角平分线模型的构造.docx
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角平分线模型的构造.docx
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角平分线模型的构造
角平分线
(I)定义:
如图2-1,如果ZAOB=/BOC,那么/
A0C=2ZAOB=2ZBOC,像OB这样,从一个角
的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,
作PB丄ON于点B,则PB=PA.可记为“图中有角平分线,可向两边作垂线”
⑵若点A是射线OM上任意一点,如图2-2(b),可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造AOPB
s/OPA.可记为“图中有角平分线,可以将图对折
(2)角平分线的性质定理
1如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角,
2在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相
等.
(3)角平分线的判定定理
1
在角的内部,如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的平分线,
2在角的内部,到一个角两边距离相等的点在这个
角的平分线上,
与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的
四大基本模型,
看,对称以后关系现”.
⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(c),可以延长AP交ON于点B,构造AAOB是等腰三角形,P是底
边AB的中点,可记为“角平分线加垂线,三线合
2-2(d),可以构造/POQ是等腰三角形,可记为“角平分线十平行线,等腰三角形必呈现”•
例1
(1)如图2-3(a),在/ABC中,/C=90。
AD平分
已知P是ZMON平分线上一点,
/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D
到直线AB的距离是(
)cm.
例2
如图2-4(a),Rt△KBC中,ZACB=90°,CD丄AB,垂足为D.AF平分/CAB,交CD于点E,交CB于点F
⑴求证:
CE=CF.
⑵将图2-4(a)中的z\ADE沿AB向右平移到△A,D,
E,的位置,使点E,落在BC边上,其它条件不变,
如图2-4(b)所示.试猜想:
BE'与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
E
D
F
A
E'
D'
图2-4(b)
M
请根据上面的学习材料,解答下列各题:
(I)如图2-5(c)所示,在△ABC中,AD是△BAC的
外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试
例3
阅读下列学习材料:
如图2-5(a)所示,0P平分ZMON,A为0M上
一点,C为0P上一点,连接AC,在射线ON上
截取OB=OA,连接BC(如图2-5(b)),易证AAOC⑵如图2-5(d)所示,AD是AABC的内角平分线,其它条件不变,试比较PC—PB与AC—AB的大小,并说明理由.
例4
如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中,/
A=90°,AB=AC,BD平分/ABC,CE丄BD,垂
足为点E,
求证:
BD=2CE.
(1)如图2-7(a),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AD上BD、AE丄CE,垂足分别为D、E,连接DE.
1
求证:
DE//BC,DE=—(AB+BC+AC);
2
A
图2-7(a)
⑵如图2-7(b),BD、CE分别是AABC的内角平
分线,其它条件不变;
⑶如图2-7(c),BD为△ABC的内角平分线,CE
为△ABC的外角平分线,其它条件不变,
则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下,DE与BC
还平行吗?
它与△ABC三边又有怎样的数量关
系?
请写出你的猜测,并对其中的一种情况进行证明。
变式
如图2-8,在Z\ABC中,AB=3AC,ZBAC的平分
线交BC于点D,过点B作BE丄AD,垂足为E,求证:
AD=DE
⑷如图2-9(d),BD平分/ABC,CD平分外角/
ACG.DE//BC交AB于点E,交AC于点F线段EF
与BE、CF有什么关系?
并说明理由.
例6
如图2-9(a),AB=AC,BD,CD分别平分/ABC,
ZACB.问:
(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形?
⑵过D点作EF//BC,如图2-9(b),交AB于点E,
交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形?
⑶如图2-9(c),若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?
直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
⑸如图2-9(e),BD、CD为外角/CBM、/BCN的平分线,DE//BC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系?
例7如图2-10(a)所示,已知△ABC中,AC=BC,
ZC=90°,AD平分/CAB,
求证:
AB=ACD
变式2
如图2-12,已知/△ABC中,AB=AC,ZA=IOO
BD平分/ABC,
求证:
BC=BD+AD.
变式1如图2-11所示,已知△ABC中,AB=AC,
ZA=108°,BD平分/ABC.
求证:
BC=AB+CD.
图2-11
⑵如图2-13(c),在SBC中,如果/ACB不是直
⑵如图2-14(b),在AABC中,BD、CD分别平分
ZABC和/ACB,DE//AB,FD//AC.,BC=6,求△
DEF的周长,
2.已知:
如图2-15,ZBAD=/CAD,AB>AC,
CD丄AD于点D.H是BC中点.
3、已知如图2-16,四边形ABCD中,/B+=
D=180°,BC=CD.
求证:
AC平分/BAD.
4.如图2-17,△XBC的外角/ACD的平分线CP与
内角/ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP,若/BPC=40。
求/CAP的度数.
图2-18
6.在平行四边形ABCD中,/BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
⑴在图2-19(a)中证明CE=CF;
5.
已知:
如图2-18,在四边形中,BC>AB,
AD=CD,BD平分/ABC.
求证:
/A+ZC=180°
⑵若/ABC=90°,G是EF的中点(如图2-19(b),
直接写出/BDG的度数;
F
(3)若ZABC=120°,FG//CE,FG=CE,分别连接
DB、DG(如图2-19(c),求/BDG的度数.
7.已知:
如图2-20,在△ODC中,ZD一90°,EC
是ZDCO的角平分线,且OE=CE,过点E作EF
丄OC交OC于点F.猜想:
线段EF与OD之间的
8.已知:
如图2-21,在四边形ABCD中,AB+BC
=CD+DA,ZABC的外角角平分线与/CDA的外
角平分线交于点P,
关系,并证明.
O
求证:
/APB=/CPD.
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