高考数学专题圆锥曲线综合含答案解析.docx

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高考数学专题圆锥曲线综合含答案解析

培优点十八

圆锥曲线综合

1．直线过定点

例1：

已知中心在原点，焦点在

x轴上的椭圆C的离心率为

2，过左焦点F且垂直于x轴

2

的直线交椭圆C于P，Q两点，且PQ

22．

（1）求C的方程；

（2）若直线l是圆x2

y2

8上的点2,2

处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭

圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在．求证：

直线

AB过定点，

并求出该定点的坐标．

2

2

【答案】

（1）x

y

1；

（2）证明见解析，

2,1

．

8

4

【解析】

（1）由已知，设椭圆

C的方程为

x2

y2

1a

b

0

，

2

2

a

b

因为PQ

2

2，不妨设点P

c,

2，代入椭圆方程得

c2

2

2

21

，

a

b

又因为e

c

2

1

2

1

，b

2

4

2

2

8，

a

，所以

2

b

2

c，所以b

，a

2b

2

2

2

所以C的方程为x

y

1．

8

4

（2）依题设，得直线l

的方程为y

2

x

2，即x

y

4

0，

设Mx0,y0

，Ax1,y1

，Bx2,y2

，

由切线MA的斜率存在，设其方程为

y

y1

k

x

x1

，

y

y1

kx

x1

2

联立x2

y2

得，2k2

1x2

4ky1

kx1x2y1

80，

1

kx1

8

4

由相切得

2

y1

kx1

2

2

1

y1

2

4

0，

16k

82k

kx1

y1

2

8k2

4

，即x1

2

8

k2

2x1y1k

y12

4

0，

化简得

kx1

因为方程只有一解，所以

k

x1y1

x1y1

x1

，所以切线MA的方程为

x

2

8

2y2

2y

1

1

1

yy1

x1

xx1，

2y1

即x1x2y1y8，同理，切线MB的方程为x2x2y2y8，

1/12

又因为两切线都经过点

Mx0,y0，所以

x1x0

2y1y0

8，所以直线AB的方程为

x2x0

2y2y0

8

x0x2y0y8，

又x0y04，所以直线AB的方程可化为x0x

2

4x0y8，

即x0x2y8y8

0，令x2y

0，得x

2，

8y8

0

y

1

所以直线AB恒过定点

2,1．

2．面积问题

2

2

b

例2：

已知椭圆

x

y

b0的左、右焦点分别为

2

21a

F1、F2，焦距为4，直线l1:

yx

a

b

c

与椭圆相交于

A、B两点，F2关于直线l1的对称点E在椭圆上．斜率为

1的直线l2与线段

AB相交于点

P，与椭圆相交于

C、D两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形ACBD面积的取值范围．

【答案】

（1）x2

y2

1

；

（2）32

32．

8

4

9

3

【解析】

（1）由椭圆焦距为

4，设F1

2,0

，F2

2,0

，连结EF1，设EF1F2

，

则tan

b，又a2

b2

c2，得sin

b，cos

c，

c

a

a

e

2c

F1F2

sin90

1

a

c，

EF1||EF2

sin

b

2a

sin90

c

bc

a

a

a

2

2

解得a2

bcc2

b

c

2，a2

8

，所以椭圆方程为

x

y

1．

8

4

（2）设直线l2方程：

y

x+m，C

x1,y1

、D

x2,y2，

x2

y2

x1x2

4m

由

1

2

2

，所以

3

，

8

4

，得3x

4mx2m80

2m2

x1x2

8

y

xm

3

由

（1）知直线l1：

yx，代入椭圆得A

2

6,

2

6，B

2

6,

2

6

，得AB

83，

3

3

3

3

3

由直线l2与线段AB相交于点P，得m

4

6,

4

6

，

3

3

2

2

2

42m

8

CD

2x1

x2

2x1

8x1x2

2

16m

4

m2+12，

x2

3

9

3

而kl2

1与kl1

1，知l2

l1，

SACBD

1

AB

CD

16

3

m2+12

，

2

9

由m

4

6,4

6，得

m2

32,0

，所以163

m2+12

32,32

，

3

3

3

9

9

3

3232

四边形ACBD面积的取值范围,．

3．参数的值与范围

2

例3：

已知抛物线C:

y2pxp0的焦点F1,0，点A1,2在抛物线C上，过焦点F的

直线l交抛物线C于M，N两点．

（1）求抛物线C的方程以及

AF的值；

uuuur

uuur

2

2

的值．

（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若MF

FN，

BM

BN40，求

【答案】

（1）y2

4x，AF

2；

（2）

2

3．

2

2px

p

0的焦点F

1,0，

【解析】

（1）Q抛物线C:

y

p

，则2p

4，抛物线方程为

y

2

4x；

1

2

Q点A

1,2在抛物线C上，

AF

1

p

2．

2

（2）依题意，F1,0，设l:

xmy

1，设M

x1,y1

、N

x2,y2

，

3/12

联立方程

y2

4x

，消去x，得y2

4my40．

x

my

1

所以

y1

y2

4m

①，且

x1

my1

1，

y1y2

4

x2

my2

1

uuuur

uuur

又MF

FN，则1x1,y1

x2

1,y2，即y1

y2，

代入①得

y2

2

4

，消去y2得4m2

1

2，

1

y2

4m

B1,0

uuuur

x1

1,y1

uuur

x2

1,y2

，则BM

，BN

，

uuuur

uuur

uuuur2

uuur2

2

y12

2

则BM|2

BN|2

BM

BN

x1

1

x2

1y2

2

x12

x22

2x1

x2

2y12

y22

（my1

2

2

2my1

my2

2

2

2

2

1）

（my21）

y1

y2

m2

1y12

y22

4my1

y2

8

2

2

8

4m4m

8

4

40m

2

16

，

m

116m

16m

当16m4

40m2

16

40，解得m

2

1，故

2

3．

2

4．弦长类问题

例4：

已知椭圆C1:

x

2

y

2

C2:

x

2

y2

2

21ab0的左右顶点是双曲线

1的顶点，且椭圆

a

b

3

C1的上顶点到双曲线

C2的渐近线的距离为

3．

2

（1）求椭圆C1的方程；

（2）若直线l与C1

uuuur

uuuur

相交于M1，M2

两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且OQ1

OQ2

5，求

M1M2的取值范围．

【答案】

（1）x2

y2

1；

（2）0,

10．

3

【解析】

（1）由题意可知：

a2

3，又椭圆C1的上顶点为

0,b，

双曲线C2的渐近线为：

y

3

x3y

0

，

x

3

3

3b

x

2

y2

由点到直线的距离公式有：

2

b

1，∴椭圆方程

1．

2

3

2

（2）易知直线的斜率存在，设直线

的方程为y

kxm，代入x

y2

1，消去y并整理

3

得：

13k2x2

6kmx

3m2

3

0，

1

3k

2

0

13k

2

0，

要与C2相交于两点，则应有：

2

2

2

2

36km413k

3m30

m2

13k2

设Q1x1,y1

，Q2x2,y2

，

2

则有：

x1

x2

6km

，x1

x2

3m

3

．

uuuur

uuuur

1

3k

2

1

3k2

1k2

m2．

又OQ1OQ2

x1x2

y1y2

x1x2

kx1

mkx2

m

x1x2

kmx1

x2

uuuur

uuuur

1

2

2

2

2

2

2

又：

OQ

OQ

5

，所以有：

，

2

1k

3m36kmm13k

5

1

1

3k2

m

2

1

9k

2，②

将y

kx

m，代入x2

y2

1，消去y并整理得：

1

3k2

x2

6kmx

3m2

3

0，

3

要有两交点，则

2

2

41

2

3m

2

0

2

1

2

36km

3k

3

3k

m．③

由①②③有0

k2

1．

9

设M1

x3,y3

、M2

x4,y4

．有x3

x4

1

6km

，x3

x4

3m2

3

，

3k2

1

3k2

2

2

2

3

1

2

2

36km

43m

3k

M1M2

1

k

13k2

2

2

43m2

3

9k2

．

1

k

2

2

1

3k

2

2

k2

144k

2

12k

k2

将m

1

9k

代入有M1M2

1

M1M2

2

1

21

．

1

3k2

3k

2

1

2

M1M2

12

k

k

，令t

k2，t

0,1，

1

3k2

2

9

5/12

t1

t

1

t

，t

0,1

令ft

2f't

1

3

．

1

3t

3t

9

所以f't

0在t

0,1

内恒成立，故函数

ft在t

0,1

内单调递增，

9

9

故ft0,5

M1M20,10．

72

5．存在性问题

例5：

已知椭圆C:

x2

y2

1a

b

0

的左、右焦点分别为

F1

1,0

，F2

1,0，点A1,

2

2

2

2

a

b

在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在斜率为

2的直线l，使得当直线

l与椭圆C有两个不同交点

M，N时，能在

直线y

uuuur

uuur

l的

5上找到