第九章 抛物线.docx
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第九章抛物线
§9.1 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:
直线l倾斜角的范围是[0°,180°).
2.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tanα.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k=.
3.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
=
(x1≠x2,y1≠y2)
不含直线x=x1和直线y=y1
截距式
+=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
概念方法微思考
1.直线都有倾斜角,是不是都有斜率?
倾斜角越大,斜率k就越大吗?
提示 倾斜角α∈[0,π),当α=时,斜率k不存在;因为k=tanα.当α∈时,α越大,斜率k就越大,同样α∈时也是如此,但当α∈(0,π)且α≠时就不是了.
2.“截距”与“距离”有何区别?
当截距相等时应注意什么?
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )
(2)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( √ )
题组二 教材改编
2.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( )
A.1B.4C.1或3D.1或4
答案 A
解析 由题意得=1,解得m=1.
3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.
答案 3x-2y=0或x+y-5=0
解析 当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;
当截距不为0时,设直线方程为+=1,
则+=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0.
题组三 易错自纠
4.(2018·石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.B.
C.∪D.∪
答案 B
解析 由直线方程可得该直线的斜率为-,
又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是.
5.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
6.过直线l:
y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为.
答案 x-2y+2=0或x=2
解析 ①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;
②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;
③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,得x=2-,依题意有××2=2,即=1,解得k=,所以直线m的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.
综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1
(1)直线2xcosα-y-3=0的倾斜角的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα,
因为α∈,所以≤cosα≤,
因此k=2cosα∈[1,].
设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,].
又θ∈[0,π),所以θ∈,
即倾斜角的取值范围是.
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为.
答案 (-∞,-]∪[1,+∞)
解析 如图,∵kAP==1,
kBP==-,
∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
引申探究
1.若将本例
(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
解 ∵P(-1,0),A(2,1),B(0,),
∴kAP==,
kBP==.
如图可知,直线l斜率的取值范围为.
2.若将本例
(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.
解 如图,直线PA的倾斜角为45°,
直线PB的倾斜角为135°,
由图象知l的倾斜角的范围为
[0°,45°]∪[135°,180°).
思维升华
(1)倾斜角α与斜率k的关系
①当α∈时,k∈[0,+∞).
②当α=时,斜率k不存在.
③当α∈时,k∈(-∞,0).
(2)斜率的两种求法
①定义法:
若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率.
②公式法:
若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时,要充分利用y=tanα的单调性.
跟踪训练1
(1)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于( )
A.1±或0B.或0
C.D.或0
答案 A
解析 ∵平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,∴kAB=kAC,
即=,即a(a2-2a-1)=0,
解得a=0或a=1±.故选A.
(2)直线l经过A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是.
答案
解析 直线l的斜率k==1+m2≥1,
所以k=tanα≥1.
又y=tanα在上是增函数,
因此≤α<.
题型二 求直线的方程
例2 求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;
(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-;
(3)过点A(1,-1)与已知直线l1:
2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.
解
(1)方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),
∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.
若a≠0,则设l的方程为+=1,
∵l过点(3,2),∴+=1,
∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二 由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3),
令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k,
由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=,
∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
(2)设所求直线的斜率为k,依题意
k=-×3=-.
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=-(x+1),
即3x+4y+15=0.
(3)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.
设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),
解方程组
得两直线交点为
(k≠-2,否则与已知直线平行).
则B点坐标为.
由已知2+2=52,
解得k=-,∴y+1=-(x-1),
即3x+4y+1=0.
综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.
思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程:
(1)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数;
(2)过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;
(3)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
解
(1)当直线过原点时,方程为y=x,即3x-2y=0.
当直线l不过原点时,设直线方程为-=1.
将P(2,3)代入方程,得a=-1,
所以直线l的方程为x-y+1=0.
综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
(2)设直线y=3x的倾斜角为α,
则所求直线的倾斜角为2α.
因为tanα=3,所以tan2α==-.
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=-(x+1),
即3x+4y+15=0.
(3)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为+=1,又直线过点(-3,4),
从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求当||·||取得最小值时直线l的方程.
解 设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,
直线l的方程为+=1,所以+=1.
||·||=-·=-(a-2,-1)·(-2,b-1)
=2(a-2)+b-1=2a+b-5
=(2a+b)-5=+≥4,
当且仅当a=b=3时取等号,此时直线l的方程为x+y-3=0.
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4已知直线l1:
ax-2y=2a-4,l2:
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- 第九章 抛物线 第九