一次函数图像.docx

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一次函数图像

一次函数的图象

（1）

浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》

（八年级上册第五章5.4节）

一次函数的图象

（1）教学设计

一、内容和内容解析

学习内容：

浙教版《义务教育课程标准试验教科书·数学》（八年级上册第5章5.4节）一次函数的图象第一课时

内容解析：

（1）内容地位及核心知识解析：

本节课是在已经学习了平面直角坐标系及一次函数的概念、定义、三种表示函数的不同方法等基础上，让学生经历探究画函数图象的一般过程，感受研究函数的基本方法，掌握一次函数图象的画法——即用描点法画函数图象，为今后继续研究各类具体的函数做了必要的准备。

（2）内容结构关系解析：

画出图象。

即从描点法到两点法。

（3）认知活动分析与价值判断：

主要体现在对具体一次函数的图象形状、位置，一次函数图象上的点的动态细节观察。

函数图象这一概念的形成过程、画图技能的概括过程、转化等思想方法的提炼过程、图象知识的升华过程。

核心的数学思想是数形结合。

通过上述认知活动的开展，能让学生在特定的数学认知活动中发展相应的数学认知水平，体会数学思想方法。

二、目标和目标解析：

目标：

（1）会画一次函数的图象；

（2）让学生自然地研究一次函数的图象，理解一次函数的图象是一条直线，体会数形结合思想，发展几何直观；

（3）在理解正比例函数与一次函数的关系基础上，能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系；

（4）会根据一次函数解析式求函数图象与坐标轴的交点坐标。

目标解析：

目标

（1）要求学生在用描点法画一次函数图象基础上通过思考得到两点法画一次函数图象，并能熟练画出具体的一次函数的图象。

目标

（2）在动手绘制一次函数的图象过程中，让学生经历“动手——比较——讨论——归纳”的数学活动。

目标（3）在探究一次函数图象的活动中，通过动手实践、互相交流，使学生在探究的过程中提高与他人交流合作的意识，提高学生动手实践的能力和探究精神。

目标（4）在学生经历了从描点法到两点法作一次函数的图象的过程中，自然生成函数图象与坐标轴的两个交点。

三、教学问题诊断分析：

（1）学生基础分析：

学生通过直角坐标系、函数的概念、函数的表示方法及一次函数定义的学习，获得了函数研究方法的经验，通过一次函数的学习，获得了具体一类函数的数形结合的探究经验。

（2）学习困难分析：

①在具体的学习过程中，如果学生没有经历画图、观察、概括的过程，可能只是记住结论，很难理解一次函数的图象是一条直线。

②对于通过具体一次函数图象猜想一般的一次函数图象的形状，学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象，不会从函数和变量的方法去思考问题，即从“数”（解析式）的角度加深理解。

四、教学支持条件分析：

根据本节课教材内容的特点，为了更加直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以《几何画板》为平台，通过动态演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究一次函数图象的特征。

同时，让学生独立进行画图象、观察图象的活动，达到让学生充分体验以图象表示函数关系，以变量关系（坐标为中介）解释图象特征这一数形结合思想和数学观察、数学表征、数学概括等认知活动。

五、教学过程设计：

【教学目标】

（一）知识与技能目标:

1.理解函数图象的概念。

2.经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。

3.理解一次函数的解析式与图象之间的对应关系。

4.能熟练作出一次函数的图象。

5.会求一次函数的图象与坐标轴的交点。

（二）过程与方法目标:

1.经历作图过程中由一般到特殊方法的转变过程，让学生体会研究问题的基本方法。

2.培养学生数形结合的意识和能力,在探究活动中发展学生的合作意识和能力。

（三）情感与态度目标;

