华师一附中届高三新课标第一轮复习教案第八章第六讲抛物线中的位置关系及应用.docx
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华师一附中届高三新课标第一轮复习教案第八章第六讲抛物线中的位置关系及应用.docx
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华师一附中届高三新课标第一轮复习教案第八章第六讲抛物线中的位置关系及应用
第六讲抛物线中的位置关系及应用
教学目的:
点与抛物线、直线与抛物线的位置关系.弦长的计算公式及相关的应用.
教学重点:
直线与抛物线的位置关系及相关的应用.
教学难点:
直线与抛物线的位置关系及相关的应用.
【知识概要】
知识点1点与抛物线位置关系
当点在抛物线上时;
当点在抛物线内时,∵,。
点在抛物线内
当点在抛物线外时,∵,。
点在抛物线外
知识点2直线与抛物线的位置关系
对于抛物线:
,直线。
联立,
得关于x的方程。
当(二次项系数为零),唯一一个公共点(交点)
当,若,两个公共点(交点),,一个公共点(切点);,无公共点。
(相离)
知识点3弦长公式
,其中a和分别是(*)中二次项系数和判别式,k为直线的斜率;当代入消元消掉的是y时,得到,此时弦长公式相应的变为:
【基础题典例解析】
例1(直线与抛物线的位置关系)
已知抛物线C1:
y2=4x,F是它的焦点,椭圆C2:
3x2+2y2=2,过F的直线交C1于A、B两点,弦长|AB|不超过8,且和C2相交于两个不同的点,求的倾斜角θ的取值范围。
解:
依题设知F的坐标是(1,0)。
设的方程为y=k(x-1)(若无斜率,则与C2无公共点)。
由消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.k≠0时,d==,故k2≥1。
又由消去y,得(3+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0。
依题设Δ=16k4-8(3+2k2)(k2-1)>0,解得k2<3,∴1≤k2<3.于是- 例2(直线与抛物线的位置关系) 已知直线的斜率为k,且过P(-2,0),抛物线C: y2=4(x+1),直线与抛物线有两个不同的交点A和B。 (1)求k的取值范围; (2)直线的倾斜角θ为何值时,A,B分别与抛物线C的焦点的连线互相垂直。 解: (1)设直线的方程为y=k(x+2)代入C得: k2x2+(4k2-4)x+4k2-4=0,①直线与抛物线C交于两个不同点的充要条件是方程①在区间(-1,+∞)上有两个不等实根,其充要条件是解得-1 (2)焦点F(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2)。 ∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1,∴x1x2=-y1y2,由①得x1x2=.y1y2=k2(x1+2)(x2+2)=k2[x1x2+2(x1+x2)+4]=k2=4,∴∴k=±,即tanθ=±,∴θ=arctan或θ=π-arctan. 例3(求抛物线的方程) 求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得弦长为的抛物线方程。 解: 设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0),①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB。 ②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,则|AB|=。 解得a=12,或a=-4。 ∴所求抛物线方程为y2=12x,或y2=-4x. 评注: 本题将抛物线方程设为y2=ax(a≠0)避免了分类讨论。 当a>0时抛物线开口向右;当a<0时抛物线开口向左。 例4(抛物线与二次方程的韦达定理的应用) 已知抛物线C: y2=2ax(a<0),过点(-1,0)作直线交抛物线C于A、B,问是否存在以A、B为直径且过C的焦点F的圆? 解: 当直线的斜率k存在时,设的方程y=k(x+1)(k≠0)代入C: y2=2ax,∴k2x2+(2k2-2a)x+k2=0.①若存在以AB为直径且过焦点F的圆,则AF⊥BF。 ∴F(,0)。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ,即k2(x1+1)(x2+1)+(x1-)(x2-)=0。 由①有x1+x2=,x1x2=1,代入②,整理得k2=。 ∵k2>0,a2>0,∴a2+12a+4>0。 且a<0,解得a<-6-4,或-6+4 又当k不存在时,: x=-1可得A(-1,),B(-1,-),由kAFkBF=-1,得a=-6±4。
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