线性代数习题及解答.docx
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线性代数习题及解答.docx
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线性代数习题及解答
线性代数习题
说明:
本卷中,A-1表示方阵A的逆矩阵,r(A)表示矩阵A的秩,||:
.|表示向量:
.的长度,:
.T表示向量:
.
表示单位矩阵,AI表示方阵A的行列式.
的转置,E
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选
an
a12
a13
3a^
3a12
3a13
1•设行列式
a21
a22
a23
=2,则
—31
■^32
■^33
a31
a32
a33
a21—a31
a22—a32
a23—a33
均无分
A.-6
B.-3
C.3
D.6
A.E+A1
B.E-A
C.E+A
D.E-A-1
3•设矩阵A,B均为可逆方阵,则以下结论正确的是(
)
'A''»,
ra-1、
A、
A.
可逆,且其逆为
B.
不可逆
B丿
i
AL
rB-1、
i
A、
A-1、
C.
可逆,且其逆为
D.
可逆,且其逆为
IBJ 2•设矩阵A,X为同阶方阵,且A可逆,若A(X-E)=E,则矩阵X=() 4.设1,2,…,: •k是n维列向量,贝U: -i,: -2, : -k线性无关的充分必要条件是 A.向量组1,「2,…,k中任意两个向量线性无关 B.存在一组不全为0的数l1,丨2,…,Ik,使得I1〉1+122+…+|k〉kZ0 C.向量组1,「2,…,k中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D.向量组二1,二;2,…,二k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5•已知向量2〉「=(1,一2,-2,-1几3爲"1=: (1,_4,_3,0)t,则爲川: •=() A.(0,-2,-1 1)T B.(-2,0,-1,1) C.(1,-1, -2,0)T D.(2,-6,-5,-1) A. B.2 1 D.4 C.3 7•设: .是非齐次线性方程组Ax=b的解, ■: 是其导出组Ax=0的解,则以下结论正确的是 A. : : : _”+是Ax=0的解 B..二+是Ax=b的解 C. 是Ax=b的解 D.用-是Ax=0的解 设三阶方阵A的特征值分别为 ,则A1的特征值为( A. B111 B・• 2'4‘3 C. D.2,4,3 1 -1 0 1 A. -1 2 B. 1 0 3 2 -2 1 C. 1 D. -2 1 1 10 •以下关于正定矩阵叙述正确的是() 、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。 11•设det(A)=-1,det(B)=2,且A,B为同阶方阵,则det((AE)3)= 12-2 12•设3阶矩阵A=4t3,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=. 3-11 13•设方阵A满足A=E,这里k为正整数,则矩阵A的逆A-1=. 14.实向量空间R的维数是. 15.设A是mKn矩阵,r(A»=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为. 16•非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是. 17•设0(是齐次线性方程组Ax=0的解,而B是非齐次线性方程组Ax=b的解,则A(3a+2P)= 18•设方阵A有一个特征值为8,_则det(-8E+A)=. 19•设P为n阶正交矩阵,x是n维单位长的列向量,则||卩刈=. 20•二次型仁为也出)=x;亠5x;亠6x;4x1x2-2x1x3-2x2x3的正惯性指数是 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21•计算行列式 11-12 —1二/1 24-61 1242 2 22•设矩阵A=3,且矩阵B满足ABA=4A-1+BA,求矩阵B. 5 23•设向量组冷=(3,1,2,0),「2=(°,7,1,3),: 3=(一1,2,0,1),為=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组, 并将其 余向量通过极大线性无关组表示岀来. -143 24•设三阶矩阵A=_253,求矩阵A的特征值和特征向量. 24-2 2 -2 4 -2 26.求矩阵A= 3 0 6 0 3 0 0 1 2 1 25•求下列齐次线性方程组的通解. 0 1的秩. 1 0 四、证明题(本大题共 a1 a12 313 设三阶矩阵 A= 321 322 323 的行列式不等于 a31 a32 a33 'a12、 = 321 、*2= 322 °3= =323 线性无关 1 ©31J 02丿 匹33」 1小题, 6分) 0,证明: 27. 线性代数习题二 说明: 在本卷中,表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵。 A表示方阵 A的行 列式,r(A表示矩阵A的秩。 、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选 均无分 1.设3阶方阵A的行列式为2,则—-A=() 2 A.-1 B. 1 C.- 4 D.1 x-2x-1x-2 2.设f(x)=2x—2 2x—12x—2,则方程f(x)=O的根的个数为( 3x-2 3x—23x—5 B.1 D.3 A.O C.2 3.设A为n阶方阵,将 A的第1列与第2列交换得到方阵 A.A=0b.A+B鼻0 JA丰0d.A—B鼻0 4.设AB是任意的n阶方阵,下列命题中正确的是() 22222 A.(AB)=A2ABBB.(AB)(A-B)=A-B C.(A_E)(AE)=(AE)(A_E)d.(ab)2=A2B2 a〔b|a〔b? 5.