含有一个量词的命题的否定.docx
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含有一个量词的命题的否定
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定,并归纳写全称命题否定的方法.
(1)所有矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)∀x∈R,x2-2x+1≥0.
答案
(1)将量词“所有”换为:
“存在一个”然后将结论否定,即“不是平行四边形”,所以原命题的否定为:
“存在一个矩形不是平行四边形”;用同样的方法可得
(2)(3)的否定:
(2)存在一个素数不是奇数;
(3)∃x0∈R,x-2x0+1<0.
梳理 写全称命题的否定的方法:
(1)更换量词,将全称量词换为存在量词;
(2)将结论否定.
对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:
全称命题p:
∀x∈M,p(x),它的否定綈p:
∃x0∈M,綈p(x0).
全称命题的否定是特称命题.
知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定,并归纳写特称命题否定的方法.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)∃x0∈R,x+1<0.
答案
(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”,然后将结论“实数的绝对值是正数”否定,即“实数的绝对值不是正数,于是得原命题的否定为:
“所有实数的绝对值都不是正数”;同理可得
(2)(3)的否定:
(2)所有平行四边形都不是菱形;
(3)∀x∈R,x2+1≥0.
梳理 写特称命题的否定的方法:
(1)将存在量词改写为全称量词,
(2)将结论否定.
对于含一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:
特称命题p:
∃x0∈M,p(x0),它的否定綈p:
∀x∈M,綈p(x).特称命题的否定是全称命题.
(1)命题綈p的否定为p.(√)
(2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.(√)
(3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(×)
类型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)数列:
1,2,3,4,5中的每一项都是偶数;
(3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解
(1)其否定:
存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)其否定:
数列:
1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.
(3)其否定:
∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
(4)其否定:
存在被5整除的整数,末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:
(1)p:
每一个四边形的四个顶点共圆;
(2)p:
所有自然数的平方都是正数;
(3)p:
任何实数x都是方程5x-12=0的根;
(4)p:
对任意实数x,x2+1≥0.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
解
(1)綈p:
存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(2)綈p:
有些自然数的平方不是正数.
(3)綈p:
存在实数x0不是方程5x0-12=0的根.
(4)綈p:
存在实数x0,使得x+1<0.
类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定,并判断其真假.
(1)p:
∃x0∈R,2x0+1≥0;
(2)q:
∃x0∈R,x-x0+<0;
(3)r:
有些分数不是有理数.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解
(1)綈p:
∀x∈R,2x+1<0,綈p为假命题.
(2)綈q:
∀x∈R,x2-x+≥0.
∵x2-x+=2≥0,∴綈q是真命题.
(3)綈r:
一切分数都是有理数,綈r是真命题.
反思与感悟 特称命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:
∃x0∈M,p(x0)成立⇒綈p:
∀x∈M,綈p(x)成立.
跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)∃x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
解
(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“∀x,y∈Z,x+y≠3”.当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题.
类型三 含量词的命题的应用
例3 已知命题“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为:
“存在x0∈R,x+ax0+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,
借助二次函数的图象易知:
Δ=a2-4>0,
解得a<-2或a>2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
引申探究
把本例中“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
解 由题意知Δ=a2-4≤0,解得a∈[-2,2].
故a的取值范围为[-2,2].
反思与感悟 含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
(1)对于全称命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(a<f(x)min).
(2)对于特称命题“∃x0∈M,a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).
(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
考点 含有一个量词的命题
题点 由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围
解
(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4,+∞).
1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.∀x∈R,|x|+x2<0B.∀x∈R,|x|+x2≤0
C.∃x0∈R,|x0|+x<0D.∃x0∈R,|x0|+x≥0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
2.∃m0,n0∈Z,使得m=n+2017的否定是( )
A.∀m,n∈Z,使得m2=n2+2017
B.∃m0,n0∈Z,使得m≠n+2017
C.∀m,n∈Z,有m2≠n2+2017
D.以上都不对
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
3.命题“∀x∈R,x>sinx”的否定是________________.
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ∃x0∈R,x0≤sinx0
4.由命题“存在x0∈R,使-m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数a的值是________.
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
答案 1
解析 其否定为:
∀x∈R,使e|x-1|-m>0,
且为真命题.m<e|x-1|.
只需m<(e|x-1|)min=1.故a=1.
5.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)∃x0∈R,x+2x0+2=0;
(2)p:
所有的正方形都是菱形;
(3)p:
至少有一个实数x0,使x+1=0.
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题的否定
解
(1)綈p:
∀x∈R,x2+2x+2≠0,真命题.
由为∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立.
(2)綈p:
至少存在一个正方形不是菱形,假命题.
因为所有的正方形都是菱形.
(3)綈p:
∀x∈R,x3+1≠0,假命题.
因为当x=-1时,x3+1=0.
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作:
第一步,将全称量词改写成存在量词,即将“任意”改为“存在”;第二步,将结论加以否定,如:
将“≥”否定为“<”.
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作:
第一步,将存在量词改写成全称量词;第二步,将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词,要注意判断.
一、选择题
1.下列命题中,真命题的个数是( )
①存在实数x0,使得x+2=0;②有些角的正弦值大于1;③有些函数既是奇函数又是偶函数.
A.0B.1C.2D.3
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
答案 B
解析 x2+2≥2,故①是假命题;∀x∈R,|sinx|≤1,故②是假命题;f(x)=0既是奇函数又是偶函数,所以③是真命题.故选B.
2.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.存在x0∈R,x-x+1≤0
B.存在x0∈R,x-x+1≥0
C.存在x0∈R,x-x+1>0
D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 C
解析 由题意知,原命题为全称命题,故其否定为特称命题,所以否定为“存在x0∈R,x-x+1>0”.故选C.
3.已知命题p:
存在a∈(-∞,0),a2-2a-3>0,那么命题p的否定是( )
A.存在a∈(0,+∞),a2-2a-3≤0
B.存在a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0
C.对任意a∈(0,+∞),a2-2a-3≤0
D.对任意a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 D
解析 易知綈p:
对任意a∈(-∞,0),a2-2a-3≤0,故选D.
4.已知p:
∀x∈R,ax2+2x+3>0,如果綈p是真命题,那么a的取值范围是( )
A.a<B.0<a≤C.a≤D.a≥
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的真假求参数的取值范围
答案 C
解析 易知綈p:
∃x0∈R,ax+2x0+3≤0,
显然当a=0时,满足题意;
当a>0时,由Δ≥0,得0<a≤;
当a<0时,满足题意.
所以a的取值范围是.
5.下列命题中,假命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,lgx0<1D.∃x0∈R,tanx0=
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