课堂新坐标高中数学人教版选修11练习模块综合测评.docx
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课堂新坐标高中数学人教版选修11练习模块综合测评
模块综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 设a=1,b=-2,则有a>b,但a2
【答案】 D
2.过点P(1,-3)的抛物线的标准方程为( )
A.x2=y或x2=-y
B.x2=y
C.y2=-9x或x2=y
D.x2=-y或y2=9x
【解析】 P(1,-3)在第四象限,所以抛物线只能开口向右或向下,设方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),代入P(1,-3)得y2=9x或x2=-y.故选D.
【答案】 D
3.(2016·南阳高二检测)下列命题中,正确命题的个数是( )
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”;
②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件;
③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题;
④对命题p:
∃x0∈R,使得x+x0+1<0,则¬p:
∀x∈R,均有x2+x+1≥0.
A.1 B.2C.3 D.4
【解析】 ①正确;②由p∨q为真可知,p,q至少有一个是真命题即可,所以p∧q不一定是真命题;反之,p∧q是真命题,p,q均为真命题,所以p∨q一定是真命题,②不正确;③若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,③不正确;④正确.
【答案】 B
4.函数f(x)=x2+2xf′
(1),则f(-1)与f
(1)的大小关系为( )
A.f(-1)=f
(1)B.f(-1) (1) C.f(-1)>f (1)D.无法确定 【解析】 f′(x)=2x+2f′ (1), 令x=1,得f′ (1)=2+2f′ (1),∴f′ (1)=-2. ∴f(x)=x2+2x·f′ (1)=x2-4x, f (1)=-3,f(-1)=5. ∴f(-1)>f (1). 【答案】 C 5.(2014·福建高考)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( ) A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0 B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0 C.∃x0∈[0,+∞),x+x0<0 D.∃x0∈[0,+∞),x+x0≥0 【解析】 故原命题的否定为: ∃x0∈[0,+∞),x+x0<0.故选C. 【答案】 C 6.已知双曲线的离心率e=2,且与椭圆+=1有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±2x 【解析】 双曲线的焦点为F(±4,0),e==2,∴a=2,b==2,∴渐近线方程为y=±x=±x. 【答案】 C 7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=( )【导学号: 26160107】 A.1 B.C.2 D.3 【解析】 因为双曲线的离心率e==2,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,与抛物线的准线x=-相交于A,B,所以△AOB的面积为××p=,又p>0,所以p=2. 【答案】 C 8.点P在曲线y=x3-x+3上移动,过点P的切线的倾斜角的取值范围为( ) A.[0,π)B.∪ C.∪D.∪ 【解析】 f′(x)=3x2-1≥-1,即切线的斜率k≥-1,所以切线的倾斜角的范围为∪. 【答案】 B 9.椭圆有如下的光学性质: 从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A,B是它的两个焦点,其长轴长为2a,焦距为2c(a>c>0),静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是( ) A.2(a-c)B.2(a+c) C.4aD.以上答案均有可能 【解析】 如图,本题应分三种情况讨论: 当小球沿着x轴负方向从点A出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a-c); 当小球沿着x轴正方向从点A出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是2(a+c); 当是其他情况时,从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是4a. 【答案】 D 10.若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是( ) A.B. C.D. 【解析】 f′(x)=3kx2+6(k-1)x. 由题意知3kx2+6(k-1)x≤0, 即kx+2k-2≤0在(0,4)上恒成立, 得k≤,x∈(0,4),又<<1,∴k≤. 【答案】 D 11.若直线y=2x与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(1,)B.(,+∞) C.(1,]D.[,+∞) 【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y=x.由条件知,应有>2, 故e===>. 【答案】 B 12.(2014·湖南高考)若0 A.ex2-ex1>lnx2-lnx1 B.ex2-ex1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1 【解析】 设f(x)=ex-lnx(0 则f′(x)=ex-=. 令f′(x)=0,得xex-1=0. 根据函数y=ex与y=的图象,可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确. 设g(x)=(0 又0 ∴函数g(x)在(0,1)上是减函数. 又0 ∴x2ex1>x1ex2. 【答案】 C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________. 【解析】 a+b+c=3的否定是a+b+c≠3, a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3. 【答案】 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 14.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________________.【导学号: 26160108】 【解析】 y′=ex+xex+2,k=y′|x=0=e0+0+2=3, 所以切线方程为y-1=3(x-0), 即3x-y+1=0. 【答案】 3x-y+1=0 15.如图1为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式xf′(x)<0的解集为________________. 图1 【解析】 当x<0时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数, 由图象可知x∈(-∞,-); 当x>0时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数,由图象可知x∈(0,). ∴xf′(x)<0的解集为(-∞,-)∪(0,). 【答案】 (-∞,-)∪(0,) 16.若O和F分别是椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________. 【解析】 由椭圆+=1可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,当且仅当x=2时,·取得最大值6. 【答案】 6 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设命题p: 方程+=1表示的曲线是双曲线;命题q: ∃x∈R,3x2+2mx+m+6<0.若命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围. 【解】 对于命题p,因为方程+=1表示的曲线是双曲线,所以(1-2m)(m+4)<0,解得m<-4或m>,则命题p: m<-4或m>. 对于命题q,因为∃x∈R,3x2+2mx+m+6<0,即不等式3x2+2mx+m+6<0在实数集R上有解, 所以Δ=(2m)2-4×3×(m+6)>0, 解得m<-3或m>6. 则命题q: m<-3或m>6. 因为命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以命题p与命题q有且只有一个为真命题. 若命题p为真命题且命题q为假命题, 即得 若命题p为假命题且命题q为真命题, 即得-4≤m<-3. 综上,实数m的取值范围为[-4,-3)∪. 18.(本小题满分12分)设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求b,c的值; (2)求g(x)的单调区间与极值. 【解】 (1)∵f(x)=x3+bx2+cx, ∴f′(x)=3x2+2bx+c. 从而g(x)=f(x)-f′(x) =x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c ∵g(x)是奇函数, ∴-x3+(b-3)x2-(c-2b)x-c =-[x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c] 得(b-3)x2-c=0对x∈R都成立. ∴得b=3,c=0. (2)由 (1)知g(x)=x3-6x,从而g′(x)=3x2-6,由此可知,(-∞,-)和(,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-,)是函数g(x)的单调递减区间.g(x)在x=-时,取得极大值,极大值为4,g(x)在x=时,取得极小值,极小值为-4. 19.(本小题满分12分)已知抛物线y2=4x截直线y=2x+b所得的弦长为|AB|=3. (1)求b的值;【导学号: 26160109】 (2)在x轴上求一点P,使△APB的面积为39. 【解】 (1)联立方程组消去y,得方程: 4x2+(4b-4)x+b2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2=1-b,x1x2=, |AB|= ==3, 解得b=-4. (2)将b=-4代入直线y=2x+b,得AB所在的直线方程为2x-y-4=0, 设P(a,0),则P到直线AB的距离为d=. △APB的面积S=××3=39,则a=-11或15, 所以P点的坐标为(-11,0)或(15,0). 20.(本小题满分12分)某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位: 元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 【解】 (1)设商品降低x元时,多卖出的商品件数为kx2,若记商品在一个星期的销售利润为f(x), 则依题意有f(x)=(30-x-9)·(432+kx2) =(21-x)·(432+kx2), 又由已知条件24=k·22,于是有k=6, 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30]. (2)根据 (1),有f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表: x [0,2) 2 (2
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