1.经历作图过程，归纳总结作函数图象的一般步骤，培养学生的语言表达能力。

2.经历作图过程，培养学生独立思考的习惯和合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。

【教学重点】

一次函数的图象

【教学难点】

验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式），学生不容易理解其意义，是本节教学的难点。

教学过程：

1、情景创设——总结画函数图象的一般方法

引入：

10月3日，中国男篮重回亚洲之巅，取得2015年亚洲男篮锦标赛冠军，直通里约奥运（展示视频）。

在易建联的一次投篮过程中，随着时间t的变化，篮球的高度h也随之发生变化。

篮球的高度h与时间t之间满足这样的函数关系式：

，0≤t≤1.6

问题1：

你还有哪些不同的方法来表示h与t之间的函数关系？

问题2：

表格中的数据是如何得到的？

问题3：

函数的图象有什么组成？

多少个点？

问题4：

既然函数的图象是由点组成，那么我们在画图的时候，大家会选择画几个点？

这样的点又是如何得到的？

【师生行为】

教师引导学生回顾函数的三种不同的表示方法，即

解析法：

，0≤t≤1.6

列表法：

t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.9

1.1

1.3

1.5

1.6

1.0

h

2.98

3.82

4.42

4.78

4.9

4.87

4.63

4.15

3.43

2.98

4.78

图象法：

通过回答问题2，建立函数解析式与表格之间的关系；通过回答问题3，把画函数图象的问题化归成画点的问题；通过回答问题4，让学生自然生成函数图象的概念，并且在回答的过程中，体会在画函数图象的时候，表格所凸显出来的作用。

这样让学生自然建立起函数解析式、表格、图象三者之间的联系，为接下来画函数图象作铺垫。

从而得出函数图象的概念：

把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。

现在，老师把这些点绘制到平面直角坐标系中，并依次把这些点连接起来，从而得到了函数的图象。

问题6：

请你比较三种不同的表示方法，说说他们各自的优缺点。

问题7：

回顾刚才画函数图象的过程，我们经历了怎样的步骤？

【师生行为】让同学们进一步感受三种不同表示方法各自的优缺点，体会这三种表示方法缺一不可，并进一步感受三种表示方法之间的联系，也让学生感受到学习画函数图象的必要性和优越性。

问题7的回答，让学生总结出刚才画函数图象的一般过程，从而引出用描点发来探究一次函数图象的问题。

【设计意图】从生活实例入手，体现数学知识源于生活，让学生感受到数学知识与生活的联系，并自然引出研究函数图象这一问题。

通过对函数三种不同表示方法的再识，充分感受函数三种不同表示方法之间的联系，为接下来得出“描点法画函数图象”做铺垫。

同时在经历这一问题描点发画函数图象之后，让学生在接下来自主探索一次函数的图象储备知识。

而选择这样的一条抛物线的目的是让学生不陷入一次函数图象是一条直线的定式中，也让学生能充分思考一次函数的图象是否会像这条抛物线一样是弯曲的而不是直的，为接下来真正达到思考问题的目的作铺垫。

