北京市海淀区学年第二学期高二年级期中练习数学文试题解析版.docx
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北京市海淀区学年第二学期高二年级期中练习数学文试题解析版.docx
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北京市海淀区学年第二学期高二年级期中练习数学文试题解析版
海淀区高二年级第二学期期中练习
一、选择题:
本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列复数中,与的乘积为实数的是
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】对于A,,为实数,满足题意;对于B,,不满足题意;对于C,,不满足题意;对于D,,不满足题意.
故选A.
2.已知函数,则下面各式中正确的是
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为,所以,选A.
3.函数,在的平均变化率分别记为,则下面结论正确的是
A.B.C.D.的大小无法确定
【答案】A
【解析】因为=1,=1,所以,选A.
4.用反证法证命题“若果平面平面,且直线与平面相交,那么直线与平面相交”时,提出的假设应该是
A.假设直线平面B.假设直线平面与有公共点
C.假设直线与平面不相交D.假设直线在平面内
【答案】C
【解析】提出的假设应该是直线与平面相交的否定,即为直线与平面不相交(包括直线平面与直线在平面内),选C.
5.有这5名同学围成一圈,从起按逆时针方向依次循环报数,规定:
第一次报的数为1,第一次报的数为3.此后,后一个人所报的数总是前两个人所报的数的乘积的个位数字,如此继续下去.则第10次报的数应该为
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】第一轮五人依次报数为:
1,3,3,9,7;第二轮五人依次报数为:
3,1,3,3,9;第三轮五人依次报数为:
7,3,1,3,3;第四轮五人依次报数为:
9,7,3,1,3;第五轮五人依次报数为:
3,9,7,3,1;第六轮五人依次报数为:
3,3,9,7,3;第七轮五人依次报数为:
1,3,3,9,7;与第一轮重复,所以第十轮五人依次报数为:
9,7,3,1,3;即第10次报的数应该为9,选D...................
点睛:
找规律方法及具体策略:
先计算,再观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
6.已知曲线:
①②③④.上述四条曲线中,满足:
“若曲线与直线有且仅有一个公共点,则他们必相切”的曲线条数是
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】对于①,当直线方程为时,满足曲线与直线有且仅有一个公共点,但是它们相交,故错误;对于②,已知表示的是圆,根据圆的性质,若圆与直线有且仅有一个公共点,则该点必为切点,故正确;对于③,当直线方程为时,满足曲线与直线有且仅有一个公共点,但是它们相交,故错误;对于④,表示的是双曲线,当直线方程与双曲线的渐近线平行时,满足曲线与直线有且仅有一个公共点,但是它们相交,故错误.
故选A.
7.函数的部分图像可能是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵函数
∴函数的定义域为
∴,即函数在定义域内奇函数.
当时,;当时,.
故选C.
点睛:
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除
8.函数,,其中为常数.则下面结论中错误的
A.当函数只有一个零点时,函数也只有一个零点
B.当函数有两个不同的极值点时,一定有两个不同的零点
C.,使得函数的零点也是函数的零点
D.,使得函数的极值点也是函数的极值点
【答案】D
【解析】∵函数,
∴
对于A,当函数只有一个零点时,则,解得或,当时,函数只有一个零点;当时,函数
,函数只有一个零点,故A正确;对于B,因为,根据极值点的定义,当函数有两个不同的极值点时,一定有两个不同的零点,故B正确;对于C,当时,函数,,两个函数的零点都为0,故C正确;对于D,,令,可得,若函数的极值点是函数的极值点,则,解得或,当时,函数不存在极值点,当时,,则函数不存在极值点,故D错误.
故选D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
9.复数在复平面上对应的点位于第____象限,且____.
【答案】
(1).四,
(2).2
【解析】∵复数
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限,且.
故答案为
(1)四;
(2)2.
10.曲线在点处的切线与平行,则____.
【答案】2
【解析】∵曲线在点处的切线与平行
∴
故答案为.
11.函数在上单调,则的取值范围是____.
