武汉大学教学实验报告2.docx
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武汉大学教学实验报告2
武汉大学教学实验报告
电子信息学院电子信息科学类专业2013年9月13日
实验名称周期信号的合成与分解指导教师邹炼
姓名王丹年级大三学号2011301200165成绩
一、预习部分
1.实验目的
2.实验基本原理
3.主要仪器设备(含必要的元器件、工具)
1.实验目的:
1.在理论学习的基础上,通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解的物理意义。
2.理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数,此时方均误差随项数的增加而减小。
3.观察并初步了解Gibbs现象。
4.深入理解周期信号的频谱特点,比较不同周期信号频谱的差异。
2.实验基本原理:
满足Dirichlet条件的周期信号f(t)可以分解成三角函数形式的傅里叶级
表达式为:
式中n为正整数;角频率
由周期T1决定。
该式表明:
任何满足Dirichlet条件的周期信号都可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。
这些正弦、余弦分量的频率必定是基频f1的整数倍。
通常把频率为f1的分量称为基波,频率为nf1的分量称为n次谐波。
周期信号的频谱只会出现在0,
2
…,n
…等离散的频率点上,这种频谱称为离散谱,是周期信号频谱的主要特点。
波形变化越剧烈,所包含的高频分量的比重就越大;变化越平缓,所包含的低频分量的比重就越大。
一般来说,将周期信号分解得到的三角函数形式的傅里叶级数的项数是无限
的。
也就是说,通常只有无穷项的傅里叶级数才能与原函数精确相等。
但在实际
应用中,显然无法取至无穷多项,而只能采用有限项级数来逼近无穷项级数。
而
且,所取项数越多,有限项级数就越逼近原函数,原函数与有限项级数间的方均
误差就越小,而且低次谐波分量的系数不会因为所取项数的增加而变化。
当选取
的傅里叶有限级数的项数越多,所合成的波形的峰起就越靠近
的不连续点。
当所取得项数N很大时,该峰起值趋于一个常数,约等于总跳变值的9%,这种现象称为Gibbs现象。
3.主要仪器设备:
MATLAB软件和MATLAB中的plot、pause函数。
二、实验操作部分
1.实验数据、表格及数据处理
2.实验操作过程(可用图表示)
3.实验结论
1.实验数据、表格及数据处理
1.根据函数的对称性与傅里叶系数的关系可知,它可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数来表示:
选取奇对称周期方波的周期T=0.02s,幅度E=6,采用有限项级数来逼近该函数。
分别取前1、2、5和100项有限级数来近似,编写程序并把结果显示在一幅图中,观察它们逼近方波的过程。
%奇对称方波合成
t=0:
0.001:
0.1;
sishu=12/pi;
y=sishu*sin(100*pi*t);
subplot(221)
plot(t,y);
axis([0,0.1,-4,4]);
xlabel('time');
title('前1项有限级数');
y=sishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3);
subplot(222);
plot(t,y);
axis([0,0.1,-4,4]);
xlabel('time');
title('前2项有限级数');
y=sishu*(sin(100*pi*t)+sin(3*100*pi*t)/3+sin(5*100*pi*t)/5+sin(7*...
100*pi*t)/7+sin(9*100*pi*t)/9);
subplot(223)
plot(t,y);
axis([0,0.1,-4,4]);
xlabel('time');
title('前5项有限级数');
t=0:
0.001:
0.1;
y=0;
fori=1:
100
y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));
end
subplot(224);
plot(t,y);
axis([0,0.1,-4,4]);
xlabel('time');
title('前100项有限级数');
2.观察Gibbs现象
分别取前10、20、30和40项有限级数来逼近奇对称方波,观察Gibbs现象。
%观察Gibbs现象
t=0:
0.001:
0.04;
sishu=12/pi;
y=0;
fori=1:
5
y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));
end
subplot(221)
plot(t,y);
axis([0,0.04,-4,4]);
xlabel('time');
ylabel('前5项有限级数');
y=0;
fori=1:
6
y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));
end
subplot(222);
plot(t,y);
axis([0,0.04,-4,4]);
xlabel('time');
ylabel('前6项有限级数');
y=0;
fori=1:
7
y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));
end
subplot(223)
plot(t,y)
axis([0,0.04,-4,4]);
xlabel('time');
ylabel('前7项有限级数');
y=0;
fori=1:
8
y=y+sishu*(sin((2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1));
