第五章平行线与相交线知识点+题型分类练习汇编.docx

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第五章平行线与相交线知识点+题型分类练习汇编

相交线与平行线知识点整理

同一平面内，两条不重合的直线之间的位置关系只有两种：

①相交②平行（垂直是相交的一种特殊情况）

相交线

知识点1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

角的名称

特征

性质

相同点

不同点

对顶角

①两条直线相交所成的角

②有一个公共顶点

③没有公共边

对顶角相等

都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们都是成对出现。

对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个角的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。

邻补角

①两条直线相交面成的角

②有一个公共顶点

③有一条公共边

邻补角互补

注意点：

（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

但他们是互补的角。

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

知识点2、垂线

⑴定义：

两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

如图，当=90°时，⊥。

垂足：

两条互相垂直的直线的交点叫垂足。

符号语言记作：

符号语言：

∵∠COB=90°

∴AB⊥CD

⑵垂线性质1：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

（4）垂线的画法：

（5）点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

（6）如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

注意：

垂线是直线，垂线段是线段，点到直线的距离是一个数量，而不是图形。

知识点3、三线八角

如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图.

注：

“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成

同位角、内错角、同旁内角的定义：

在“三线八角”中，如上图，

（1）同位角：

像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：

像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：

像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

注：

（1）同位角，内错角，同旁内角是指具有特殊位置关系的两角，是成对出现的。

同位角特征：

截线同旁，被截两线的同方向

内错角特征：

截线两旁，被截两线之间

同旁内角特征：

截线同旁，被截两线之间

（2）“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

（3）“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角

反思：

两角中共线的一边是截线，两角的另一边即为被截的两条直线。

知识点4、平行线

1、平行线的概念：

同一平面内，两条直线若没有公共点（即交点），那么这两条直线平行。

表示方法：

2、平行线的画法：

借助三角板和直尺。

具体略。

3、平行公理――平行线的存在性与唯一性经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

　如左图所示，∵,　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

5、两直线平行的判定方法

方法一：

①同位角相等，两直线平行；

方法二：

②内错角相等，两直线平行；

方法三：

③同旁内角互补，两直线平行。

一个重要结论：

同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

知识点5、命题

判断一件事情的语句叫命题。

命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。

例如：

“明天可能下雨。

”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

（填“是”或“不是”）

1命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。

假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。

2逆命题：

将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。

注：

原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。

例如：

“对顶角相等”是个真命题，但其逆命题“_____________________________”却是个假命题。

不论是真命题还是假命题，都要学会能非常熟练地把一个命题写成“如果……那么……”的形式。

例:

把“等角的补角相等”写成“如果……那么……”的形式为:

____________________________________。

再例：

把“三角形的内角和等于180度。

”写成包含题设与结论的形式：

______________________________。

知识点6、平移变换

1、相关定义

　①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

　②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

　③连接各组对应点的线段平行且相等

2、平移的特征：

　①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

　②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

平行线与相交线相关题型

题型一、相关概念考查

1.判断下列说法的正误。

（1）对顶角相等；

（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补； （4）互补的角是邻补角；

（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7）同旁内角互（8）两直线不相交就平行；

（9）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（10）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（11）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

2.下列说法正确的是（）

A.相等的角是对顶角B.直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离

C.两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

3.在下列语句中，正确的是（）

A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B.在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条

C.在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D.在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离

4.下列说法中，错误的有（）

①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③若a∥b，b∥c，那么a∥c;④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种

A.3个B.2个C.1个D.0个

5.下列说法中错误的个数是（）

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种（4）不相交的两条直线叫做平行线

（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下列说法中，正确的是（）

A.图形的平移是指把图形沿水平方向移动B.平移前后图形的形状和大小都没有发生改变

C.“相等的角是对顶角”是一个真命题D.“直角都相等”是一个假命题

7.下列句子中不是命题的是（  ）

A.两直线平行，同位角相等  B.直线AB垂直于CD吗？

C.若︱a︱=︱b︱，则a2=b2 D.同角的补角相等

题型二、对顶角、邻补角的判断

1.如图，直线AB、CD相交于点O，对顶角有_______对，它们分别是______，∠AOD的邻补角是________。

2.如图，直线l1，l2和l3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_____的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_______，与∠5互补的角有_______。

3.如图直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是_______，∠COF的邻补角是________，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______。

第1题第2题第3题

4.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

5.判断下列图中是否存在对顶角.

6.两条直线相交，有_____对对顶角，三条直线两两相交，有_____对对顶角.

