概率论与数理统计C的习题集计算题.docx
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概率论与数理统计C的习题集计算题
4、概率公式的题目
已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(BAuB》
(2)
5、为了防止意外,在矿内同时设两种报警系统A,B,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A为0.92,
P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(BA)=0.85,
(1)P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)=P(A)+P(AB)=P(A)+P(A)P(BA)=0.988
PA—B[=P(aB)=P1X_2,X_1.;=P「X_2;=1-Plx=0?
—Plx=1;=1—2e」;
7•丨联「5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半)
【解】设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式
0.50.050.50.002521
8.将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A
的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2:
1•若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的
概率是多少?
【解】设A={原发信息是A},则={原发信息是B}
C={收到信息是A},则={收到信息是B}由贝叶斯公式,得
9.96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个
次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率
【解】设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
10.川、乙、丙―人独工口勿:
〔一細闻丄:
•改I怕概率分扣呂0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被
击落,求:
飞机被击落的概率
【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3
由全概率公式,得
P(A)八P(A|BJP(BJ
i=0
=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+
(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7
已知密度(函数)求概率的题目
100
x
x:
:
:
100
1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数f(x)=
任取其中3只,求使用最初150小时内,无一晶体管损坏的概率。
解:
任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为
2
812x1-xdx二0.0272。
分布函数、密度函数的题目
x
1、设随机变量X的分布函数为F(x)二ABarcsin
a
1
若每天供电量为80万千瓦小时,求任一天供电量不够需要的概率?
解:
每天供电量80万千瓦小时,所以供给耗电率为:
80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8,供电量不够需
要即实际耗电率大于供给耗电率。
所以
0,x乞0
I2
2设随机变量X的分布函数为Fxi;=2Ax,0:
:
:
x_1
1,x1
求:
(1)常数A;
(2)P「0.3:
:
:
X:
:
:
0.7?
;(3)X的密度函数fx。
解:
(1)由分布函数的右连续性知:
F1;=A=limFx;=1,所以A=1;
十
(2)P〈0.3:
X:
0.7;=F0.7-F0.31=0.4;
解:
(1)由分布函数的右连续性及性质知:
(2)pf-1:
:
X1=F1-F-1=1-e,;
、解:
分别记X,Y的分布函数为Fx(x),FY(y)
由于y=x2>0,故当yw0时,F*y)=o
当y=x2>0时,有FY(y)=P(YWy)=P(X2wy)=P(-...ywxw,y)
y
=fX(x)dx=e公dx=1-e—y
Wy0
将FY(y)关于y求导数,即得y的概率密度为
[(1—e")鼻—e"(_J7)丄4护'\y>0
fY(y)=“
2前
其它
7(12分)设A
B为随机事件,
111且P(A)=4P(Br,P(ABr
1B发生
I。
B不发生
求1、二维随机变量(X,Y)的联合概率分布;2、判定X与丫是否相互独立
的|111
解:
P{X=1,Y=1}=P(AB)=P(A)P(BA):
4312
<0
A发生.
A不发生;
P{X=1,丫=0}=P(AB)二P(A_B)=P(A)_P(AB)
111
4一12一6
P{X=0,Y=1}=P(BA)=P(B-A)
二P(B)_P(AB)=P(AB)-—P(AB)J_丄-
P(AB)61212
P{X=0,Y=6=P(AB)二P(AB)
=1_P(AB)=1_P(A)-P(B)P(AB)
3
0
1
0
%
1
%
?
12
Z4
%
21
因为P{X=0,Y=0}P{X二C}P{Y=0},则X与Y不相互独立
32
12分
8维随机变量(X,Y)的联合分布律为
0.4
0.8
0.15
0.05
0.30
0.12
0.35
0.03
(1)
求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?
【思路】
与b.
(2)因P{X=2}LP{Y=0.4}=0.20.8=0.16=0.15二P(X=2,Y=0.4),
故X与Y不独立|
9设随机变量X和Y的联合分布律为
1
2
1
1
8
b
2
a
1
4
3
1
24
1
8
⑴求a,b应满足的条件;⑵若X与Y相互独立,求a,b的值.
先利用联合分布律的性质a、pij=1确定a,b应满足的条件,再利用独立性的定义来求出
【技巧】由于X与Y的独立性,故对所有的Xi,yj应有PXrXi’YryjiupX=Xjyj,
ij
因此,我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数,例如
iiCiyii
PX=3,Y=1,而PX=3Y=1a,可求得a;又PX=3,Y=2,而
■丿24'人」616丿12*}8
13
-求得b.这种参数的确定方式,需要读者熟练掌握.
