教育资料第一章 122 第2课时学习专用.docx
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教育资料第一章122第2课时学习专用
第2课时 直线与平面平行
学习目标
1.掌握直线与平面的三种位置关系,会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题.
知识点一 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
定义
图形语言
符号语言
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线与平面相交
有且只有一个公共点
a∩α=A
直线与平面平行
没有公共点
a∥α
知识点二 直线与平面平行的判定
思考1 如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
答案 平行.
思考2 如图,平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗?
直线a与平面α相交吗?
答案 由于直线a∥b,所以两条直线共面,直线a与平面α不相交.
梳理 直线与平面平行的判定定理
文字语言
符号表示
图形表示
如果不在一个平面内一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
⇒l∥α
知识点三 直线与平面平行的性质
思考1 如图,直线l∥平面α,直线a⊂平面α,直线l与直线a一定平行吗?
为什么?
答案 不一定,因为还可能是异面直线.
思考2 如图,直线l∥平面α,直线l⊂平面β,平面α∩平面β=直线m,满足以上条件的平面β有多少个?
直线l,m有什么位置关系?
答案 无数个,l∥m.
梳理 直线与平面平行的性质定理
文字语言
符号表示
图形表示
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行
⇒l∥m
1.若直线l上有两点到平面α的距离相等,则l∥平面α.( × )
2.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行.( × )
3.两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.( × )
类型一 直线与平面平行的判定
例1 已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ(如图).求证:
PQ∥平面CBE.
证明 方法一 作PM∥AB交BE于点M,作QN∥AB交BC于点N,连接MN,如图,
则PM∥QN,
=
,
=
.
∵EA=BD,AP=DQ,
∴EP=BQ.
∴
=
,
又AB=CD,∴PM=QN,
∴四边形PMNQ是平行四边形,
∴PQ∥MN.
又PQ⊄平面CBE,
MN⊂平面CBE,
∴PQ∥平面CBE.
方法二 如图所示,连接AQ并延长交BC的延长线于K,连接EK.
∵AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴
=
,
又AD∥BK,
∴
=
,∴
=
,
∴PQ∥EK,
又PQ⊄平面BCE,EK⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.
反思与感悟 证明直线与平面平行的两种方法
(1)定义法:
证明直线与平面没有公共点,一般直接证明较为困难,往往借助于反证法来证明.
(2)定理法:
平面外一条直线与平面内的一条直线平行.
跟踪训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:
EF∥平面AD1G.
证明 连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点知,EF∥BC1.
又AB綊A1B1綊D1C1,
所以四边形ABC1D1是平行四边形,
所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.
又EF⊄平面AD1G,AD1⊂平面AD1G,
所以EF∥平面AD1G.
类型二 线面平行的性质的应用
例2 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:
截面MNPQ是平行四边形.
证明 因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC,
所以由线面平行的性质定理知,AB∥MN.
同理AB∥PQ,
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
引申探究
1.若本例条件不变,求证:
=
.
证明 由例1知:
PQ∥AB,∴
=
.
又QM∥DC,∴
=
,
∴
=
.
2.若本例中添加条件:
AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积.
解 由例1知,四边形MNPQ是平行四边形,
∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM,∴四边形MNPQ是矩形.
又BP∶PD=1∶1,∴PQ=5,QM=4,
∴四边形MNPQ的面积为5×4=20.
反思与感悟
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
跟踪训练2 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段FE的长度等于________.
答案
解析 ∵EF∥平面AB1C,又平面ADC∩平面AB1C=AC,EF⊂平面ADC,∴EF∥AC,∵E是AD的中点,
∴EF=
AC=
×2
=
.
类型三 线面平行的综合应用
例3 如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PBC∩平面PAD=l.
(1)求证:
l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?
试证明你的结论.
(1)证明 因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,且BC⊂平面PBC,所以BC∥l.
(2)解 平行.证明如下:
如图,取PD的中点E,连接AE,NE,
可以证得NE∥AM且NE=AM,
所以四边形MNEA是平行四边形,所以MN∥AE.
又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
反思与感悟 判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
线线平行
线面平行
线线平行.
跟踪训练3 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证:
GH∥平面PAD.
证明 如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是AC的中点,
又M是PC的中点,∴PA∥MO,
而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,
∴PA∥平面BMD,
又∵PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,∴PA∥GH.
又PA⊂平面PAD,GH⊄平面PAD,
∴GH∥平面PAD.
1.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知.EF与平面AB′,平面BC′,平面CD′,平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
2.梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行B.平行或异面
C.平行或相交D.异面或相交
答案 B
解析 ∵
⇒CD∥α,
∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
3.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 平行
解析 ∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ACE,AC⊂平面ACE,∴A1C1∥平面ACE.
4.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=______.
答案
解析 由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.
因为a∥平面α,a⊂平面β,所以EF∥a.
所以
=
.
所以EF=
=
=
.
5.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别是AB,PD的中点.
求证:
AF∥平面PCE.
证明 如图,取PC的中点M,连接ME,MF,则FM∥CD且FM=
CD.
