步步高理科数学28.docx
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步步高理科数学28
§2.8 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个__c__也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
3.二分法
(1)定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
②求区间(a,b)的中点c;
③计算f(c);
(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
④判断是否达到精确度ε:
即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( √ )
(4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × )
(5)函数y=2sinx-1的零点有无数多个.( √ )
(6)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则-1 2.(2013·天津)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 当0 由y=log0.5x,y=x的图象知,在(0,1)内有一个交点,即f(x)在(0,1)上有一个零点. 当x>1时,f(x)=-2xlog0.5x-1=2xlog2x-1, 令f(x)=0得log2x=x, 由y=log2x,y=x的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即f(x)在(1,+∞)上有一个零点,故选B. 3.(2013·重庆)若a A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内 答案 A 解析 由于a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,又因f(x)是关于x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A. 4.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(-,0)B.(0,) C.(,)D.(,) 答案 C 解析 ∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0. ∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数. ∵f(-)=e-4<0,f(0)=e0+4×0-3=-2<0, f()=e-2<0,f()=e-1>0, ∴f()·f()<0. 5.已知函数f(x)=lnx-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N*),则k的值为________. 答案 3 解析 由题意知,当x>1时,f(x)单调递减,因为f(3)=ln3-1>0,f(4)=ln4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3. 题型一 函数零点的判断和求解 例1 (1)(2012·湖北)函数f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)设函数f(x)=x2+(x≠0).当a>1时,方程f(x)=f(a)的实根个数为________. 思维启迪 (1)函数零点的确定问题; (2)f(x)=f(a)的实根个数转化为函数g(x)=f(x)-f(a)的零点个数. 答案 (1)C (2)3 解析 (1)当x=0时,f(x)=0.又因为x∈[0,4], 所以0≤x2≤16.因为5π<16<, 所以函数y=cosx2在x2取,,,,时为0, 此时f(x)=0,所以f(x)=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为6. (2)令g(x)=f(x)-f(a), 即g(x)=x2+-a2-, 整理得: g(x)=(x-a)(ax2+a2x-2). 显然g(a)=0,令h(x)=ax2+a2x-2. ∵h(0)=-2<0,h(a)=2(a3-1)>0, ∴h(x)在区间(-∞,0)和(0,a)各有一个零点. 因此,g(x)有三个零点,即方程f(x)=f(a)有三个实数解. 思维升华 函数零点的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定,②零点个数的确定,③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法. (1)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1)D.(1,2) (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( ) A.多于4个B.4个 C.3个D.2个 答案 (1)B (2)B 解析 (1)∵f′(x)=2xln2+3>0, ∴f(x)=2x+3x在R上是增函数. 而f(-2)=2-2-6<0,f(-1)=2-1-3<0, f(0)=20=1>0,f (1)=2+3=5>0,f (2)=22+6=10>0, ∴f(-1)·f(0)<0.故函数f(x)在区间(-1,0)上有零点. (2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如下: 观察图象可以发现它们有4个交点, 即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点. 题型二 二次函数的零点问题 例2 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 思维启迪 可将问题转化为f(x)=0在[-1,3]上有且只有一个实数根,结合二次函数的图象特征转化题中条件. 解 令f(x)=0,则Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8 =9(a-)2+>0, 即f(x)=0有两个不相等的实数根, ∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, ∴a≤-或a≥1. 检验: (1)当f(-1)=0时,a=1,所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a≠1. (2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-. 令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故a≠-. 综上所述,a<-或a>1. 思维升华 解决二次函数的零点问题: (1)可利用一元二次方程的求根公式; (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图象列不等式组. 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围. 解 方法一 设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,x2(x1 ∴x1x2-(x1+x2)+1<0, 由根与系数的关系, 得(a-2)+(a2-1)+1<0, 即a2+a-2<0,∴-2 方法二 函数图象大致如图,则有f (1)<0, 即1+(a2-1)+a-2<0,∴-2 题型三 函数零点的应用 例3 若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,求实数a的取值范围. 思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点,判断方程的根是否存在,可以通过构造相应的函数,将其转化为函数零点的存在性问题求解,也可直接通过分离参数,转化为函数的值域问题求解. 解 方法一 (换元法) 设t=2x(t>0),则原方程可变为t2+at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令f(t)=t2+at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根t1,t2, 则解得-1 ②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根,不合题意,舍去),则f(0)=a+1<0,解得a<-1; ③当a=-1时,t=1,x=0符合题意. 综上,a的取值范围是(-∞,2-2]. 方法二 (分离变量法) 由方程,解得a=-,设t=2x(t>0), 则a=-=- =2-,其中t+1>1, 由基本不等式,得(t+1)+≥2,当且仅当t=-1时取等号,故a≤2-2. 思维升华 对于“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域来解决. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x),当-1 A.(1,5)B.(0,)∪[5,+∞) C.(0,]∪[5,+∞)D.[,1]∪(1,5] 答案 B 解析 依题意知函数f(x)的周期为2,在坐标平面内画出函数y=f(x)与函数y=loga|x|的图象,如图所示,结合图象,可知要使函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有5个零点,则有0 函数与方程思想的应用 典例: (12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0). (1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 思维启迪 (1)y=g(x)-m有零点即y=g(x)与y=m的图象有交点,所以可以结合图象求解; (2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根⇔y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同交点,所以可利用它们的图象求解. 规范解答 解 (1)方法一 ∵g(x)=x+≥2=2e, 等号成立的条件是x=e, 故g(x)的值域是[2e,+∞),[3分] 因而只需m≥2
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