7.图中是对顶角的是（）．

8.如图，∠1的邻补角是（）

A.∠BOCB.∠BOC和∠AOFC.∠AOFD.∠BOE和∠AOF

9.下列说法中，正确的个数为（）

（1）有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；

（2）相等的两个角是对顶角；

（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；

（5）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角互为对顶角；

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.下列四个说法中，正确的说法有（）

⑴相等且互补的两个角都是直角；⑵两个角互补，则它们的角平分线的夹角为直角；

⑶两个角互为邻补角，则它们角平分线的夹角为直角；⑷一个角的两个邻补角是对顶角；

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（）.

A.7B.6C.5D.4

12.已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（）.

A.对顶角B.相等但不是对顶角C.邻补角D.互补但不是邻补角

13.作图题：

请画出∠ABC的对顶角请画出∠ABC的邻补角

类型三、对顶角及了邻补角相关计算

1.∠A的余角是20°，那么∠A等于________度.

2.∠A与∠B互补，如果∠A=36°，那么∠B的度数为_________.

3.如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=________.

4.如图，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______

5.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB⊥CD，∠1=27°，则∠2=_______，∠FOB=__________。

6.如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE为_________

第3题第4题第5题第6题

7.如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°，∠1和∠2互为_______角；∠1和∠4互为_______角；∠2和∠3互为_____角；

8.邻补角的平分线构成°角，对顶角的平分线构成°角。

9.如图，直线AB、CD、EF相交于O，若∠1=20°，∠2=40°，则∠3=，∠4=，∠5=，∠6=；

10.如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=75°，∠2=68°，则∠COE=°。

11．如图，三条直线交于同一点，∠1：

∠2：

∠3=2：

3：

1，则∠4=　　．

第7题第9题第10题第11题

12.一个角的余角比它的补角的

少20°.则这个角为（　　　）

A.30°　　　　B.40°　　　　C.60°　　　　D.75°

13.如图∠EOF=90°，∠EOD和∠FOH互补，求∠DOH的度数。

14.如图直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3∶∠2=8∶1，求∠AOC的度数

15.如图，直线AB、MN、PQ相交于点O，∠BOM是它的余角的2倍，∠AOP=2∠MOQ，且有∠AOG=900。

求∠POG的度数。

16.如图∠AMB=90°，∠CMD=90°，ME、MF分别是射线MA、MD的反向延长线

⑴图中哪些角是∠EMF的余角？

为什么？

⑵∠EMF与∠BMC是否相等？

为什么？

17.如图，3

1＝2

3，求

1，

2，

3，

4的度数。

18.如图，直线a，b相交，

（1）若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数

（2）若∠2比∠1大40°,求∠4的度数

19.如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于O点，∠1＝40°,∠2=75°，则∠3等于多少度？

20.如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOE=40°，求∠AOC和∠BOC的度数

21.如图,直线AB、CD相交于点O.

（1）若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.

（2）若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.毛

题型四、垂线专项练习

1.如图1所示,下列说法不正确的是（）毛

A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段

2.如图1所示,能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

3.下列说法正确的有（）

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是（）

A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm

5.到直线L的距离等于2cm的点有（）

A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定

6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离（）

A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm

7.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是____,记作_____,此时,∠AOD=∠_____=∠____=∠____=90°.

123

8.过一点有且只有________直线与已知直线垂直.

9.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.

10.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离.

11.如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.

12.如图所示,村庄A要从河流L引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.

13.如图所示,O为直线AB上一点,∠AOC=

∠BOC,OC是∠AOD的平分线.

（1）求∠COD的度数;

（2）判断OD与AB的位置关系,并说明理由.

14.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄,设汽车行驶到P点位置时,离村庄M最近,行驶到Q点位置时,离村庄N最近,请你在AB上分别画出P,Q两点的位置.

题型五、内错角、同位角、同旁内角判断

1.如图,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是（　　）

A.同位角B.内错角C.对顶角D.同旁内角

2.如图,与∠α构成同旁内角的角有　（　　）

A.1个B.2个C.4个D.5个

3.如图（）是内错角

A.∠1和∠2B.∠3和∠4C.∠2和∠3D.∠1和∠4

4.如图，图中的同位角的对数是（）

A.4B.6C.8D.12

第1题第2题第3题第4题

5.如图，∠1与∠2是同位角的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下列说法错误的是（）

A.同位角不一定相等B.内错角相等C.对顶角相等D.同位角相等,两直线平行。

7.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）

A.②③B.①②③C.①②④D.①④

8.如图，∠1和∠4是被所截得的角，

 ∠3和∠5是被所截得的角，

∠2和∠5是被所截得的角，

AC、BC被AB所截得的同旁内角是

9.如图，AB、DC被BD所截得的内错角是，

AB、CD被AC所截是的内错角是， 

AD、BC被BD所截得的内错角是， 

AD、BC被AC所截得的内错角是。

10.如图③，按角的位置关系填空：

∠A与∠1是；∠A与∠3是；∠2与∠3是。

11.如图，是∠1和∠6的同位角,是∠1和∠6的内错角,是∠6的同旁内角.

