届浙江省杭州七校高三下学期第三次联考数学试题解析.docx
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届浙江省杭州七校高三下学期第三次联考数学试题解析
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2019届浙江省杭州七校高三下学期第三次联考数学试题注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题
1.已知复数满足,其中为虚数单位,则().
A.B.1C.D.2
答案:
C
先利用复数的四则运算求出复数,再根据复数的模的定义求;也可以直接利用复数的模的性质进行求解.
解:
解法1、由题意知,复数,所以.
解法2、因为,所以,所以.
故选:
C.
点评:
本题主要考查了复数的四则运算、复数的模的计算,其中解答中熟记复数的四则运算法则是解答的关键,着重考查数学运算能力.
2.已知集合,,则().
A.B.C.D.
答案:
A
先解一元二次不等式得到集合,再根据指数函数的单调性求得集合,最后根据集合的交、补运算求,即可求解.
解:
由不等式,可得,所以,
又由函数在上单调递增,且,所以,
所以,所以.
故选:
A.
点评:
本题主要考查了一元二次不等式的解法,指数函数的单调性,集合的交、补运算,着重考查了推理与计算能力.
3.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,将终边按逆时针方向旋转后,终边经过点,则()
A.B.C.D.
答案:
B
先建立角和旋转之后得所到的角之间的联系,再根据诱导公式和二倍角公式进行计算可得.
解:
设旋转之后的角为,由题得,,,又因为,
所以得,故选B.
点评:
本题考查任意角的三角函数和三角函数的性质,是基础题.
4.已知,,为实数,则“”是“”的().
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:
B
结合指数函数的性质,得到“”的充要条件是“”,再结合幂函数的性质,得到“”是“”的充要条件,最后利用充分、必要条件的判定方法,即可求解.
解:
由函数在上单调递减,所以“”的充要条件是“”.
又因为函数在上单调递增,所以“”是“”的充要条件,
又由“”是“”的必要不充分条件,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:
B.
点评:
本题主要考查了充要关系的判断以及指数函数的性质等,着重考查逻辑思維能力与运算能力..
5.已知某三棱锥的三视图如图所示,其中每个小正方形的边长都为1.三棱锥上的点在俯视图上的对应点为,点在左视图上的对应点为,则线段的长度的最大值为().
A.B.C.9D.6
答案:
A
在棱长为3的方体中还原该几何体的直观图,得到三棱锥,再结合在上,得到在线段长度的最大值即的长,即可求解.
解:
根据题意及三视图,在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图,
得到如图所示的三棱锥,
由题意知在上,在线段长度的最大值即的长,
故线段长度的最大值为.
故选:
A.
点评:
本题主要考查了由三视图还原几何体的直观图、计算动点到定点距离的最大值,其中三视图是考查空间想象能力重要载体,常结合面积、体积等进行命题,求解此类问题的关键是根据三视图还原直观图,还原直观图时常需要在长方体或正方体中还原.
6.已知是不等式组表示的平面区域内的任意一点,是圆上的动点,则的最大值为().
A.B.C.D.
答案:
D
先作出不等式组所表示的平面区域,并求出平面区域的,再分别求出三个顶点到圆心的距离,并比较大小得到的最大值.
解:
作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分,如图所示,
可得,,,
圆的圆心为,
又由点,,到圆心的距离分别为,,,
所以易知的最大值为.
故选:
D.
点评:
查线性规划的知识、两点间的距离公式、圆的标准方程,其中解答中作出图形,将问题转化为不等式组表示的平面区域内的点到圆心的距离的最大值问题,然后结合图形解题是解答的关键,着重考查了作图能力、数形结合思想及化归与转化思想.
7.已知直线与函数的图象相切,且有两个不同的切点,则实数的值为().
A.B.2C.D.
答案:
D
先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切,再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解.
解:
由題意,知直线与函数在,上的图象均相切,
由直线与的图象相切得,
联立方程组,整理得,
由,解得,此时切点为,直线方程为,
设直线与的图象切于点,
由函数,则,所以,所以,
所以点的坐标为,
因为点在直线上,所以,解得.
故选:
D.
点评:
本题主要考查了分段函数与导数的几何意义,考查考生的逻辑思维能力,分析问题、解决问题的能力,运算求解能力.
8.某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作,若每天最多安排一名实习生,且这3名实习生不能安排在连续的3天,则不同的安排方案的种数为().
A.30B.120C.180D.210
答案:
C
先求出将3名实习生随机安排在一周的7天内的安排方案种数,再求出将3名实习生安排在连续的3天的安排方案种数,最后相减即可得到结果.
解:
由题意,将3名实习生随机安排在一周的7天内,共有种安排方案,
将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有种,
所以满足题意的不同安排方案有(种).
故选:
C.
点评:
本题主要考查了排列组合的应用,其中解答此类问题时,若直接从正面求解,则较为复杂,还容易出错;若从反面求解则较容易得到答案,着重考查了逻辑推理能力.
9.已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,,两点在抛物线的准线上的射影分别为,,若,,则().
A.B.2C.D.4
答案:
C
首先设出,两点的坐标并表示出与,然后利用直线过焦点建立,两点的纵坐标之间的关系,最后建立关于的方程求解即可.
