最新教案高三最新教案数学圆锥曲线专题.docx
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最新教案高三最新教案数学圆锥曲线专题
广东高考数学专题复习
圆锥曲线专题
一.知识要点
1、直线的斜率公式:
(为直线的倾斜角)
两种常用的直线方程:
(1)点斜式
(2)斜截式
2、直线与圆的位置关系有:
相交、相切、相离三种,其判断方法有:
①几何法(常用方法)
若圆心到直线的距离为
直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相离
②代数法
由直线方程与圆的方程联立方程组,消元得到一个一元二次方程,则:
直线与圆相切直线与圆相离直线与圆相交
3、圆的弦长
若圆心到弦的距离为.
4、圆锥曲线的定义(包括长轴,短轴,实轴,虚轴,离心率,双曲线的渐近线等)
(1)椭圆:
(2)双曲线:
(3)抛物线:
5、点和椭圆()的关系:
(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内
6、直线与圆锥曲线的位置关系:
由直线方程与圆锥曲线联立方程组,消元得到一个一元二次方程,则:
(1)相交:
直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切:
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点
7、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点、,且分别为、的横坐标,则=,若分别为、的纵坐标,则=,若弦所在直线方程设为,则=
二.例题分析
题型1:
圆锥曲线定义的问题
例题1.在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为的圆与直线相切于坐标原点,椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为.
(1)求圆的方程;
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点,使到椭圆右焦点的距离等于线段的长.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
变式1:
已知圆,圆,圆,关于直线对称.
(1)求直线的方程;
(2)直线上是否存在点,使点到点的距离减去点到点的距离的差为,如果存在求出点坐标,如果不存在说明理由.
变式2:
已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,点在椭圆上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为,且与交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在满足的点?
若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
题型2:
圆锥曲线的定值问题
例题2:
已知椭圆过点,且离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆的左右顶点,直线与轴交于点,点是椭圆上异于的动点,直线分别交直线于两点.
证明:
当点在椭圆上运动时,恒为定值.
变式1:
椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6,焦距为,分别是椭圆的左右顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若与均不重合,设直线与的斜率分别为,证明:
为定值;
题型3:
直线与圆的位置关系问题
例题3.动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线.圆的圆心是曲线上的动点,圆与轴交于两点,且.
(1)求曲线的方程;
(2)设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.
变式1:
已知,,.
(1)若,,求的外接圆的方程;
(2)若以线段为直径的圆过点(异于点),直线交直线于点,线段的中点为,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
题型4:
直线与圆锥曲线位置关系问题
例题4.在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,且点在上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆和抛物线相切,求直线的方程.
变式1已知椭圆:
的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线与相交于、,.
⑴求、的值;
⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围.
题型5:
圆锥曲线的相关最值(范围)问题
例题5.已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3)当点在直线上移动时,求的最小值.
变式1:
已知动点到定点的距离与点到定直线:
的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设、是直线上的两个点,点与点关于原点对称,若,求的最小值.
变式2:
在平面直角坐标系中,已知点,过点作抛物线的切线,其切点分别为、(其中).
(Ⅰ)求与的值;
(Ⅱ)若以点为圆心的圆与直线相切,求圆的方程;
(Ⅲ)过原点作圆的两条互相垂直的弦,求四边形面积的最大值.
题型6:
综合性问题
例题6.已知椭圆的左、右两个顶点分别为、.曲线是以、两点为顶点,离心率为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点.
(1)求曲线的方程;
(2)设点、的横坐标分别为、,证明:
;
(3)设与(其中为坐标原点)的面积分别为与,且,求的取值范围.
三:
巩固练习
1、(2010广东理12)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是
2、(2013广东理7)已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是()
A.B.C.D.
3、(2014广东理4)若实数k满足,则曲线与曲线
的()
A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等
4、(2011广东理21)在平面直角坐标系上,给定抛物线:
.实数,满足,,是方程的两根,记.
(1)过点作的切线交轴于点.证明:
对线段上的任一点,有;
(2)设是定点,其中,满足,,过作的两条切线,,切点分别为,,,与轴分别交于,.线段上异于两端点的点集记为.证明:
;
(3)设.当点取遍时,求的最小值(记为)和最大值(记为).
5、(2012广东理20)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线l:
mx+ny=1与圆O:
x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?
若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由。
6、(2014年广东20)已知椭圆的一个焦点为,离心率为,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程。
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