高等几何试题及答案.docx

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高等几何试题及答案

系专业班学号姓名

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试卷类型：

A

高等几何

使用专业年级考试方式：

开卷（）闭卷（√）共6页

题号

一

二

三

四

五

六

合计

得分

填空题（每小题4分，共20分）

1、设

（1），

（-1），

（

）为共线三点，则

。

2、写出德萨格定理的对偶命题：

。

3、若共点四直线a,b,c,d的交比为（ab,cd）=-1，则交比（ad,bc）=______。

4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：

。

5、二次曲线的点坐标方程为

，则其线坐标方程为是。

选择题（每小题2分，共10分）

1.下列哪个图形是仿射不变图形？

（）

A.圆B.直角三角形

C.矩形D.平行四边形

2.

表示（）

A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点

B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点

C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点

D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点

3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？

（）

A.一次B.两次

C.三次D.四次

4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（）：

A.三角形的垂心B.梯形

C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆

5.二次曲线按射影分类总共可分为（）

A.4类B.5类

C.6类D.8类

三、判断题（每小题2分，共10分）

1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。

（）

2.两直线能把射影平面分成两个区域。

（）

3.当正负号任意选取时，齐次坐标

表示两个相异的点。

（）

4.在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此

射影变换一定是对合。

（）

5.配极变换是一种非奇线性对应。

（）

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四、作图题（8分）

已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使（ab,cd）=-1。

（画图，写出作法过程和根据）

五、证明题（10分）

如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明：

TS与QP的交点M在直线GH上。

六、计算题（42分）

1.（6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比（ABP）

2.（6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求

（1）l的齐次坐标方程；

（2）l上无穷远点的坐标；

（3）l上无穷远点的方程。

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3.（8分）在直线上取笛氏坐标为2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E，（i）求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？

4.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。

5.（6分）求由两个射影线束

，

，

所构成的二阶曲线的方程。

6.（8分）试求二次曲线Γ：

+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。

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填空题（每小题4分，共20分）

1（4分）

如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。

（4分）

2（4分）

射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）

（4分）

选择题（每小题2分，共10分）

1.（D）,2.（C）,3.（B）,4.（A）,5.（B）

判断题（每小题2分，共10分）

1.（×）,2.（√）,3.（×）,4.（√）,5.（√）

作图题（8分）

第

1

页

共

4

页

作法过程：

1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,（2分）

2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）

3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。

（2分）

根据：

完全四点形的调和共轭性（2分）

证明题（10分）

证明：

在三点形BTS与三点形DQP中（4分）

对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）

由德萨格定理的逆定理知，（2分）

对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。

（2分）

六、计算题（42分）

（6分）

解：

设P点的坐标为（x0，yo）

（分割比），（2分）

且P在直线x+3y-6=0上，

解得λ=1，（2分）

即P是AB中点，且（ABP）=－1（2分）

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（6分）

（1）

（2分）

（2）（1，1/2，0）（2分）

（3）

（2分）

（8分）

解：

笛氏坐标023x

射影坐标：

P*P0Eλ

（i）由定义λ=（P*P0，EP）=（20，3x）=

（4分）

（ii）若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有

，即3x2－7x=0，

∴当x=0及x=

时两种坐标相等。

（4分）

（8分）

设射影变换的方程为：

（2分）

由题意知：

a+

6a+3b+2c+d=0

得到：

故射影变换方程为：

（4分）

二重元素满足：

得

=7/3或

=1（2分）

（6分）

解：

由题意：

（2分）

由上式得：

（2分）

故所求方程即为

（2分）

6.（8分）

解：

二次曲线的齐次方程为：

x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，

∴二次曲线为常态的，

设中心

则中心为

（4分）

求渐近线方程：

a11X2+2a12XY+a22Y2=0，X=x－ξ，Y=y－η。

从X2+3XY－4Y2=0→（X+4Y）（X－Y）=0.

X+4Y=（x－

）+4（y+

）=0→5x+20y+18=0，（2分）

X－Y=（x－

）－（y+

）=0→5x－5y－8=0。

（2分）

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