解:
由题意,抛物线,可得准线方程为,,
设,,则由题意可得,,
所以,所以,即,
,所以,即,
又直线过焦点,所以,所以4,
即,整理得,
又因为,所以.
故选:
C.
点评:
本题主要考查了拋物线的几何性质、两点间的距离公式以及直线与抛物线的位置关系等,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
10.数列满足,(且),数列为递增数列,数列为递减数列,且,则().
A.B.C.4851D.4950
答案:
D
由数列为递增数列,得到,进而得出,又由数列为递减数列,得到,得到,
得出当为奇数且时,,当为偶数时,,即可求解.
解:
因为数列为递增数列,所以,即,
则,
由题意,
则由得,,
因为数列为递减数列,所以,即,
则,
由题意得,,
由,可得,,
又,即,所以当为奇数且时,;
当为偶数时,.
所以.
故选:
D.
点评:
本题主要考查了以递推数列为载体考查逻辑思维能力,在解题过程中需结合数列的増减性和含绝对值符号的式子所藴含的信息进行适当推理与分析,着重考查了逻辑思维能力,以及推理与计算能力.
二、填空题
11.函数的最小正周期是________,在上的最小值为________.
答案:
2..
根据三角函数最小正周期的计算公式得出的最小正周期是2,再根据正弦函数的图象求得函数在上的最小值.
解:
由题意,函数,可得函数的最小正周期,
当时,,
结合正弦函数的图象可知,当,
即时,函数在上取得最小值,且.
故答案为:
2,.
点评:
本题主要考查了三角函数的最小正周期,三角函数的最值问题,其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
12.在平面直角坐标系中,直线与双曲线的渐近线交于,两点,若的面积为,则双曲线的标准方程为________,离心率为________.
答案:
..
根据双曲线的方程得到渐近线方程,再由确定点,的横坐标,然后根据三角形的面积得到的值,即可得到双曲线的标准方程和高心率.
解:
由题意,双曲线的渐近线方程为,
令,可得,则,
由的面积为,解答,
所以双曲线的标准方程为,离心率.
故答案为:
,.
点评:
本题主要考查了双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率等知识点的综合应用,其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了运算求解能力.
13.的展开式中项的系数为________.
答案:
.
先求出的展开式的通项,再分别求出展开式中项、项、项的系数,即可求得的展开式中项的系数.
解:
由题意,二项式的展开式的通项,
其中项的系数为,项的系数为,
项的系数为,
所以的展开式中项的系数为.
故答案:
.
点评:
本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
14.在棱长为2的正方体中,,,分别是棱,,的中点,则过点,,的平面与底面所成的锐二面角的余弦值为________.
答案:
.
设正方体上、下底面的中心分别为,,连接,与交于点,连接,与交于点,连接,得到为平面与底面所成二面角的平面角,即可求解.
解:
过,,的平面与,,分别交于点,,,且,,分别为所在棱的中点,如图所示,
则平面与底面所成角的余弦值,即所求角的余弦值,
设正方体上、下底面的中心分别为,,
连接,与交于点,连接,与交于点,
连接,则为平面与底面所成二面角的平面角,
连接,易知,所以,
故,
故所求锐二面角的余弦值为.
故答案为:
.
点评:
本题主要考查了二面角的余弦值,考查考生的空间想象能力、推理论证能力,着重考查了二面角的求解与垂直问题.
15.若实数,满足,则的最小值为________.
答案:
.
由,得出构成成等比数列,求得,进而结合二次函数的性质,即可求解.
解:
由题意,实数,满足,
可得构成成等比数列,
设公比为,则,整理得,解得,
可得,所以,
故的最小值为.
故答案为:
.
点评:
本题主要考查了最值问题的求解,其中解答中根据题设条件,合理转化为等比数列,利用等比数列的性质求解是解答的关键,着重考查了转化与化归思想,以及分析问题和解决问题的能力.
三、双空题
16.袋子中有3个红球、5个白球,从袋子中随机摸出3个球,若随机变量表示摸到白球的个数,则________,________.
答案:
..
由从袋子中摸出的3个球为1个白球、2个红球的概率,求得,进而得到随机变量的所有可能取值为,求得相应的概率,列出分布列,利用公式求得期望.
解:
由题意,从袋子中摸出的3个球为1个白球、2个红球的概率,故.
又由随机变量的所有可能取值为,
则,,,
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
所以.
故答案为:
,.
点评:
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望计算,考查考生分析问题、解决问题的能力.
17.若向量,满足,则的最小值为________,最大值为________.
答案:
12
设,的夹角为,根据向量的运算,得到所以,结合三角函数的性质,即可求解.
解:
由题意,设,,的夹角为,
则,,
所以,
所以,
因为,所以,所以,
故的最小值为12,最大值为.
故答案为:
,
点评:
本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查逻辑推理、数学运算能力.
四、解答题
18.在中,角,,的对边分别为,,,且的周长为3,.
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
答案:
(1);
(2).
(1)利用正弦定理将转化为边的关系,再结合三角形的周长及余弦定理,即可求得角;
(2)利用方程思想解得及的值,再根据正弦定理将,表示出来,即可求解.
解:
(1)因为,由正弦定理可得,
又由,可得,
整理得,所以,
又因为,所以.
(2)因为,解得,所以,
又由,可得,,
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- 浙江省 杭州 七校高三 下学 第三次 联考 数学试题 解析