12.如图,在∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠B,∠D,∠ACE中,与∠D是同位角的是；∠2与∠4是被所截得的角.

13.如图,三角形ABC中共有________对同旁内角,四

边形ABCD中共有________对同旁内角,五边形ABCDE中共有________对同旁内角.

第10题第11题第12题第13题

14.写出图中数字表示的角哪些是同位角?

哪些是内错角?

哪些是同旁内角?

15.如图,直线a,b被直线c所截,已知∠1=∠5,那么∠3与∠7的关系如何?

请说明理由.

16.如图,在平面中画一条直线,使得与∠A成同旁内角的角有3个,你

能画出一条直线,

使得与∠A成同旁内角的角最多吗?

最多有几个?

17.如图中,共有几对内错角?

这几对内错角分别是哪两条直线被哪一条直线所截构成的?

18.如图,直线AB、CD被EF所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数是多少？

题型六、平行线判断

1.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（）

A.∠3=∠4B.∠1=∠2C.∠D=∠DCED.∠D+∠ACD=180°

2.如图，已知：

如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是（）

A.AD∥BCB.AB∥CDC.∠3=∠4D.∠A=∠C

3.如图，下列条件中，不能推断AB∥CD的是（）

A.∠B=∠5B.∠1=∠2C.∠3=∠4D.∠B+∠BCD=180°

4.如图,已知：

∠1＝∠2,则有（）

A.AB∥CDB.AE∥DFC.AB∥CD且AE∥DFD.以上都不对

第1题第2题第3题第4题

5.如图，已知：

两直线AB，CD被第三条直线EF所截，∠1＝70°，下列说法中，不正确的是（）

A.若∠3＝70°，则AB∥CDB.若∠4＝70°，则AB∥CD

C.若∠5＝70°，则AB∥CDD.若∠4＝110°，则AB∥CD

6.如图，已知直线a、b被直线c所截，给出四个条件:

（1）∠1=∠2，

（2）∠3=∠6，（3）∠4+∠7=180°，

（4）∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是（）

A.

（1）（3）B.

（2）（4）C.

（1）（3）（4）D.

（1）

（2）（3）（4）

第5题第6题

7.下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　）

8.如图，根据下列条件可判断哪两条直线平行，并说明理由。

（1）∠1=∠2

（2）∠3=∠A（3）∠A+∠2+∠4=180°

9.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.

10.设a、b、c为平面上三条不同直线，

a）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是_________；

b）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是_________；

c）若a∥b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．

9.如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系。

解：

AB∥CD，理由如下：

过点E作∠BEF=∠B

∴AB∥EF（）

∵∠BED=∠B+∠D（已知）

且∠BED=∠BEF+∠FED

∴∠FED=∠D

∴CD∥EF（）

∴AB∥CD（）

7.如图,已知直线a、b被直线c所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据:

（1）∵a∥b,∴∠1=∠3（）;

（2）∵∠1=∠3,∴a∥b（）;

（3）∵a∥b,∴∠1=∠2（）;

（4）∵a∥b,∴∠1+∠4=180º（）

（5）∵∠1=∠2,∴a∥b（）;

（6）∵∠1+∠4=180º,∴a∥b（）.

8.已知：

如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：

BE∥CF

证明：

∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴==90°（）

∵∠1=∠2（已知）

∴=（等式性质）

∴BE∥CF（）

7、已知：

如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。

求证：

∠ACD=∠B。

证明：

∵AC⊥BC（已知）

∴∠ACB=90°（）

∴∠BCD是∠ACD的余角

∵∠BCD是∠B的余角（已知）

∴∠ACD=∠B（）

8、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：

AD∥BE。

证明：

∵AB∥CD（已知）

∴∠4=∠（）

∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠（）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（）

即∠=∠

∴∠3=∠（）

∴AD∥BE（）

11.如图，已知：

AB∥CD,∠1=∠4,求证：

BC∥DE

12.如图，已知：

DC∥OB,∠D+∠O=180°,求证：

OA∥DF

13.如图，已知：

∠1=∠2，∠3+∠4=180º,试猜想a、c平行吗？

请说明你的理由。

13.如图，已知：

CD∥AB,∠1=∠2,求证：

BD∥CD

14.如图，已知：

∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：

AB∥CD．

15.如图，已知：

∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，求证：

DF∥BE．

16.如图，已知：

∠1=∠2，∠3=100°，∠B=80°．求证：

EF∥CD．

15.如图，已知：

CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：

AB∥CE

16.如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F,∠CFE=∠E。

求证：

AD∥BC。

题型七、平行线性质应用

1.已知：

如图，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（　B　）