又∵AE∥CD且AE=
CD,
∴FM綊AE,即四边形AFME是平行四边形,
∴AF∥ME.
又∵AF⊄平面PCE,EM⊂平面PCE,
∴AF∥平面PCE.
1.求证两直线平行有两种常用的方法:
一是应用基本性质4,证明时要充分应用好平面几何知识,如平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等.二是证明在同一平面内,这两条直线无公共点.
2.求证角相等也有两种常用的方法:
一是应用等角定理,在证明的过程中常用到基本性质4,注意两角对应边方向的讨论.二是应用三角形全等或相似.
3.利用直线与平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
4.利用线面平行的性质定理解题的步骤:
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.
(3)确定交线,由性质定理得出结论.
一、选择题
1.若直线a,b是异面直线,a⊂β,则b与平面β的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.b⊂βD.平行或相交
答案 D
解析 ∵a,b异面,且a⊂β,∴b⊄β,∴b与β平行或相交.
2.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )
A.GH∥SA
B.GH∥SD
C.GH∥SC
D.以上均有可能
答案 B
解析 因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行,故选B.
3.P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论:
①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由题意知,OM∥PD,则OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.
4.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线( )
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,在平面α内
C.有两条,不一定都在平面α内
D.有无数条,不一定都在平面α内
答案 B
解析 如图所示,∵l∥平面α,P∈α,
∴直线l与点P确定一个平面β,α∩β=m,
∴P∈m,∴l∥m且m是唯一的.
5.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α相交但不垂直
D.l∥α或l⊂α
答案 D
解析 l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等.l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;l⊥α时,直线l上有两个点到α的距离相等;l与α斜交时,也只能有两点到α的距离相等.
6.如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且
=m,若AE∥平面DB1C,则m的值为( )
A.
B.1C.
D.2
答案 B
解析 如图,取CB1的中点G,连接GE,DG,当m=1时,AD=GE=
BB1且AD∥GE,∴四边形ADGE为平行四边形,则AE∥DG,可得AE∥平面DB1C.
7.如图所示,四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面,若
=
=
,则与平面EFGH平行的直线有( )
A.0条B.1条C.2条D.3条
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 C
解析 ∵
=
,
∴EF∥AB.
又EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH,
∴AB∥平面EFGH.
同理,由
=
,
可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条.
二、填空题
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过点A,E,C的平面的位置关系是________.
答案 平行
解析 如图,连接BD,与AC交于点O,连接OE.
∵OE为△BDD1的中位线,∴BD1∥OE.
又BD1⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,
∴BD1∥平面AEC.
9.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN=________.
答案 5
解析 ∵AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,∴AB∥MN.
又M是AC的中点,∴MN是梯形ABDC的中位线,故MN=
(AB+CD)=5.
10.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是________.
答案 平行
解析 ∵AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,AC⊄平面A1B1C1D1,
智慧树《管理学》答案∴AC∥平面A1B1C1D1.
教科版五年级下册科学连线题∵平面ACB1∩平面A1B1C1D1=l,
教学质量综合测评∴AC∥l.
11.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
改革开放的历史性标志是()。
答案 6
解析 如图所示,与平面ABB1A1平行的直线有6条:
D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.
有限空间作业试题三、解答题
12.如图,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,P是线段CD的中点,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE.若存在,指出点M的位置,并证明你的结论.
新叶阅读答案解 如图,存在点M,当点M是线段AE的中点时,
新教师听公开课PM∥平面BCE.
取BE的中点N,连接CN,MN,
植物细胞教学设计第二课时则MN綊
AB綊PC,
所以四边形MNCP为平行四边形,所以PM∥CN.
教案的教学反思怎么写因为PM⊄平面BCE,CN⊂平面BCE,
探究学习法所以PM∥平面BCE.
13.如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
求证:
BD∥平面FGH.
证明 如图,连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF綊GC,
所以四边形DFCG为平行四边形,
则O为CD的中点,
又H为BC的中点,所以OH∥BD.
又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
四、探究与拓展
14.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案 B
解析 ①如图(ⅰ),连接BC,则平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP,所以①正确.②如图(ⅱ),连接底面正方形对角线,并取其中点O,连接ON,则ON∥AB,所以AB与平面PMN相交,不平行,所以②不满足题意.③AB与平面PMN相交,不平行,所以③不满足题意.④因为AB∥NP,所以AB∥平面MNP.所以④正确.
故答案为①④.
15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD.AB=4.BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.
证明:
直线EE1∥平面FCC1.
证明 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
取A1B1的中点F1,连接A1D,C1F1,CF1,FF1.
∵FF1∥BB1∥CC1,
∴F1F⊂平面FCC1,
∴平面FCC1即为平面C1CFF1.
∵AB=4,CD=2且AB∥CD,∴CD綊A1F1,
∴A1F1CD为平行四边形,
∴CF1∥A1D.
又E,E1分别是棱AD,AA1的中点,
∴EE1∥A1D,∴CF1∥EE1,
又EE1⊄平面FCC1,CF1⊂平面FCC1,
∴直线EE1∥平面FCC1.
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