北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题.docx
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北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
一、
【平方根】
如果一个数x的平方等于a,那么,这个数x就叫做a的平方根;也即,当时,我们称x是a的平方根,记做:
。
因此:
1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;
2、当a>0时,也就是a为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:
。
3、当a<0时,也即a为负数时,它不存在平方根。
例
1、
(1)的平方是64,所以64的平方根是;
(2)的平方根是它本身。
(3)若的平方根是2,则x= ;的平方根是(4)当x时,有意义。
(5)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少?
这个正数是多少?
知识点
二、
【算术平方根】
XXXXX:
1、如果一个正数x的平方等于a,即,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:
“”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。
特别规定:
0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质:
具有双重非负性,即:
。
3、算术平方根与平方根的关系:
算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:
;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:
。
例
2、
(1)下列说法正确的是()
A、1的立方根是;
B、;(C)、的平方根是;(D)、0没有平方根;
(2)下列各式正确的是()
A、
B、
C、
D、(3)的算术平方根是。
(4)若有意义,则___________。
(5)已知△ABC的三边分别是且满足,求c的取值范围。
(7)如果x、y分别是4-的整数部分和小数部分。
求x-y的值、(8)求下列各数的平方根和算术平方根、64;;0、0004;(-25)2;
11、
1、44,0,8,,441,196,10-4(9)()2等于多少?
()2等于多少?
(10)()2等于多少?
(11)对于正数a,()2等于多少?
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算、加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算、知识点
三、
【开平方性质】
(1)
=_________,=_________;
(2)
(2)=_________,=_________;(3)
=_________,=_________;(4)
(4)_________,=_________、知识点
四、
【立方根】
XXXXX:
1、如果x的立方等于a,那么,就称x是a的立方根,或者三次方根。
记做:
,读作,3次根号a。
注意:
这里的3表示的是根指数。
一般的,平方根可以省写根指数,但是,当根指数在两次以上的时候,则不能省略。
2、平方根与立方根:
每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。
例
3、
(1)64的立方根是
(2)若,则b等于()
A、
B、1000
C、10
D、10000(3)下列说法中:
①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。
其中正确的有()
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个知识点
五、
【无理数】
XXXXX:
1、无限不循环小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:
(1)特殊意义的数,如:
圆周率以及含有的一些数,如:
2-,3等;
(2)开方开不尽的数,如:
等;(3)特殊结构的数:
如:
2、01001000100001…(两个1之间依次多1个0)等。
应当要注意的是:
带根号的数不一定是无理数,如:
等;无理数也不一定带根号,如:
2、有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例
4、
(1)下列各数:
①
3、1
41、②0、33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0、03……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有_______。
(填序号)
(2)有五个数:
0、…,0、…,-,,其中无理数有()个A2B3C4D5知识点六、
【实数】
XXXXX:
1、有理数与无理数统称为实数。
在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是
1、2、实数的性质:
实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a≠0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义是:
在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则:
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。
(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。
对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算:
在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例
5、
(1)下列说法正确的是();
A、任何有理数均可用分数形式表示;
B、数轴上的点与有理数一一对应;
C、1和2之间的无理数只有;
D、不带根号的数都是有理数。
(2)①a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是()b0a
A、
B、
C、
D、(3)如右图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,
A、B两点对应的实数是和-1,则点C所对应的实数是()
A、1+
B、2+
C、2-1
D、2+1(4)实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为()
A、
B、C、
D、(5)比较大小(填“>”或“<”)、3,,,,(6)将下列各数:
,用“<”连接起来;______________________________________。
(7)若,且,则:
=。
(8)计算:
(9)已知:
,求代数式的值。
基础练习一
一、选择题
1、下列数中是无理数的是()
A、0、12
B、
C、0
D、2、下列说法中正确的是()
A、不循环小数是无理数
B、分数不是有理数
C、有理数都是有限小数
D、3、是有理数
3、下列语句正确的是()
A、3、888是无理数
B、无理数分正无理数、零、负无理数
C、无限小数不能化成分数
D、无限不循环小数是无理数
4、在直角△ABC中,∠C=90,AC=,BC=2,则AB为()
A、整数
B、分数
C、无理数
D、不能确定
5、面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为()
A、小数
B、分数
C、无理数
D、不能确定
6、的化简结果是()
A、2
B、-2
C、2或-2
D、4
7、9的算术平方根是()
A、3
B、3
C、
D、
8、(-11)2的平方根是
A、121
B、11
C、11
D、没有平方根
9、下列式子中,正确的是()
A、
B、-=-0、6
C、=13
D、=6
10、7-2的算术平方根是()
A、
B、7
C、
D、4
11、16的平方根是()
A、4
B、24
C、
D、2
12、一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是()
A、a+2
B、-2
C、+2
D、a2+2
13、下列说法正确的是()
A、-2是-4的平方根
B、2是(-2)2的算术平方根
C、(-2)2的平方根是2
D、8的平方根是4
14、的平方根是()
A、4
B、-4
C、4
D、2
15、的值是()
A、7
B、-1
C、1
D、-7
16、下列各数中没有平方根的数是()
A、-(-2)3
B、3-3
C、a0
D、-(a2+1)
17、等于()
A、a
B、-a
C、a
D、以上答案都不对
18、如果a(a>0)的平方根是m,那么()
A、a2=m
B、a=m2
C、=m
D、=m
19、若正方形的边长是a,面积为S,那么()
A、S的平方根是a
B、a是S的算术平方根
C、a=
D、S=
二、填空题
1、在0、351,-,
4、…,
6、1…,0,-
5、2333,
5、1…中,无理数的个数有______、2、______小数或______小数是有理数,______小数是无理数、3、x2=8,则x______分数,______整数,______有理数、(填“是”或“不是”)
4、面积为3的正方形的边长______有理数;面积为4的正方形的边长______有理数、(填“是”或“不是”)
5、的平方根是_________;
6、(-)2的算术平方根是_________;
7、一个正数的平方根是2a-1与-a+2,则a=_________,这个正数是_________;
8、的算术平方根是_________;
9、9-2的算术平方根是_________;
10、的值等于_____,的平方根为_____;
11、(-4)2的平方根是____,算术平方根是_____、三、判断题
1、-0、01是0、1的平方根、()
2、-52的平方根为-
5、()
3、0和负数没有平方根、()
4、因为的平方根是,所以=、()
5、正数的平方根有两个,它们是互为相反数、()
四、解答题
1、已知:
在数-,-,π,
3、1416,,0,42,(-1)2n,-
1、…中,
(1)写出所有有理数;
(2)写出所有无理数;
2、要切一块面积为36m2的正方形铁板,它的边长应是多少?
3、已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15,求这个数、分母有理化
1、分母有理化定义:
把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2、有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下:
①单项二次根式:
利用来确定,如:
,,与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式:
利用平方差公式来确定。
如与,,分别互为有理化因式。
例题:
找出下列各式的有理化因式
3、分母有理化的方法与步骤:
(1)先将分子、分母化成最简二次根式;
(2)将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;(3)最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例题:
把下列各式分母有理化例题:
把下列各式分母有理化:
(1)(3)(4)
【练习】
1、找出下列各式的有理化因式
2、把下列各式分母有理化
3、计算
4、比较大小与
5、把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;
6、计算:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;(6)
;
1、计算