88
10、变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量X,Y的联合分布律及关于X和关于Y的边
缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空间处:
y1
y
y3
P(x=x)=Pl
X1
1
8
X2
1
8
P(Y=yj戶P|_j
1
6
1
111
【思路】利用边缘分布律的求法及独立性来进行,例如,从p11,求得p11,再利用独立性
8624
11
知=p-i.从而知P1,等等.
64
【解】利用PiL=7Pij;P_j八Pij以及ji
将算得的数值填入表中的空格内,即得
y1
y2
y3
P(X=人严Pl
1
1
1
1
X1
—
—
—
—
24
8
12
4
x
1
3
1
3
8
8
4
4
p(y=yj)=Pu
1
1
1
1
6
2
3
12、随机变量(X,Y)的概率密度为
求边缘概率密度
【解】fx(x)f(x,y)dy
fY(y)=二f(X,y)dx
13维随机变量(X,Y)的概率密度为
求边缘概率密度
【解】fX(x)二.f(x,y)dy
fY(y)=J-f(x,y)dx
求⑴条件密度fx|Yx|y及fY|xy|x;
【解】⑴由于X的边缘密度为
17、(12分)随机变量X和Y均服从区间[0,2]上的均匀分布且相互独立.
1•写出二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度和联合概率密度.2•求P{X^-}.
2
解:
(1)由题意得:
1,
fx(x)二2
0,其它
又•••X,Y相互独立
fY(y)=」2
0,其它
-f(x,y)=fx(x)fY(y)=4
其它
I0,
3
⑵P{X丫乞?
1
!
!
f(x,y)dxdy!
.!
.;dxdy
xT23x7<3
"2_2
9
y=32
四、正态分布、中心极限定理、
1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布,平均成绩为72分,
96分以上的占考生总数的2.3%。
试求:
(1)考生的外语成绩在60分至84分之间的概率;
(2)该地外语考试的及格率;
(3)若已知第三名的成绩是96分,求不及格的人数。
(G1=0.8413,G
(2)=0.977)
解:
依题意,X~N(72,二2)且P〈X_96丄0.023
"70
0.023=1—Pfx乞96.;二1_门()查表得=;「-12
a
(1)P{60zX^84.;=2:
:
」
(1)—1=0.6826
(2)P{X260}=6
(1)=0.8413
2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布N65,100,如果85分以上为“优秀”,问数学成绩
为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。
[住[2=0.9772
解:
依题意,X~N(65,100),85分以上学生为优秀,则
XXXX\X-6585-65〕壬
P:
X_85;=1-P'X:
:
85.;=1-P1乍i2=1-0.9772=0.0228=2.28%
I1010J
所以优秀学生为2.28%。
4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高X~N170,62,
问车门的高度应如何确定?
(门2.33=0.99)
解:
设车门的高度为x厘米,则
(X_」x_」X-170x_170
P'X^x,PXxpX_1一0.01=0.99,门2.33=0.99
.二二.66
所以x-170=2.33,xL183.98。
即车门的高度至少要183.98厘米。
6
5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高XLIN168,72,
问车门的高度应如何确定?
(门2.33)=0.99)
解:
设车门的高度为x厘米,则
7■假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于
90%,问这批产品至少要生产多少件?
而至少要生产n件,则i=1,2,…n,且
Xi,X2,…,Xn独立同分布,p=P{Xi=1}=0.8.
n
令:
X=7Xj,则X表示n件产品中合格品的个数,X~B(n,p),
i4
合格品数
总产品个数
由中心极限定理,则n较大时,二项分布可近似的看成正态分布,
即X~N(np,叩q),或X二np~N(0,1),而n件产品的合格品率Jnpq
现要求n,使得
n
'Xi
P{0.76一V0.84}_0.9.
n
由中心极限定理得
VJO.16n丿
伴戸、0.9,
IJ0.16n丿
n>268.96,故取n=269.
索赔数为随机变量X.
(1)写出X.的概率分布;
kk*100-kbj_
PX=k二C1000.20.8,k=0,1,2川1,100.
N较大时
项分布可近似的看成服从正态分布
X~B(n,p)匸X~N(np,npq=Xnp〜n(0,1))Jnpq
(2)由np=1000.2=20.
np二p二,1000.20.8=4利用德莫佛—拉普拉斯定理知
P14EX乞30
14-npwX-npw30-np
Jnp(1-p)Jnp(1—p)Jnp(1—p)丿=P‘1.5兰X一20兰2.5〕
I4
■:
$[2.5①「1.5
2.5]亠住[1.5-1
=0.9940.933一1=0.927
【解毕】
【技巧】德莫佛-拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用,运用此定理计算概率近似值时,其关键是:
“标
准化”和“正态近似”,当n越大时,所得得近似值越精确
11、
大批种子,其中良种占1/6,现从中任取6000粒种子,试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定
理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.
