届人教A版平面向量的数量积及平面向量的应用考点规范练.docx
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届人教A版平面向量的数量积及平面向量的应用考点规范练
第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
平面向量的数量积
2,4
平面向量的夹角与垂直
1,7,11
平面向量的模
3,8
平面向量数量积的综合问题
6,9,10
平面向量与其他知识的交汇
5,12,13,14
基础对点练(时间:
30分钟)
1.(2016内江模拟)已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若a⊥b,则|b|等于( B )
(A)(B)2(C)5(D)20
解析:
由题意可得a·b=(1,-2)·(x,2)=x-4=0,解得x=4.故|b|==2.
2.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于( C )
(A)-1(B)0(C)1(D)2
解析:
a=(1,-1),b=(-1,2),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
3.(2015秦安县一模)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于( C )
(A)(B)(C)5(D)25
解析:
因为|a+b|=5,|a|=,
所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=50,
得|b|=5.
4.(2015日照一模)如图,在△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,则·的值等于( B )
(A)0(B)4
(C)8(D)-4
解析:
因为AB=BC=4,∠ABC=30°,AD是边BC上的高,
所以AD=4sin30°=2.
所以·=·(+)=·+·=·=2×4×=4.
5.(2015临沂二模)设向量a=(cosα,-1),b=(2,sinα),若a⊥b,则tan(α-)等于( B )
(A)-(B)(C)-3(D)3
解析:
因为a⊥b,
所以2cosα-sinα=0,即tanα=2,
所以tan(α-)===.
6.(2015安徽二模)如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为( C )
(A)(B)9(C)-(D)-9
解析:
因为圆心O是直径AB的中点,
所以+=2,
所以(+)·=2·,
因为与共线且方向相反,
所以当大小相等时数量积最小,
由条件知当PO=PC=时,
最小值为-2××=-.
7.(2015浙江模拟)向量m=(λ-1,1),n=(λ-2,2),
若m∥n,则λ= ;若(m+n)⊥(m-n),则λ= .
解析:
当m∥n时,2×(λ-1)-1×(λ-2)=0,
解得λ=0;
当(m+n)⊥(m-n)时,
m+n=(2λ-3,3),
m-n=(1,-1),
所以(2λ-3)+3×(-1)=0,
解得λ=3.
答案:
0 3
8.(2015海淀区模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ;|2a-b|= .
解析:
因为|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,
所以a·b-a2=2,
设a与b的夹角为θ,
所以1×6cosθ-1=2,
所以cosθ=,
因为0≤θ≤π,
所以θ=,
|2a-b|=
=
=
=2.
答案:
2
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解:
(1)由a⊥b,得a·b=0,
故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.
(2)a-b=(-2x-2,2x),
因为a∥b,所以x(2x+3)+x=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|==2.
当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|==2.
综上,|a-b|为2或2.
10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
解:
(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,
所以64-4a·b-27=61,
所以a·b=-6.
所以cosθ===-.
又0≤θ≤π,
所以θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2
=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32
=13,
所以|a+b|=.
(3)因为与的夹角θ=,
所以∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
所以S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.
能力提升练(时间:
15分钟)
11.(2015南昌市一模)已知三角形ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=
120°,=3,若P是BC边上的动点,则·的取值范围是
.
解析:
因为三角形ABC中,AB=AC,BC=4,
∠BAC=120°,
所以AB=,∠ABC=30°,
所以·=×4×(-)=-8,
因为=3,
所以=,=λ,0≤λ≤1.
因为·=(+)(+)
=+λ·++3×,
所以·=-8λ+12λ+×(-8)
=4λ-,0≤λ≤1.
所以·的取值范围是[-,].
答案:
[-,]
12.(2015泸州模拟)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,重心为G,若2a+b+3c=0,则cosB= .
解析:
因为重心为G,2a+b+3c=0,
所以2a=b=3c,
不妨设2a=b=3c=1,
则cosB==.
答案:
13(2015淮安一模)已知向量a=(1,2sinθ),b=(sin)θ+),1),
θ∈R.
(1)若a⊥b,求tanθ的值.
(2)若a∥b,且θ∈(0,),求θ的值.
解:
(1)若a⊥b,
则a·b=sin(θ+)+2sinθ=0,
所以5sinθ+cosθ=0,
所以tanθ=-.
(2)若a∥b,且θ∈(0,),
则2sinθsin(θ+)=1,
整理得sin2θ+sinθcosθ=1,
所以+sin2θ=1,
所以sin2θ-cos2θ=,
即sin(2θ-)=,
θ∈(0,),
2θ-∈(-,),
所以2θ-=,
所以θ=.
14.(2015黄山一模)已知a=(sin(θ-),-1),b=(-1,3),其中θ∈(0,),且a∥b,
(1)求sinθ的值;
(2)已知△ABC中,∠A=θ,BC=2+1,求边AC的最大值.
解:
(1)因为a∥b,
所以3sin(θ-)=1,
即sin(θ-)=.
因为θ∈(0,),
所以(θ-)∈(-,).
所以cos(θ-)=.
所以sinθ=sin(θ-+)
=sin(θ-)cos+cos(θ-)sin
=×(+)
=.
(2)在△ABC中,由正弦定理可得=,
所以==3,
所以AC=3sinB≤3,
当且仅当sinB=1,
即B=时取等号,
所以边AC的最大值是3.
精彩5分钟
1.(2015高考福建卷)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( A )
(A)13(B)15(C)19(D)21
解题关键:
解决本题关键是要抓住⊥,建立平面直角坐标系,将·表示成关于t的表达式求最值.
解析:
以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(,0)(t>0),C(0,t),P(1,4),·=(-1,-4)·
(-1,t-4)=17-(4t+)≤17-2×2=13)当且仅当t=时,取“=”),故·的最大值为13,故选A.
2.(2015兴国县一模)如图,在△OAB中,点P是线段OB及线段AB延长线所围成的阴影区域(含边界)的任意一点,且=+y,则在直角坐标平面内,实数对(x,y)所示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是 .
解题关键:
本题中△OAB可为任意三角形,故可一般问题特殊化处理,把△AOB视为等腰直角三角形,建立坐标系求解.
解析:
设OA=OB=1,OA⊥OB,以OA所在的直线为x轴,以OB所在的直线为y轴建立直角坐标系,
则有=(1,0),=(0,1),
直线AB的方程为x+y=1,
=x+y=(x,0)+(0,y)=(x,y),
实数对(x,y)所示的区域在直线y=4的下侧部分为直角边为3的等腰直角三角形,
面积S=×3×3=.
答案:
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