDcos45°cos∠BOC+BDsin45°sin∠BOC =(a+b). 所以此时所在正方形边长至少为(a+b).(6分) 情形2: 线段BC与坐标轴相交. 不妨设BC与x轴相交,不妨设∠COX≤∠COB(图1). 此时正方形的边长≥ACcos∠COX≥ACcos=a. 所以,此时所在正方形边长至少为a.(6分) 比较情形1,2中结论知: 若,则正方形的边长至少为a. 若,则正方形的边长至少为.(3分) (共15分) 附第5题解析: 解令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x−c)=2,于是取,c=π,则对任意的x∈R,af(x)+bf(x−c)=1,由此得. 一般地,由题设可得,,其中且,于是af(x)+bf(x−c)=1可化为 , 即, 所以. 由已知条件,上式对任意x∈R恒成立,故必有, 若b=0,则由 (1)知a=0,显然不满足(3)式,故b≠0. 所以,由 (2)知sinc=0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z).当c=2kπ时,cosc=1,则 (1)、(3)两式矛盾.故c=2kπ+π(k∈Z),cosc=−1.由 (1)、(3)知, 所以,.
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