高中数学 11分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案 新人教版选修23.docx
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高中数学 11分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案 新人教版选修23.docx
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高中数学11分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案新人教版选修23
§1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标:
知识与技能:
①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题;
过程与方法:
培养学生的归纳概括能力;
情感、态度与价值观:
引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式
教学重点:
分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)
教学难点:
分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解
授课类型:
新授课
课时安排:
2课时
第一课时
引入课题
先看下面的问题:
①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法?
②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法?
要解决这些问题,就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说,就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课,我们从具体例子出发来学习这两个原理.
1分类加法计数原理
(1)提出问题
问题1.1:
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?
问题1.2:
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
探究:
你能说说以上两个问题的特征吗?
(2)发现新知
分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
(3)知识应用
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A大学B大学
生物学数学
化学会计学
医学信息技术学
物理学法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
分析:
由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:
这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有5种专业选择方法,在B大学中有4种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有
5+4=9(种).
变式:
若还有C大学,其中强项专业为:
新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?
探究:
如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,在第3类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情有类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?
一般归纳:
完成一件事情,有n类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
理解分类加法计数原理:
分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
解:
从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类,m1=1×2=2条
第二类,m2=1×2=2条
第三类,m3=1×2=2条
所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条
练习
1.填空:
(1)一件工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,从中选出l人来完成这件工作,不同选法的种数是_;
(2)从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有2条,从A村经B的路线有_条.
第二课时
2分步乘法计数原理
(1)提出问题
问题2.1:
用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字,以,,…,,,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?
用列举法可以列出所有可能的号码:
我们还可以这样来思考:
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有6×9=54个不同的号码.
探究:
你能说说这个问题的特征吗?
(2)发现新知
分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
(3)知识应用
例1.设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?
分析:
选出一组参赛代表,可以分两个步骤.第l步选男生.第2步选女生.
解:
第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择;
第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择.
根据分步乘法计数原理,共有
30×24=720
种不同的选法.
探究:
如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,做第3步有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情需要个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?
一般归纳:
完成一件事情,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.
理解分步乘法计数原理:
分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.
3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
①相同点:
都是完成一件事的不同方法种数的问题
②不同点:
分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.
例2.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
解:
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步,m1=3种,
第二步,m2=2种,
第三步,m3=1种,
第四步,m4=1种,
所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6
变式
1,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
2若颜色是2种,4种,5种又会什么样的结果呢?
练习
2.现有高一年级的学生3名,高二年级的学生5名,高三年级的学生4名.
(1)从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?
村去C村,不同
(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?
第三课时
3综合应用
例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书.
①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?
③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?
【分析】
①要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理.
②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第1、2、3层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理.
③要完成的事是“取2本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机和文艺书各1本,再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这
件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.
解:
(1)从书架上任取1本书,有3类方法:
第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2类方法是从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3类方法是从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是
=4+3+2=9;
(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:
第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有2种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是
=4×3×2=24.
(3)。
例2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?
解:
从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:
第1步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种选法;第2步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N=3×2=6.
6种挂法可以表示如下:
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.区别在于:
分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事,分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事.
例3.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?
分析:
按照新规定,牌照可以分为2类,即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.
解:
将汽车牌照分为2类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:
第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;
第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法;
第3步,从剩下的24个字母中选1个,放在第3位,有24种选法;
第4步,从10个数字中选1个,放在第4位,有10种选法;
第5步,从剩下的9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;
第6步,从剩下的8个字母中选1个,放在第6位,有8种选法.
根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有
26×25×24×10×9×8=11232000(个).
同理,字母组合在右的牌照也有11232000个.
所以,共能给
11232000+11232000=22464000(个).
辆汽车上牌照.
用两个计数原理解决计数问题时,最重
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- 高中数学 11分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案 新人教版选修23 11 分类 加法 计数 原理 分步 乘法 教案 新人 选修 23