2、小组活动——探索一次函数的图象及其画法

环节1：

自主探究——一次函数y=2x+1图象的画法

环节2：

小组合作——以四人小组为单位，交流探究过程

环节3：

课堂展示——选择有代表性的小组进行汇报

汇报流程：

请小组派代表进行汇报——小组成员补充——同学提出疑问

【师生行为】教师引导学生解决如下问题：

1.列表

根据学生的展示，强调列表注意以下几点：

①一般情况下，我们所选取的点应有代表性，x的值可以取正数、0、负数。

②在列表的时候，数据建议从小到大排列。

③x与y的对应值有无数多组，在所列的表格中最好能反应出来，两边用省略号表示。

如下所示：

x

……

－3

－2

－1

0

1

2

3

……

y

……

－5

－3

－1

1

3

5

7

……

（x,y）

……

（－3,－5）

（－2,－3）

（－1,－1）

（0,1）

（1,3）

（2,5）

（3,7）

……

2.观察所画的图象，任意两点之间的连线为什么是一条直线？

过程一：

引导学生通过在任意两点之间增加点的个数来观察这些点的排列情况。

如在（1,3）和（2,5）之间添加更多的点来研究，初步感知利用逐步逼近的方法来探究一次函数的图象是一条直线。

过程二：

通过几何画板展示，当点的坐标满足函数解析式，这些点都落在同一条直线上，这样进一步确定了一次函数的图象是一条直线。

3.借助几何画板验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式）

在这条直线上取点，这些点满足什么关系？

举例：

A（－2.5，－4）、B（4,9）

师生共同总结，满足一次函数的解析式的点（x,y）在它的图象上，图象上的每一点的横坐标x,纵坐标y都满足一次函数的解析式，所以一次函数的图象是一条直线.

并用如下的图表来解释数形结合的数学思想：

利用数形结合思想，解决如下问题：

练习：

已知一次函数y=－3x+2

1.试判断（4，－10）,（－3，8），（0，2）是否在函数y=－3X+2的图象上。

2.若（3，a）,（b,7）在函数图象上，求a,b的值。

【设计意图】学生在已经具备了函数图象一般画法的知识储备后，通过自主探究、小组合作、课堂展示等环节，逐渐形成一次函数的图象是一条直线这种初步感觉。

通过课堂上学生的质疑，依旧对函数图象是一条直线产生疑问，探索解决问题的方法，逐步引导学生利用增加点的方法，逐步逼近，感受到一次函数的图象是一条直线。

同时，借助几何画板工具，通过点的追踪，让学生更加深刻体会函数图象是一条直线。

点追踪的过程，实际就是验证图象的完备性，即满足解析式的点都落在函数的图象上，同时进一步在图象上取点，来验证纯粹性，即图象上的点的坐标满足函数解析式。

最后，利用图标让学生更加直观地了解数形结合的具体含义，并通过练习来让学生进一步体会数形结合这一重要数学思想。

本环节在设计的时候，放手让学生动手解决数学问题。

体现把课堂真正回归给学生的原则。

培养学生自主学习的习惯、小组合作的精神及分析问题解决问题的能力。

3、深入探究——优化一次函数图象的画法

例1：

（1）请大家画出函数y=－3x+2的图象。

【师生行为】教师观察学生画图的过程，从部分同学的多点画图，自然通过一次函数是一条直线的结论，根据两点确定一条直线过渡到利用两点法来画一次函数的图象。

教师在黑板上严格板书，规范两点法的作图过程。

提问1：

你选择了怎样的两点来进行画图？

提问2：

你选这两个点的目的是什么？

【师生行为】学生自然会选择整点来画函数的图象，并让学生体会到取整点能方便作图。

同时，对于学生所取的不同点予以肯定。

若学生提出取（0，2）点，教师追问学生：

这个点有何特殊性？

引导学生发现这个点是函数图象与y轴的交点，进一步既然函数图象与y轴有交点，那么是否与x轴也有类似的一个交点。

从而自然引出以下问题：

（2）求一次函数y=－3x+2与坐标轴交点的坐标

【师生行为】根据以上的回答，让学生自行总结，给定函数的解析式，求函数图象与坐标轴的交点的坐标。

（3）根据一次函数的图象，y=－3x这一正比例函数的图象有何特点。

在画这个函数图象的时候，你会选择怎样的点进行操作。

【师生行为】学生已经得出可以根据x=0及y=0求得一次函数图象与坐标轴的交点坐标，利用这一知识点，学生自然生成，对于特殊的一次函数y=－3x，当x=0时，y=0，这样可以不通过画图直接判断出正比例函数的图象必然经过原点，所以在作图的时候，可以在平面直角坐标系中再找一个点即可。

提问3：

请大家观察y=－3x+2与y=－3x的函数图象，他们之间有何关系？

【师生行为】学生通过观察函数的图象，发现他们之间互相平行，进一步提出问题，对于一次函数的解析式，若两个函数对应的图象互相平行，他们的解析式要满足什么条件，并把这一问题留给学生作为课后思考。

