求动点的轨迹方程.docx
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求动点的轨迹方程
求动点的轨迹方程(例题,习题与答案)
在中学数学教学和高考数学考试中,求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于:
求轨迹方程时,题目中没有直接告知轨迹的形状类型;而求曲线的方程时,题目中明确告知动点轨迹的形状类型)。
求动点轨迹方程的常用方法有:
直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等;求曲线的方程常用“待定系数法”。
●求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点P的坐标(x,y)满足的关系式。
1.直接法
(1)依题意,列出动点满足的几何等量关系;
(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:
,动点M到圆C的切线长等与,求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解:
设动点M(x,y),直线MN切圆C于N。
依题意:
,即
而,所以
(x-2)+y=x+y-1
化简得:
x=。
动点M的轨迹是一条直线。
2.定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件,由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。
依题意求出曲线的相关参数,进一步写出轨迹方程。
例题:
动圆M过定点P(-4,0),且与圆C:
相切,求动圆圆心M的轨迹方程。
解:
设M(x,y),动圆M的半径为r。
xxM与圆C相外切,则有∣MC∣=r+4
xxM与圆C相内切,则有∣MC∣=r-4
而∣MP∣=r,所以
∣MC∣-∣MP∣=±4
动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。
其中a=2,c=4。
动点的轨迹方程为:
3.相关点法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x,y)的变动而变动,且x、y可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程。
这种方法称为相关点法。
例题:
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
解:
设M(x,y),A(), 依题意有:
x=, y=
则:
x=2x-4,y=2y-3,因为点A()在圆上,所以
点M的轨迹方程为:
动点M的轨迹为以(2,)为圆心,1为半径的圆。
4.参数法
例题:
已知定点A(-3,0),M、N分别为x轴、y轴xx的动点(M、N不重合),且,点P在直线MNxx,。
求动点P的轨迹C的方程。
解:
设N(0,t),P(x,y)
直线AN的斜率,
因为,所以直线MN的斜率
直线MN的方程为y-t=,令y=0得x=,所以点M(,0)
由,得
x=),y-t=,则
所以动点P的轨迹方程为:
5.交轨法
例题:
如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设。
求直线与的交点的轨迹的方程。
解:
设,由已知得,
则直线的方程为,直线的方程为,
即 y+2=
y-2=-
两式相乘,消去即得的轨迹的方程为.
练习与答案
1.设圆C与圆x2+(y.3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为 A
A.抛物线B.双曲线 C.椭圆D.圆
2.已知圆,圆,一动圆与这两个圆外
切,求动圆圆心P的轨迹方程。
(x>0)
3.过点A(4,0)作圆O∶x+y2=4的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。
(x-2)+y=4(0≤x<1)
4.已知圆C:
+(y-4)=1,动点P是圆外一点,过P作圆C的切线,切点为M,
且︱PM︱=︱PO︱(O为坐标原点)。
求动点P的轨迹方程。
提示:
︱PO︱=︱PM︱=
3x+4y-12=0
5.已知圆,圆,动点到圆,上点的距离的最小值相等.求点的轨迹方程。
解:
动点P到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
动点P到圆C的最短距离为︱PC︱-1,
依题意有:
︱PC︱-1=︱PC︱-1, 即
︱PC︱=︱PC︱
所以动点P的轨迹为线段CC的中垂线。
所以动点P的轨迹方程为:
2x+y-5=0
6.已知双曲线的左、右顶点分别为,点P(),Q()
是双曲线上不同的两个动点。
求直线与交点的轨迹E的方程。
解:
由为双曲线的左右顶点知,
,,两式相乘,
因为点在双曲线上,所以,即,故,
所以,即直线与交点的轨迹的方程为
7.已知曲线与直线交于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程。
解:
(1)联立与得,则中点,设线段的中点坐标为,则,即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,且不与点和点重合,则,即,∴中点的轨迹方程为().
8.已知点C(1,0),点A、B是⊙O:
上任意两个不同的点,且满足,设P为弦AB的中点。
求点P的轨迹T的方程。
解:
连结CP,由,知AC⊥BC
∴|CP|=|AP|=|BP|=,由垂径定理知
即
设点P(x,y),有
化简,得到。
9.设椭圆,过点的直线交椭圆于A、B,O为坐标原点,点P满足,当绕着M旋转时,求动点P的轨迹方程。
解:
直线过点,设其斜率为k,则直线的方程为,
记,,由题设可得点A、B的坐标
是方程组的解,其方程组中消取得
∴
∵∴点P的坐标为
即:
点P为,
设点P为,则P点的轨迹参数方程为(为参数)
消去参数得:
当斜率不存在时,A、B的中为原点(0,0)也满足上述方程,
故:
动点P的轨迹方程为。
10.设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。
求圆C的圆心轨迹L的方程。
解:
两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,
由题意得或,
,
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则
,所以轨迹L的方程为.
11.如图所示,已知P(4,0)是圆内的一点。
A、B是圆上两动点,且满足,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解:
设R(x,y),
依题意,有
|OR|+|RA|=36,而|RA|=|RP|,所以
|OR|+|RP|=36,即
化简得:
设Q(X,Y),因为R(x,y)是 QP的中点,所以有
x=,y=,故
化简得:
X
12.在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP
的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP。
当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方
程。
解:
如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
因此即
①
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,
又
因此M在轴上,此时,记M的坐标为
为分析的变化范围,设为上任意点
由
(即)得,
故的轨迹方程为
②
综合①和②得,点M轨迹E的方程为
13.点M是椭圆上的动点。
如图,点的坐标为,是圆上的点,是点在轴上的射影,点满足条件:
,=0, 求线段的中点的轨迹方程;
解:
设
.因为,故
①
因为
所以.②
记P点的坐标为,因为P是BQ的中点,所以
由因为,结合①,②得
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故动点P的轨迹方程为(x-。
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