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;☆★专题讲解:
类型一、有关概念的识别
1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数,初中主要学习了四类:
含的数,如:
等,开方开不尽的数,如等;特定结构的数,例0、010010001…等;某些三角函数,如sin60,cos45等。
判断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如是有理数,而不是无理数。
例
1、下面几个数:
0、23,
1、…,,3π,,,其中,无理数的个数有()
A、1
B、2
C、3
D、4 例
2、(xx年浙江省东阳县)是
A、无理数
B、有理数
C、整数
D、负数举一反三:
1、在实数中-,0,,-
3、14,中无理数有()
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a≥0,则a的平方根是,a的算术平方根;若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。
【例1】
的平方根是______
【例2】
的平方根是_________
【例3】
下列各式属于最简二次根式的是()
A、
【例4】
(xx山东德州)下列计算正确的是(A)(B)(C)(D)
【例5】
(xx年四川省眉山市)计算的结果是
A、3
B、
C、
D、9举一反三:
1、下列说法中正确的是()
A、的平方根是3
B、1的立方根是1
C、=1
D、是5的平方根的相反数
2、
1、25的算术平方根是__________;平方根是__________、3,-,-1,0这四个实数中,最大的是()
A、1、4|
(2)
|π-
3、142|
(3)
|-|
(4)
|x-|x-3||(x≤3)
(5)
|x2+6x+10|
举一反三:
【变式1】
化简:
类型五、实数非负性的应用若a为实数,则均为非负数。
非负数的性质:
几个非负数的和等于0,则每个非负数都等于0。
例
5、已知:
=0,求实数a,b的值。
举一反三:
1、已知(x-2)2+|y-4|+=0,求xyz的值、2、已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
3、已知那么a+b-c的值为___________
类型六、实数应用题
例
6、有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm。
基础训练二
一、选择题
1、下列各式中正确的是()
A、
B、
C、
D、
2、的平方根是()
A、4
B、
C、2
D、
3、下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是
无理数。
其中正确的说法有()
A、3个
B、2个
C、1个
D、0个
4、和数轴上的点一一对应的是()
A、整数
B、有理数
C、无理数
D、实数
5、对于来说()
A、有平方根
B、只有算术平方根
C、没有平方根
D、不能确定
6、在(两个“1”之间依次多1个“0”)中,无理数
的个数有()
A、3个
B、4个
C、5个
D、6个
7、面积为11的正方形边长为x,则x的范围是()
A、
B、
C、
D、
8、下列各组数中,互为相反数的是()
A、-2与
B、∣-∣与
C、与
D、与
9、-8的立方根与4的平方根之和是()
A、0
B、4
C、0或-4
D、0或4
10、已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是()
A、
B、
C、
D、
二、填空题
11、的相反数是________,绝对值等于的数是________,∣∣=_______。
12、的算术平方根是_______,=______。
13、____的平方根等于它本身,____的立方根等于它本身,____的算术平方根等于它本身。
14、已知∣x∣的算术平方根是8,那么x的立方根是_____。
15、填入两个和为6的无理数,使等式成立:
___+___=6。
16、大于,小于的整数有______个。
17、若∣2a-5∣与互为相反数,则a=______,b=_____。
18、若∣a∣=6,=3,且ab0,则a-b=______。
19、数轴上点A,点B分别表示实数则
A、B两点间的距离为______。
20、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=_____,x=_____。
三、解答题
21、计算
⑴
⑵
⑶
⑷∣∣+∣∣
⑸+
⑹4[9+2()](结果保留3个有效数字)
22、在数轴上表示下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列,用“”号连接:
参考答案:
一:
1、B
2、D
3、B
4、D
5、C
6、A
7、B
8、C
9、C
10、D
二:
11、,π-3
12、3,
13、0;0,;0,1
14、
15、答案不唯一如:
16、5
17、
18、-15
19、2
20、1,9
三:
21、⑴ ⑵-17 ⑶-9 ⑷2⑸-36 ⑹
37、9
22、
基础练习三
一、选择题
1、大于-2,且不大于3的整数的个数是()
A、9
B、8
C、7
D、
52、下列几种说法:
(1)无理数都是无限小数;
(2)带根号的数是无理数;(3)实数分为正实数和负实数;(4)无理数包括正无理数、零和负无理数。
其中正确的有()
A、
(1)
(2)(3)(4)
B、
(2)(3)
C、
(1)(4)
D、只有
(1)
3、要使=3-x,则x的取值范围()
A、x≤3
B、x≥3
C、0≤x≤3
D、任意数
4、下列四个命题中,正确的是()
A、数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数
B、数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数
C、两个无理数之和一定是无理数
D、数轴上任意两个点之间还有无数个点
5、若a为正数,则有()
A、a>
B、a=
C、a<
D、a与的关系不确定
6、不是()
A、分数
B、小数
