徐可笛智取最大长方体.docx
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徐可笛智取最大长方体
温州市摇篮杯第五届数学小论文评比
学校温州市实验中学南浦校区
班级七(21)
姓名徐可笛
指导老师陈欢
智取最大长方体
【内容摘要】
在日常生活中,纸是我们学习的重要工具,而许多制造商也都喜欢用纸盒进行包装商品。
如何更加节省纸张是一个非常重要的问题,本研究探讨了使用A4纸做出体积最大的长方体的方法,通过长方体体积的比较进行检测,整个研究过程仅依赖有限的资源和条件,研究材料就地取材,实验的精确性可能不足,但效果是科学的,并取得了有效的结果,对制造商有一定价值
【关键词】A4纸长方体实验
一、引言
【系列研究原因】
A4纸是我们学习的重要工具,生活中处处可见。
而我们用的许多纸盒都是长方体的,我的脑海中不仅冒出了许多疑问:
如果六面相连接,怎样才能用A4纸做出体积最大的长方体?
做出最大长方体的体积又是多少?
横向做与纵向做有什么不一样?
其中会有什么奥秘吗?
带着这一串的提问,我便开始了一系列的研究。
【相关资料】
长方体:
由六个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫长方体.长方体的任意一个面的对面都与它完全相同。
长方体的体积=长×宽×高,设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则它的体积V:
V=abc=Sh;因为长方体也属于棱柱的一种,所以棱柱的体积计算公式它也同样适用,长方体体积=底面积×高,V=Sh。
A4纸张大小:
A4规格为
;八开的又叫做A3,A4也叫做16开,A4尺寸就是8开的二分之一。
A4的大小也就和时尚杂志那些书的大小差不多。
二、实验前的准备
1、了解、讨论、查阅有关A4纸与长方体的资料,寻找研究的方法。
2、准备多张A4纸,以研究时进行裁剪。
【设计研究方案】
因为是要用A4纸折出最大的长方体,所以这必定会浪费一些纸张,为了节约纸张,我先在草稿本上假设一下所折出的长、宽、高,然后进行计算,比一比在怎样的条件下所乘出的长方体最大,然后按其数据在A4纸上进行裁剪。
三、研究过程
(一)【失败的经历】
我最先想到的是正方体,因为它六个面的面积都相同,而长方体只是把正方体三条边长的长度变换一下就可以了。
我先用纵向来做实验,如果是正方体,那么它在A4纸上展开的平面图是图①这样的,我将它们的长宽高进行拉伸,如图②我设a处为宽,b处为长,C处为高,那么长方形的体积便是V=abc。
我先假设宽是4厘米(a=4cm),长5厘米(b=5cm),那么高就是21(29.5-4-4)厘米[c=(29.5-4-4)=21.5]cm,
于是我算出它的体积:
于是,我又把宽设成5厘米,长6厘米,高就是(29.5-5-5)厘米,我又进行了计算,并作出了表格:
宽/厘米
长/厘米
高/厘米
体积/立方厘米
5
6
19.5
702
6
7
17.5
735
7
8
15.5
868
表中的长与宽在不停的扩大,而体积也在扩大,可是问题似乎不那么简单,于是我把它们的展开图画出来并进行裁剪。
没想到的是,长方形的展开图在纸上根本画不下。
因为我忽略了一个很重要的问题,A4纸的宽。
宽要由四个正方体的棱长,也就是长方体中长度组成,A4纸的宽只有21厘米,如果长方体两个宽和两个高的和超过了21厘米,就会和图③显示的一样超出A4纸面,根本不成立。
想了那么久,竟思考错误,这次试验以失败告终。
(二)【横向的成功】
虽然第一次的研究失败,但我得到了许多经验:
想要在足够材料的范围内,做出体积最大的长方体,如图④所示,首先确定的是,一张横向的A4纸中,纸的宽要由两个相同的线段(A,也就是宽)与一个较长的线段(C,也就是高)组成的,而长则是由两组相同的两条边组成(长的是B,也就是长;短的是A,也就是宽)。
有了这样的想法,可以得出:
长方体的长是A4纸的长除以二,减去长方体的宽[B=
],长方体的高是A4纸的宽减两个长方体的宽[C=(21-2A)],长方形的体积是长乘宽乘高[V=
],由此将长方体的宽不停的变换数据,而长与高也按着等式变换,并分别算出了他们的体积。
在这里,我将他们一一列出:
(宽*长*高=长方体体积)
……
我发现在宽是整数时,最大的长方体是宽在4厘米的时候,它所求出的体积为559立方厘米,当宽比4大或比四小时,体积都会渐渐缩小。
那么当宽是小数的时候,体积又会发生怎样的变化呢?
于是我又列出算式:
(宽*长*高=长方体体积)
……
我发现当宽是是小数时,最大的长方体是宽在4.03厘米的时候。
也就是说,用纵向的A4纸拼出的最大的长方体宽是4.03厘米,长是10.72厘米,高是12.94厘米,而它所拼出的体积是559.028704立方厘米。
根据横向A4纸所得出的数据,我将A4纸进行裁剪并粘帖,得出图⑤这样的图样,并通过老师的几何画板,得以验证我是对的。
(三)【纵向的成功】
我又进行研究纵向长方体,并前用同样的方法列出了纵向的算式,如右上方图⑥所示,首先确定的是,一张纵向的A4纸中,A4纸的长要由两个相同的线段(A,也就是宽)与一个较长的线段(C,也就是高)组成的,而A4纸的宽则是由两组相同的两条边组成(长的是B,也就是长;短的是A,也就是宽)。
这里与横向不同的是将A4纸中长与宽的内容进行了交换。
长方体的长是A4纸的宽除以二,再减去长方体的宽[B=
],高是A4纸的长减两个长方体的宽[C=(29.5-2A)],长方形的体积是长乘宽乘高[V=
],由此将长方体的宽不停的变换数据,而长与高也按着等式变换,并分别算出了他们的体积。
在这里,我也将他们一一列出:
(宽*长*高=长方体体积)
……
我发现在宽是整数时,纵向与横向长方体的情况相同,最大的长方体是宽在4厘米的时候,它所求出的体积为559立方厘米,当宽比4大或比四小时,体积都会渐渐缩小。
那么当宽是小数的时候,纵向与横向长方体体积情况又是否相同呢?
于是我又列出算式:
(宽*长*高=长方体体积)
没想到当宽是小数的时候,纵向与横向长方体体积情况是相同
的。
纵向最大的长方体宽4.03厘米,长6.47厘米,高21.44厘米,体积也是559.028704立方厘米!
我又将纵向的长方体在A4纸上进行裁剪,得出图⑦所示,并与横向的长方体进行对比。
难到这就是最大的长方体吗?
又一次通过几何画板证明,我是对的。
四、实验的初步结论
1、A4纸所做出的最大的长方体体积为559.028704立方厘米。
2、这样的长方体横向拼宽是4.03厘米,长是10.72厘米,高是12.94厘米;纵向拼的宽4.03厘米,长6.47厘米,高21.44厘米,都是559.028704立方厘米。
五、系列研究心得
数学无处不在,在生活中更是随处可见,我这次的研究只是因为无意中思考纸张而发起的,竟研究出那么多的结果。
这次研究的前提是长方体的六面相连接,那么将A4纸分成六块再粘帖连接,最大的长方体体积又会是多少呢?
新的问题又一次袭来,我又一次沉浸在这数学气息之中,也因此而更加开阔了我的视野。
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