设A=a2bia2b2 ag' a2b3,其中3H0,bi式0,i=1,2,3,则矩阵A的秩为() a3b3 A.0B.1 C.2D.3 6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为() A.0B.2 C.3D.4 7.设向量a=(1,-2,3)与B=(2,k,6)正交,则数k为() A.-10B.-4 C.3D.10 X1X2X3=4 8.已知线性方程组x1ax2x^3无解,则数a=() 2x12ax2二4 A.B.O 2 1 C.D.1 2 9.设3阶方阵A的特征多项式为|hE—A=(扎+2)(扎+3)2,则A=() A.-18B.-6 C.6D.18 10.若3阶实对称矩阵A=(aij)是正定矩阵,则A的3个特征值可能为() 3、 0,则r(AB)= 3」 r10 13.设a是4X3矩阵且r(A)=2,B=02 V10 14.向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为. 15.设线性无关的向量组a! ,a2,…,ar可由向量组B1,32,…,Bs线性表示,则r与S的关系为 X|'x2x3=0 16. 设方程组,x 片x2'x3=0 17.设4元线性方程组Ax二b的三个解a! a2,a3,已知 耳=(1,2,3,4),鼻2+口3=(3,5,7,9),r(A)=3.则方程组的通解是, 18.设3阶方阵A的秩为2,且A2+5A=0,则A的全部特征值为 ■'-211' 19.设矩阵A= 0a0 有一个特征值人=2,对应的特征向量为x= 2 则数a= 1-413丿 2) 20.设实二次型f(捲,乂2,x3)=xTAx,已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.设矩阵A=(0(,2? 2,3? 3),B=(氏丫2,丫3),其中口",丫2,%均为3维列向量,且A=18,B=2.求 问P为何值时,该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大无关组12捲: x2-x3=1 24.设3元线性方程组《一X2+X3=2, 4捲+5x2—5x3=-1 (1)确定当入取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解? (2)当方程组有无穷多解时,求岀该方程组的通解(要求用其一个特解和导岀组的基础解系表示) 12 25.已知2阶方阵A的特征值为[=1及匕,方阵B=A2. 3 (1)求B的特征值; (2)求B的行列式. 222 26.用配方法化二次型f(X1,X2,X3)=X1-2X2-2x3-4x1x212x2x3为标准形,并写出所作的可逆线性变 换. 四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵,证明A=0. 习题一答案 习题二答案 线性代数习题三 说明: 在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵」A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1.设A为3阶矩阵」A|=1,则|-2AT|=() '101' '001' ,Z100x ‘100 A. 010 B. 010 C. 030 D. 010 少00」 I10°」 e0b a0b 2X1-x2X3=0 9.设齐次线性方程组 x1—x2—x3=0有非零解,则,为() x1亠x2亠x3=0 A.-1B.0C.1D.2 10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是() A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 一01 11.行列式的值为. 12 12.已知A=12: : 则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为 宅3丿 广1_3、(11、 13.设矩阵A=,P=i,则AP= r24丿i。 1丿 14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|= 15. 已知向量组a1,=(1,2,3),a2=(3,-1,2),a3=(2,3,k)线性相关,则数k= 则该线性方程组的通解是 彳、 Z1、 a= 3 0 匕丿 0丿 17.已知P是3阶正交矩,向量 则内积(P〉,P》 18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为 '12、 19.与矩阵A=相似的对角矩阵为. ©3丿 ''1一2'” 20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是 -2k丿 三、计算题 (本大题共 6小题,每小题9分,共54分) 21. 求行列式D= 的值. ■o -1 0' 匚1 -2 0、 22.设矩阵A= 1 0 0 B= 2 -1 0 e 0 b 1° 0 °」 求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X. 23. 24. 设矩阵A= 若向量组叫 |2 l—k丿 「。 2 l—2k丿 的秩为2,求k的值. (1)求A; (2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表岀 25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2AE求 (1)矩阵A的行列式及A的秩. (2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵. 26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1X2+2x1X3+2X2X3经可逆线性变换 四、证明题(本题6分) 27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是_1. 线性代数习题三答案
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- 线性代数 习题 解答