【设计意图】一次函数的图象的探究应经历图象是一条直线、利用两点法来优化画一次函数图象的过程。

本环节的设计，并不是通过教师简单的告诉学生利用两个点来画函数的图象，通过学生的自主操作，部分学生可能还是利用选取多个点画一次函数的图象，部分学生根据已经得到的结论利用两个点来画函数的图象，这样自然的生成让学生的印象更加深刻，同时也体现数学思维的价值及数学的简洁美。

学生通过选取不同的点，引出求函数图象与坐标轴的交点，让学生深刻体会交点的意义及求法，并为接下来解决特殊的一次函数y=－3x的图象作铺垫。

4、巩固提高——实际问题中一次函数的图象

问题①：

利用两点法快速画出一次函数y=－x+6的图象，并求得图象与坐标轴的交点坐标。

问题②：

对于上述函数，x，y分别表示长方形相邻的两条边长，请确定x的取值范围，并进一步确定此时函数的图象。

【师生行为】学生能快速解决问题①，并进一步强调函数图象与坐标轴交点的求法。

问题②的设计让学生自行画图，并最终明确当函数的自变量有相应取值范围的时候，函数的图象可能只是直线的一部分。

【设计意图】问题的设计从两点法出发，最终回归到实际问题，让学生充分体会数学的学习最终回归到生活，为解决生活问题提供方法和依据。

学生在画函数图象的时候，对于自变量的不同取值，确定函数的图象，让学生深刻体会数形结合这一重要数学思想。

5、回顾思考——知识的梳理及小结

现在，请同学们完成以下“问题清单”：

（1）一次函数的图象是什么图形？

（2）怎样画一次函数的图象？

（3）一次函数的解析式与它的图象有何关系？

（4）你在学习过程中感受到了哪些思想方法？

（5）你在学习过程中有哪些新的体验？

（6）观察所画的一次函数的图象，你还发现了什么？

并在知识树当中把这些问题罗列出来

【师生行为】学生自主总结本节课的学习内容，并把关键词填入相应的知识树中，并请同学上台展示他们的学习成果。

最后，教师予以课堂小结：

本节课，我们学习了一次函数的图象。

在数学方法上，我们经历了用描点法画函数图象的一般过程，并学习了用两点法画一次函数的图象；在数学思想上，通过化归的思想，我们把画函数图象的问题化归成画点的问题，体会了数形结合的重要思想，并用方程思想求函数图象与坐标轴的交点坐标；在知识层面上，明确了函数图象的概念、一次函数的图象是一条直线等等。

【设计意图】借助知识树对课堂进行小结梳理，打破了原本陈旧的归纳式的课堂小结，激发了学生学习数学的热情，符合新课标的要求．同时，从知识、方法、思想上进行小结，让学生深刻体会数学的课堂不仅仅只是知识本身，隐藏在知识背后的数学思想、解决问题的方法才是我们要关注的地方，这些方法和思想便是学习数学的精髓。