【答案】
【解析】若函数在上单调递增,则在上恒成立,即;
若函数在上单调递减,则在上恒成立,即;
因此的取值范围是.
点睛:
对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.
12.不等式的解集为____.
【答案】
【解析】令,
当时;当时;所以
因此当时,因此解集为
13.计算____,____,请你根据上面的计算结果,猜想____.
【答案】
(1).
(2).(3).
【解析】;;
根据计算结果,猜想.
故答案为
(1);
(2);(3).
14.已知函数和点,过点作曲线的两条切线,,切点分别为,,则直线的斜率等于____.
【答案】2
【解析】设,.
∵函数
∴
∵过点作曲线的两条切线,
∴,
∴直线的方程为,直线的方程为.
∵,
∴,
∴,,即,是方程的两根.
∴,
∴直线的斜率.
故答案为2.
点睛:
本题主要考查利用导数求切线斜率,属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数;
(2)己知斜率求切点即解方程;(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.
三、解答题:
本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.如图,曲边三角形中,线段是直线的一部分,曲线段是抛物线的一部分.矩形的顶点分别在线段,曲线段和轴上.设点,记矩形的面积为.
(Ⅰ)求函数的解析式并指明定义域;
(Ⅱ)求函数的最大值.
【答案】
(1)定义域为;
(2)在时,取得最大值.
【解析】试题分析:
(I)根据点在直线上,在抛物线上,结合图形,可得点,从而可得函数的解析式,联立直线与抛物线的方程,即可求得定义域;(II)对函数求导,利用导数研究函数的单调性,从而可求得函数的最大值.
试题解析:
(I)令,
解得(舍)
因为点
所以,
其定义域为
(II)因为
令,得,(舍)
所以的变化情况如下表
0
极大
因为是函数在上的唯一的一个极大值,
所以在时,函数取得最大值.
点睛:
利用导数解答函数最值的一般步骤:
第一步:
利用或求单调区间;第二步:
解得两个根;第三步:
比较两根同区间端点的大小;第四步:
求极值;第五步:
比较极值同端点值的大小.
16.在各项均为正数的数列中,且.
(Ⅰ)当时,求的值;
(Ⅱ)求证:
当时,.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)根据及,可求得的值,同理即可求得的值;(Ⅱ)利用分析法,要证,只需证,即证,然后结合均值不等式即可证明.
试题解析:
(Ⅰ)因为,
所以,
所以,
解得,
同理解得.
(Ⅱ)证明:
要证时,,
只需证,
只需证,只需证.
只需证,
只需证,
根据均值定理,
所以原命题成立.
17.已知曲线在点处的切线为,其中.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:
直线和曲线一定有两个不同的公共点.
【答案】
(1)直线;
(2)见解析.
【解析】试题分析:
(I)求出函数的导数,分别求出,,即可求得直线的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数零点的个数,从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
试题解析:
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得,
当时,的变化情况如下表
0
0
极大
极小
因为时,,而
(或者说:
时,),
所以在上有一个零点
而时,,所以在上只有一个零点
又在上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线和曲线有两个不同的公共点.
18.已知函数,其中常数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果函数没有零点,求实数的取值范围.
【答案】
(1)函数单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)实数的取值范围是.
【解析】试题分析:
(1)先求导数,再根据a讨论导函数零点,最后根据导函数符号确定单调区间,
(2)根据单调性,结合零点存在定理,确定没有零点的条件为最小值大于零,解不等式可得实数的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)因为,其中
当时,对成立
所以函数的单调递增区间为
当时,令,,(舍)
则的变化情况如下表
0
极小
所以函数单调递减区间为,单调递增区间为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,函数是单调递增函数,
而注意到,但是当时,
所以函数在区间上存在零点,矛盾
当时,由(Ⅰ)知道,在处取得唯一一个极小值
从而在处取得最小值
当,即,即时,函数没有零点,
当时,即时,显然不合题意,
当时,因为当时,
从而在区间上存在零点,矛盾
综上,实数的取值范围是.
点睛:
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
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- 北京市 海淀区 学年 第二 学期 年级 期中 练习 数学 试题 解析