C、无理数
D、实数
7、下列说法正确的是()
A、无限小数都是无理数
B、无理小数是无限小数
C、无理数的平方是无理数
D、无理数的平方不是整数
8、下列等式正确的是()
A、
B、
C、
D、9、实数a在数轴上的位置如图2-6-2,则a,-a,,的大小关系是()、
A、
B、
C、
D、
10、的值是()
A、
B、1
C、
D、
11、下列各语句中错误的个数为()、①最小的实数和最大的实数都不存在;②任何实数的绝对值都是非负数;③任何实数的平方根都是互为相反数;④若两个非负数的和为零,则这两个数都为零、
A、4
B、3
C、2
D、1
二、填空题
1、2的算术平方根是_____、(-
1、44)2的算术平方根为_______、的算术平方根为_______,=_________的平方根是________;9-2是_________的算数平方根;
5、(-)2的算术平方根是_________;
2、等腰三角形的两条边长分别为和5,那么这个三角形的周长等于。
3、负数a与的差的绝对值是、4、若a、b都是无理数,且a+b=2,则a、b的值可以是
(填上一个满足条件的值即可)、5、实数a在数轴上的位置如图所示,则
、第6题图
6、(-)xx(-)xx=
、
7、实数P在数轴上的位置如图1所示,化简_________、8、一个负数a的倒数等于它本身,则=__________;若一个数a的相反数等于它本身,则-5+2=__________。
9、数轴上的点与______一一对应关系,-
3、14在数轴上的点在表示-π的点的______侧。
10、比较大小:
(1)
(2)
三、判断
(1)无理数都是开方开不尽的数。
()
(2)无理数都是无限小数。
()(3)无限小数都是无理数。
()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数。
()(5)不带根号的数都是有理数。
()(6)带根号的数都是无理数。
()(7)有理数都是有限小数。
()(8)实数包括有限小数和无限小数、()(9)所有的有理数都可以在数轴上表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数()
四、解答题
1、实数a、b、c在数轴上的对应关系如图2-5-1,化简。
2、求-++的值综合练习
一、易考题:
1、-1的相反数的倒数是
2、已知|a+3|+=0,则实数(a+b)的相反数
3、数-
3、14与-的大小关系是
4、和数轴上的点成一一对应关系的是
5、和数轴上表示数-3的点A距离等于
2、5的B所表示的数是
6、在实数中,-,0,,-
3、14,无理数有(
)(A)1 个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
7、一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是(
)(A)非负数
(B)非正数
(C)负数
(D)正数
8、若x<-3,则|x+3|等于(
)(A)x+3
(B)-x-3
(C)-x+3
(D)x-
39、下列说法正确是(
)(A)有理数都是实数(B)实数都是有理数(B)带根号的数都是无理数 (D)无理数都是开方开不尽的数
10、实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小:
(1)c-b和d-a
(2)bc和ad
二、考点训练:
*
1、判断题:
(1)如果a为实数,那么-a一定是负数;( )
(2)对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立;( )(3)两个无理数之和一定是无理数;( )(4)两个无理数之积不一定是无理数;( )(5)任何有理数都有倒数;( )
(6)最小的负数是-1;( )(7)a的相反数的绝对值是它本身;( )(8)若|a|=2,|b|=3且ab>0,则a-b=-1;( )
2、把下列各数分别填入相应的集合里-|-3|,
21、3,-
1、234,-,0,-,-,-,,(-)0,3-2,
1、、、、、、、中无理数集合{
}
负分数集合{
}整数集合{
} 非负数集合{
}*
3、已知1 )(A)-2x (B)2 (C)2x (D)- 24、下列各数中,哪些互为相反数? 哪些互为倒数? 哪些互为负倒数? -3,-1,3,-0、3,3-1,1+,3互为相反数: ;互为倒数: 互为负倒数: * 5、已知x、y是实数,且(X-)2和|y+2|互为相反数,求x,y的值 6、若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2,则+4m-3cd=。 * 7、已知=0,则a+b=。 三、解题指导: 1、下列语句正确的是( )(A)无尽小数都是无理数 (B)无理数都是无尽小数(C)带拫号的数都是无理数 (D)不带拫号的数一定不是无理数。 2、和数轴上的点一一对应的数是( )(A)整数 (B)有理数 (C)无理数 (D)实数 4、如果a是实数,下列四种说法: (1)a2和|a|都是正数; (2)|a|=-a,那么a一定是负数,(3)a的倒数是;(4)a和-a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3* 5、比较下列各组数的大小: (1) (2) (3)a 6、若a,b满足=0,则的值是* 7、实数a,b,c在数轴上的对应点如图,其中O是原点,且|a|=|c|(5) 判定a+b,a+c,c-b的符号(6) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|* 8、数轴上点A表示数-1,若AB=3,则点B所表示的数为 9、已知x<0,y>0,且y<|x|,用"<"连结x,-x,-|y|,y。 10、最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么? 11、(xx广东茂名,9,3分)对于实数、,给出以下三个判断: ①若,则、②若,则、③若,则、其
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- 北师大 八年 级数 上册 第二 实数 知识点 习题