end
subplot(224);
plot(t,y);
axis([0,0.04,-4,4]);
xlabel('time');
ylabel('前8项有限级数');
3.周期对称三角信号的合成
偶对称周期三角信号可以用无穷个奇次谐波分量的傅里叶级数表示:
分别取1、5、50、500项有限项级数来近似。
%周期偶对称三角信号
clear;
t=-3:
0.0001:
3;
E=10;
omega=pi;
y=0;
fori=1:
1
xishu=1/((2*i-1)*(2*i-1));
y=y+(4*E/(pi*pi))*(xishu*cos((2*i-1)*omega*t));
end
subplot(4,1,1);
plot(t,y);
holdon;
xlabel('time');
ylabel('amplitude');
title('1项偶对称三角信号');
y=0;
fori=1:
5
xishu=1/((2*i-1)*(2*i-1));
y=y+(4*E/(pi*pi))*(xishu*cos((2*i-1)*omega*t));
end
subplot(4,1,2);
plot(t,y);
holdon;
xlabel('time');
ylabel('amplitude');
title('5项偶对称三角信号');
y=0;
fori=1:
50
xishu=1/((2*i-1)*(2*i-1));
y=y+(4*E/(pi*pi))*(xishu*cos((2*i-1)*omega*t));
end
subplot(4,1,3);
plot(t,y);
holdon;
xlabel('time');
ylabel('amplitude');
title('50项偶对称三角信号');
y=0;
fori=1:
500
xishu=1/((2*i-1)*(2*i-1));
y=y+(4*E/(pi*pi))*(xishu*cos((2*i-1)*omega*t));
end
subplot(4,1,4);
plot(t,y);
holdon;
xlabel('time');
ylabel('amplitude');
title('500项偶对称三角信号');
4.周期信号的频谱
分析奇对称方波信号与偶对称三角信号的频谱,编制程序并显示结果,深入
讨论周期信号的频谱特点和两信号频谱的差异。
clear;
E=5;
fre=5;%改变fre的值即可改变显示周期的个数
t=0:
0.001:
1;
N=length(t);
Ts=(t(N)-t
(1))/N;
m=floor(N/2);
Ws=2*pi*33;
W=Ws*(0:
m)/N;
xishu1=2*E/pi;
y=0;
fori=1:
20
y=y+xishu1*(sin(2*pi*fre*(2*i-1)*t)/(2*i-1));
end
subplot(221);
plot(t,y);
xlabel('time');
ylabel('amplitude');
title('奇对称矩形波');
holdon;
subplot(223);
F=fft(y,N);FF=F(1:
m+1);F11=abs(FF);
plot(W,F11,'r',-W,F11,'b');
title('奇对称矩形波频谱');
xlabel('\omega');
xishu=0;
y=0;
fori=1:
20
xishu=4*E/(pi^2*(2*i-1).^2);
y=y+xishu*cos(2*pi*fre*(2*i-1)*t);
end
subplot(222);
plot(t,y);
xlabel('time');
ylabel('amplitude');
title('偶对称三角波');
holdon;
subplot(224);
F=fft(y,N);FF=F(1:
m+1);F11=abs(FF);
plot(W,F11,'r',-W,F11,'b');
title('偶对称三角波频谱');
xlabel('\omega');
2.实验操作过程
前1、2、5和100项有限项级数合成的方波
Gibbs现象
三角波的合成
方波和三角波的频谱
三、实验效果分析(包括仪器设备等使用效果)
1.根据奇对称方波信号的傅里叶级数分级,分别取前1、2、5、100项进行逼近方波信号,从结果来看,取得项数越多合成的信号越逼近理想的方波信号。
当取无穷项是则可得到理想方波信号。
从图1中可以看到,当取100项时,似乎没有了Gibbs现象,事实上是因为时间分辨率不够,计算机没能显示出来,只要把时间步进改小就可以清楚的看到Gibbs现象了。
2.Gibbs现象是指:
对于具有不连续点(跳变点)的波形,所取级数项数越多,近似波形的均方误差虽然可以减少,但在跳变点处的峰起值不能减小,此峰起随着项数增多向跳变点靠近,而峰起值趋近于跳变值的9%。
从图2中可以清楚的看到取得项数越多,峰起震荡的频率越高,且经过计算,峰起值趋近于跳变值的9%。
取100项时,如果时间分辨率不够则计算的跳变值百分比将变小,或者看不到Gibbs现象,分析的值,当时间步进大约为峰起值震荡周期的一半时就可以看到Gibbs现象。
3.根据偶对称三角波信号的傅里叶级数,取有限项级数合成三角波信号,从图3中可以看到,当取的级数越多时,越接近理想的三角波信号。
由于三角波信号没有跳变点,故三角波不存在Gibbs现象。
4.从图4看到周期信号的频谱是离散的,且奇对称方波和偶对称三角波的频谱包络都和Sa函数有关。
从两者的频谱图可以看到,它们都是只包含奇谐分量(
、3
、5
、7
、9
、11
…等)不包含偶次谐波分量的信号。
方波频谱的包络与Sa函数相关,三角波频谱的包络与Sa函数的平方相关,故可以看到方波谐波分量的幅值下降没有三角波谐波分量下降快。
四、教师评语
指导教师年月日
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