《定积分与微积分基本定理》教案.docx
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《定积分与微积分基本定理》教案
定积分与微积分基本定理
适用学科
数学
适用年级
高三
适用区域
新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
定积分的概念与几何意义
微积分基本定理
求定积分
定积分的简单应用
教学目标
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
教学重点
微积分基本定理
求定积分
教学难点
微积分基本定理
教学过程
一、复习预习
1.导数的概念
2.导数与函数单调性、极值、最值的关系
二、知识讲解
考点1定积分的概念
在f(x)dx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
考点2定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).
②一般情况下,定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
考点3定积分的基本性质
①kf(x)dx=kf(x)dx.
②[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.
考点4微积分基本定理
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x),即
f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a).
三、例题精析
【例题1】
【题干】求下列定积分:
(1)|x-1|dx;
(2)dx.
【解析】
(1)|x-1|=
故|x-1|dx=(1-x)dx+(x-1)dx
=+
=+=1.
(2)dx
=|sinx-cosx|dx=(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx
=(sinx+cosx)+(-cosx-sinx)
=-1+(-1+)=2-2.
【例题2】
【题干】 已知函数f(x)=(cost-sint)dt(x>0),则f(x)的最大值为________.
【答案】-1
【解析】因为f(x)=sindt
=cos=cos-cos
=sinx+cosx-1=sin-1≤-1,
当且仅当sin=1时,等号成立.
【例题3】
【题干】
如图,曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由⇒x=或
x=-(舍),所以阴影部分面积
S=dx+dx
=+=.
【例题4】
【题干】一物体在力F(x)=(单位:
N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米,力F(x)做功为( )
A.44J B.46J
C.48JD.50J
【答案】B
【解析】力F(x)做功为10dx+(3x+4)dx
=10x+
=20+26=46.
四、课堂运用
【基础】
1.dx=( )
A.lnx+ln2x B.-1
C.D.
解析:
选C dx==.
2.设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)dx=3f(x0),则x0等于( )
A.±1B.
C.±D.2
解析:
选C f(x)dx=(ax2+b)dx==9a+3b,
则9a+3b=3(ax+b),
即x=3,x0=±.
3.以初速度40m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为( )
A.mB.m
C.mD.m
解析:
选A v=40-10t2=0,t=2,(40-10t2)dt
==40×2-×8=(m).
【巩固】
4.设a=sinxdx,则曲线y=f(x)=xax+ax-2在点(1,f
(1))处的切线的斜率为________.
解析:
∵a=sinxdx=(-cosx)=2,
∴y=x·2x+2x-2.
∴y′=2x+x·2xln2+2.
∴曲线在点(1,f
(1))处的切线的斜率k=y′|x=1=4+2ln2.
答案:
4+2ln2
5.(2013·孝感模拟)已知a∈,则当(cosx-sinx)dx取最大值时,a=________.
解析:
(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)
=sina+cosa-1
=sin-1,
∵a∈,∴当a=时,sin-1取最大值.
答案:
【拔高】
6.求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.
解:
由得交点A(1,1);由得交点B(3,-1).
故所求面积S=dx+dx
=+
=++=.
7.如图,设点P从原点沿曲线y=x2向点A(2,4)移动,直线OP与曲线y=x2围成图形的面积为S1,直线OP与曲线y=x2及直线x=2围成图形的面积为S2,若S1=S2,求点P的坐标.
解:
设直线OP的方程为y=kx,点P的坐标为(x,y),
则(kx-x2)dx=(x2-kx)dx,
即=,
解得kx2-x3=-2k-,
解得k=,即直线OP的方程为y=x,所以点P的坐标为.
课程小结
1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数的原函数,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数,求导公式和导数的四则运算法则,从反方向上求出F(x).
2.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分.
3.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法,确定被积函数和积分上、下限.
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