【解】设随机变量X表示所取6000粒种子中良种的粒数,由题意可知,
X~B6000,汙是
1EX=np=60001000,
6
15
DX二np1-p]=6000-
66
=51000.
6
(1)要估计的概率为P
X11
V60006
1
岂1000」
二P:
;|x-1000:
:
:
60,相当于在切比雪夫不等式
中取;=60.于是由切比雪夫不等式可得
'「6000610007
51
=11000-
63600
=0.7685,
(2)由德莫佛一拉普拉斯中心极限定理,
项分布Bi6000,-可用正态分布
I6丿
f5;
N11000,^1000近似。
于是所求概率为
I6
=20.98124-10.9625.
【解毕】
0.7685,而由中心极限定理可得
【寓意】从本例看出:
由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于
到要求的概率近似等于0.9625.从而可知,由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的,但由于它的要求
较低,只需知道X的期望与方差,因而在理论上由许多应用
求:
E(X),D(X)
布函数;(3)EY2
0.4,求EX2.
【解】由题意知X~B10,0.4于是
EX=100.4=4,
DX=100.41-0.4;=2.4.
22
由DX=EX2-EX可推知
222
EX2=DXEXi;=2.442=184
10、X服从参数’=1的指数分布,求EXe2X.
【解】由题设知,X的密度函数为
e^,xa0,
fx二
'‘10,xE0.
且EX-1,又因为
■be-be
Ee"=ehxdx=e^l_e^d^-,
:
03
14
从而EXe^X=EXEe^X=1.【解毕】
33
【寓意】本题的目的是考查常见分布的分布密度(或分布律)以及它们的数字特征,同时也考查了随机
变量函数的数学期望的求法.
11、设随机变量X和Y独立,且X服从均值为1,标准差为2的正态分布,而Y服从标准正态分布,试求随机变量Z=2X-丫•3的概率密度函数.
【思路】此题看上去好像与数字特征无多大联系,但由于X和Y相互独立且都服从正态分布,所以Z作
为X,Y的线性组合也服从正态分布.故只需求EZ和DZ,则Z的概率密度函数就唯一确定了.
【解】由题设知,X~N1,2,Y~N0,1.从而由期望和方差的性质得
EZ=2EX-EY3=5,
DZ=22DXDY=9.
又因Z是X,Y的线性函数,且X,Y是相互独立的正态随机变量,故Z也为正态随机变量,又因正态分
【寓意】本题主要考查二点内容,一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布;其二是正态分布完全
由其期望和方差决定
13二维离散随机变量X,丫的分布列为
-1
0
1
-1
1
1
1
8
8
8
0
1
0
1
8
8
求:
*,并问X与Y是否独立,为什么?
【解】X与Y的边缘分布列分别为
33
EXYUXjyjPj
i=1j=1
iii[_iii[
…1T8081801_180818
-0.
所以CovX,Y=EXY-EXLEY=0.
从而
CovX,Y
、dxLdY
133
因为px=-1,Y=-1PX=-1PY=-1,所以X与Y不独立•
888
注释:
通过本题目可以将离散型随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数及其独立性的定义及其
计算很好的巩固
221
14知随机变量X与Y分别服从正态分布N1,32和N0,42,且X与Y的相关系数*,设
z=X求:
3-
X与Z的相关系数:
\z;
【解】
(1)
由数学期望的运算性质有
-EX+-EY
3232
i=DXDY2CovX,Y有
XY
DZ=D
1
2DX
32
」DX
9
=14_2=3.
=D-XD-Y2Cov-X,-Y
3232
■+—
2
111
2DY2CovX,Y
2232
】DY1txyLDX_.DY
43一
所以
(2)因为
XyICovX,Z=CovX,-
I32丿
11
CovX,X—CovX,Y
32
」DX
3
12
32
-D^.DY
2
-
22
-34=0,
_Cov(X,Z)XZ-DXDZ
P{X>0.8}=打"訂
213227
E(X)xf(x)dxxdx亠!
x(2-x)dx二-
d(x)=e(x2)-[e(x)]2=6.
9X表示10次独立重复射击中命中目标的次数,每次射中目标的概率为
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