6、作业布置

A组：

书本P157，课内练习1－2，作业题1－2

B组：

书本P157，作业题6

7、目标检测设计

（1）在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标：

，

，

（2）一次函数y=2x－1的大致图象是（）

（3）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，这次赛跑的距离是多少米？

谁先到达终点？

乙在这次赛跑中的速度是多少？

（4）如图，直线l经过A（3，2）、B（－1,－6）两点,请问点C（6,8）、D（2a，4a－4）在该直线上吗？

（5）思考：

①进一步观察一次函数的图象，你还能发现哪些结论？

把你发现的结论尽可能多的写下来。

②对于一次函数y=kx+b,当k,b发生变化时，函数的图象在位置上有何特点？

【设计意图】

检测题

（1）、

（2）用于评价本节课的核心知识点，即巩固并熟练画一次函数图象及求函数图象与交点的坐标；

检测题（3）用于评价培养学生看函数图象的能力，进一步体会函数图象的优越性；

检测题（4）用于评估学生进一步体会数形结合的数学思想，并掌握根据点的坐标转化成自变量和函数值的对应值，列得方程，求函数的解析式；

检测题（5）的设置为下节课研究一次函数图象的性质作铺垫。

七、教学设计说明

本节课的内容是一次函数的图象。

学习本节课之前，学生已学习了变量与函数、平面直角坐标系、以及一次函数的概念等有关的知识。

本节是继续学习反比例函数、二次函数图象和性质的重要基础。

数形结合的思想、化归思想是本节内容所包含的主要数学思想。

在本课的教学中，严格遵循由感性到理性，将解一次函数的图象知识与现实生活中学生熟悉的实际问题相结合，内化认识“一次函数的图象是一条直线”。

在重视课本例题的基础上，适当对题目进行延伸，使例题的作用更加突出。

本课例设计的思维方式即是围绕三个方面开展的。

首先让学生检索本节课要研究的函数图象与函数的表示方法等知识的联系，以此来说明研究函数图象的必要性和必然性；然后就如何根据函数的表达式画出其图象进行诸要素的探索，这些要素包括图象、点、点的坐标、变量的对应取值等；最后是对一次函数图象的画法进行优化、简化、深化。

上述活动过程，既体现课时目标，也有效地落实课程目标。

从教材的内容编排和教学价值，我们做了如下分析：

（1）从知识内容的完整性来分析。

一次函数的图象的知识要点是：

一次函数几何形状、一条直线一次函数图象的画法、一次函数图象与坐标轴的交点坐标。

当一次函数的自变量限制在某一范围时如何画此一次函数的图象，但在教材中似乎没有涉及到此类问题，需要教师对此类问题做相关示范解决。

（2）从内容深度的挖掘来分析。

用描点法画出一次函数的图象，通过观察从感观上认识到一次函数的图象是一条直线，这也是本节课的难点所在。

我们利用在两点间不断增加点的方法，逐步逼近，让学生感觉到函数图象是一条直线的研究方法，再用几何画板点追踪的功能让学生深刻体会图象是一条直线。

（3）从图象的完备性和纯粹性两个角度来分析。

坐标满足一次函数解析式的点都在直线上；图象上的点的坐标都满足函数解析式。

设计环节分别是：

让学生随意取一个满足函数解析式y=2x＋1的点并在坐标系中画出这个点，看其是否在原直线上；让学生在直线上随意取一个点，验证此点的坐标是否满足解析式y=2x＋1。

根据新课程标准的评价理念，在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题。

同时利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。

在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。

附：

课堂学习单

5.4一次函数的图象

（1）课堂学习单

班级：

姓名学号

一、自主探究:

一次函数y=2x+1的图象

x

y

（x,y）

二、课堂练习

已知一次函数y=－3x+2

1.试判断（4,－10）、（－3,8）、（0,2）

这些点是否在这一函数的图象上。

2.若（3，a）,（b,7）在这一函数图象上，求a,b的值

3.画出函数y=－3x+2的图象

三、巩固提高

1.快速画出一次函数y=－x+6的图象，并求得图象与坐标轴的交点坐标

2.对于上述函数，x，y分别表示长方形相邻的两条边长，请确定x的取值范围，并进一步确定此时函数的图象

四、回顾与思考

请同学们对照以下“问题清单”，自查本节课掌握情况，并在“知识树”中填入你所获取知识的关键词：

1.一次函数的图象是什么图形？

2.怎样画一次函数的图象？

3.一次函数的解析式与它的图象有何关系？

4.你在学习过程中感受到了哪些思想方法？

5.你在学习过程中有哪些新的体验？

6.观察所画的一次函数的图象，你还发现了什么？