正弦余弦定理解三角形专项.docx
- 文档编号:2340342
- 上传时间:2022-10-28
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:581.30KB
正弦余弦定理解三角形专项.docx
《正弦余弦定理解三角形专项.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《正弦余弦定理解三角形专项.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
正弦余弦定理解三角形专项
第四章解三角形
第1讲正弦定理和余弦定理
★知识梳理★
1.内角和定理:
在中,;sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),
tanA=-tan(B+C).sin=cos,cos=sin.
面积公式:
=
=(R为外接圆半径)=(a+b+c)·r(r为内切圆半径)
在△ABC中有:
a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA 2.正弦定理: 在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一: 其中R是△ABC外接圆的半径.(解三角形的重要工具) 形式二: sinA=,sinB=,sinC= asinB=bsinA,csinB=bsinC,csinA=asinC, a: b: c=sinA: sinB: sinC 以上这些关系式,可根据问题的条件和结论加以选择应用. (边角转化的重要工具) 3.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一: (解三角形的重要工具) 形式二: ;;cosC= 4.方法技巧 解三角形常见题型及求解方法 (1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==,可求出角C,再求出b,c. (2)已知两边b,c与其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,求出a,再由正弦定理,求出角B,C. (3)已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A,由正弦定理=求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),求出C,再由=,求出c,而通过=求B时,可能出现一解,两解或无解的情况,其判断方法如下表: A>90° A=90° A<90° a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a 无解 无解 a>bsinA 两解 a=bsinA 一解 a 无解 4.解斜三角形的实际问题中几个测量中的角度: ①坡度: 指坡面角的正切值,坡度i==tanα. ②俯角: 视线在水平线以下时,视线与水平线在铅垂面内所成的角为俯角,如图α为俯角. ③仰角: 视线在水平线以上时,视线与水平面在铅垂面内所成的角为仰角,如图β为仰角. ④方位角: 由指北方向作为0°,顺时针方向转到目标方向的水平角.方位角的范围在0°到360°之间. ★热点考点题型探析★ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 [例1](2008年广州市海珠区高三上期综练二)已知: A、B、C是的内角,分别是其对边长,向量,,. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若求的长. 【解题思路】已知对边求对角,直接用正弦定理。 解析: (Ⅰ)=……1分 =……2分 ∵ ……4分 ……6分 ∵……7分 .……8分 (Ⅱ)在中,,, ……9分 由正弦定理知: ……10分 =. ……12分 【名师指引】已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,要注意解可能有多种情况 【新题导练】 1.在△ABC中,a=1,b=,B=60°,求c. 解析: 由余弦定理得()2=12+c2-2ccos60°, ∴c2-c-6=0, 解得c1=3,c2=-2(舍去).∴c=3. 2.若在△ABC中,求△ABC外接圆的半径R. 解析: 题型2判断三角形形状 [例3]在△ABC中,bcosA=cosB,试判断三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形: (1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用; (2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 [解析]: 方法1: 利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA=cosB∴ ∴∴∴ 故此三角形是等腰三角形. 方法2: 利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA=cosB又b=2RsinB,=2RsinA ∴2RsinBcosA=2RsinAcosB∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π ∴A-B=0,即A=B故三角形是等腰三角形. 【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手,利用三角形内角和定理,实施关于三角形内角的一些变形公式. 【新题导练】 3.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 解析: 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 4.在△ABC中,若=,则△ABC的形状是.() A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形 解析: 由已知=及正弦定理得= ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=, 故△ABC为等腰三角形或直角三角形.选C 考点2: 三角形中的三角变换 题型: 利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值. 例1(08重庆)设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,c=3b.求: (Ⅰ)的值;(Ⅱ)cotB+cotC的值. 【解题思路】求的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系 解析: (Ⅰ)由余弦定理得= 故 (Ⅱ)解法一: == 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得 故 解法二: 由余弦定理及(Ⅰ)的结论有 = 故 同理可得 从而 【名师指引】在解三角形的背景下一般见“切割就化弦” 【新题导练】 5.三角形的三内角所对边的长分别为,设向量, 若,求角B的大小; 解析: ∵,∴∴ ∴, 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,且∠A,∠B,∠C所对的边a,b,c满足a+b=cx,求实数x的取值范围. 解析.,又 ∴,即 考点3与三角形的面积相关的题 题型1: 已知条件求面积 例1: (广州执信中学09届高三上学期期中考试)在中,,. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,求的面积. 【解题思路】求角C的三角函数值可考虑用内角和定理;求三角形的面积直接用面积公式. 解析: (Ⅰ)由,得, 由,得.又 所以. (Ⅱ)由正弦定理得. 所以的面积. 【名师指引】本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积、解三角形等基础知识,考查运算求解能力. 题型2: 已知面积求线段长或角 例2(广东省惠州市2009届第二调研考试)在中,,. ⑴、求的值; ⑵、设的面积,求的长. 【解题思路】已知面积求边长或高,可考虑等积法. 解析: ⑴、由,得,由,得. 所以. ⑵、由得,由⑴知, 故,又,故,. 所以. 【名师指引】在处理解三角形的相关问题时,逆向思维也是必不可少的. 【新题导练】 7.在三角形中,,求三角形的面积。 【解析】由题意,得为锐角,, , 由正弦定理得,. 8.在中,,,,则等于 A、B、C、或D、或 【解析】C ★抢分频道★ 基础巩固训练 1.在中,若,则一定是() A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形 解析: [∵∴] 2.在中,,且最大边长和最小边长是方程的两个根,则第三边的长为( ) A.2B.3C.4D.5 解析: [∵,且最大边长和最小边长是方程的两个根,则第三边为∴ . 3.在△ABC中,C=,则的最大值是_______________. [解析]∵在△ABC中,C=,∴ ,∵∴∴时,取得最大值。 4.若中,,则角C的大小是__________ 解析 5.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,,=,则其外接圆的半径为_______________. [解析], 6.在△ABC中,已知,A=45°,BC=,求角C。 解: 由正弦定理得,又BC=时,故sinC=; 有两解或120° 综合拔高训练 7.在△ABC中,已知,,试判断△ABC的形状。 解: 由正弦定理得: ,, 。 所以由可得: ,即: 。 又已知,所以,所以,即, 因而。 故由得: ,。 所以,△ABC 为等边三角形。 8.在锐角三角形中,边a、b是方程x2-2x+2=0的两根,角A、B满足: 2sin(A+B)-=0,求△ABC的面积。 解: 由2sin(A+B)-=0,得sin(A+B)=,∵△ABC为锐角三角形 ∴A+B=120°,C=60°,又∵a、b是方程x2-2x+2=0的两根,∴a+b=2, a·b=2,∴c2=a2+b2-2a·bcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6, ∴c=,=×2×=。 9.在△ABC中,若. (1)判断△ABC的形状; (2)在上述△ABC中,若角C的对边,求该三角形内切圆半径的取值范围。 解: (1)由 可得即C=90° △ABC是以C为直角顶点得直角三角形 (2)内切圆半径 内切圆半径的取值范围是 10.(汕头金山中学09届高三11月考)在中,内角对边的边长分别是,已知,. (Ⅰ)若的面积等于,求; (Ⅱ)若,求的面积. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,, 又因为的面积等于,所以,得. 联立方程组解得,. (Ⅱ)由题意得, 即,当时,,,,, 当时,得,由正弦定理得, 联立方程组解得,. 所以的面积.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 正弦 余弦 理解 三角形 专项