届高三必过关题4 数列1范国华.docx
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届高三必过关题4数列1范国华
高三必过关题4数列
(1)
江苏省常熟市中学范国华
考点一:
等差数列的性质
例1:
在等差数列中,若,则﹦
答案:
8
提示:
方法一:
回归到基本量、;方法二∵数列是等差数列,∴由得,.∴.
例2:
等差数列{}前n项和为,已知+-=0,=38,则_______.
答:
10
提示:
等差数列的性质.由+-=0得到或
,
例3已知命题:
“在等差数列中,若,则为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为.
答:
18
提示:
由知为定值,将用表示成
,所以,得.
例4:
设是等差数列的前n项和,若,则.
答:
提示:
得,.
例5:
等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式的解集为[0,22],则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是.
答:
11
提示:
由已知得d<0,c=0,a1=-d,令通项an=d>0,得n<11.5,于是数列的前11项为正数,故所求最大的正整数n的值是11.
例6:
设等差数列的前项和为,,当=时,取得最大值.
答:
6
提示:
法一:
由题意得,由单调性可知最大;法二:
由Sn为n的二次函数,,可得,对称轴为,所以最大.
例7:
已知两个等差数列和的前n项和分别为和,且,则使得为整数的正整数的个数是________.
答:
5个
提示:
由等差数列的前n项和及等差中项,
可得
故,为整数.
例8:
设是等差数列的前项和,已知则=__________.
答:
18
提示:
,
,
例9:
在等差数列中,若它的前n项和有最大值,则使取得最小正数的.
答:
19
提示:
等差数列前n项和有最大值,,,由,
,,
例10:
已知数列是以为公差的等差数列,是其前项和,若是数列中的唯一最大项,则数列的首项的取值范围是.
答:
提示:
中有最大项,,是数列中的唯一最大项,
例11
a11a12…a19
a21a22…a29
…………
a91a92…a99
:
给定81个数排成如右图的数表,若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列,且表中正中间一个数a55=5,则表中所有数之和为___________.
答:
405
提示:
记所有数之和为S,则..
考点二:
等比数列的性质
例12已知等比数列满足,且,则当时,.
答:
提示:
由得,,则,
故
例13:
已知成等差数列,成等比数列,则的值是__________.
答:
提示:
成等差数列,,成等比数列,,又,
例14:
在等比数列中,,前项和为,若数列()也是等比数列,则等于__________.
答:
提示:
方法一:
设等比数列的公比为,数列()也是等比数列,则成等比,代入首相和公比可得到,所以
方法二:
数列成等比,则、、成等比,得,又因为数列为等比数列,所以为常数数列
例15:
等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件,,.给出下列结论:
①;②;③的值是中最大的;④使成立的最大自然数等于,其中正确的结论是__________.
答:
①②④
提示:
由a1>1,a99a100-1>0,得,又.得,,所以①成立,,所以②成立,是Tn中最大的,所以③错误,,,所以④成立
考点三:
等差、等比数列的性质
例16:
设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,则=.
答:
提示:
当时,,,成等差,不成立,当时利用计算求解
例17:
设数列前项和为(),关于数列有下列命题:
(1)若则既是等差数列又是等比数列;
(2)若,则为等差数列;
(3)若为等比数列,则成等比数列;
(4)若则是等比数列;
其中正确的命题是.
答:
(2)(4)
提示:
(1)中,每项为0时,不是等比数列;(3)中为1,-1,1,-1是反例.
例18:
等差数列有如下性质:
若数列为等差数列,则当时,数列也是等差数列;类比上述性质,若为正项等比数列,则当 时,数列也是等比数列.
答:
提示:
类比推理.
考点四:
等差、等比数列的综合
例19:
设等差数列的前项和为,若,则的最大值为_________.
答:
提示:
解法一∵等差数列的前项和为,且
∴即∴
∴,,∴故的最大值为
解法二:
利用线性规划
例20:
已知各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为_________.
答:
提示:
,得到,从而
,再用导数法求出最小值(可先换元).
二、解答题
例21:
已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(1)求等差数列的通项公式;
(2)若,,成等比数列,求数列的前项和.
解析:
(1)设等差数列的公差为,则,,
由题意得解得或
所以由等差数列通项公式可得,或.
(2)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故,记数列的前项和为.
当时,;当时,;
当时,
.当时,满足此式.
综上,
例22:
设等差数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式及前项和公式;
(2)设数列的通项公式为,问:
是否存在正整数t,使得成等差数列?
若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
解答:
(1)设等差数列的公差为d.由已知得
即解得
故.
(2)由
(1)知.要使成等差数列,必须,即,整理得,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当时,;当时,;当时,.故存在正整数t,使得成等差数列.
例23:
已知数列和满足,,.
(1)当时,求证:
对于任意的实数,一定不是等差数列;
(2)当时,试判断是否为等比数列;
(3)设为数列的前项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得对任意的正整数,都有?
若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
解答:
(1)当时,
假设是等差数列,由得,即,
∵△=1-4=-3<0,方程无解。
故对于任意的实数,一定不是等差数列
(2)当时,.而,
所以
又
故当时,不是等比数列.
当时,是以为首项,为公比的等比数列.
(3)由(Ⅱ)知,当时,,不合要求.
所以,于是,要使成立,
则
令,当n正奇数时,;当n正偶数时,.
故的最大值为,最小值为
欲对任意的正整数n都成立,则,
即,所以.
综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有。
例24:
已知数列的前项和为
(1)若数列是等比数列,满足,是,的等差中项,求数列的通项公式;
(2)是否存在等差数列,使对任意都有?
若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
解答:
(1)设等比数列的首项为,公比为,
依题意,有即
由得,解得或.
当时,不合题意舍;
当时,代入
(2)得,所以,.
(2)假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则
方法1:
,得
对恒成立,
则
解得或此时,或.
故存在等差数列,使对任意都有.其中,
或.
方法2:
令,,得,
令,得,
①当时,得或,
若,则,,,对任意都有;
若,则,,,不满足.
②当时,得或,
若,则,,,对任意都有;
若,则,,,不满足.
综上所述,存在等差数列,使对任意都有.其中,或.
例25:
一位幼儿园老师给班上个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的分给第个小朋友.如果设分给第个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为.
(1)当,时,分别求;
(2)请用表示;令,求数列的通项公式;
(3)是否存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,如果存在,请求出所有的和,如果不存在,请说明理由.
解答:
(1)当,时,,
(2)由题意知:
即,,
累加得,又,
(3)由,得,
若存在正整数和非负整数,使得数列成等差数列,
则,即,
当时,,对任意正整数,有成等差数列
例26:
设等比数列的首项为,公比为(为正整数),且满足是与的等差中项;等差数列满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若对任意,有成立,求实数的取值范围;
(3)对每个正整数,在和之间插入个2,得到一个新数列,设是数列的前项和,试求满足的所有正整数.
解答:
(1)由题意,则,解得或
因为为正整数,所以,又,所以
(2).
记当时,得单调减,
又,所以
(3)由题意知,
则当时,,不合题意,舍去;
当时,,所以成立;
当时,若,则,不合题意,舍去;从而必是数列中的某一项,则
又,所以,
即,所以
因为为奇数,而为偶数,所以上式无解。
即当时,
综上所述,满足题意的正整数仅有.
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