北师版数学8年级上考点25 等腰三角形等边三角形.docx
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北师版数学8年级上考点25等腰三角形等边三角形
考点25等腰三角形、等边三角形
一、选择题
1.(2015·黄石中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=()
A.36°B.54°C.18°D.64°
【答案】B
【解析】在△ABC中,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°,∴∠A=180°-∠ABC-∠C=36°,又BD⊥AC,∴∠ADB=90°.在△ABD中,∠ABD=180°-90°-36°=54°,故选B.
2.(2015·荆门中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长为()
A.8和10B.8C.10D.6或12
【答案】C
【解析】当4为等腰三角形的腰长时,则三角形的三边长为4,4,2,所以此时三角形的周长为4+4+2=10;当2为等腰三角形的腰长时,则三角形的三边长为2,2,4,此时,因为2+2=4,所以不能组成三角形,故选C.
3.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别是5和6,则这个等腰三角形的周长为()
A.11B.16C.17D.16或17
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的性质可得该等腰三角形的另一腰的长为5或6,所以三角形的周长等于5+6+5=16或6+6+5=17,故选D.
4.(2015·湘西中考)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36º,则∠1的度数为()
A.36ºB.60ºC.72ºD.108º
【答案】C
【解析】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36°,∴∠1=∠A+∠ABD=72°.故选C.
5.(2015·吉林中考)如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=70°,则∠2的度数是()
A.20°B.35°C.40°D.70°
【答案】C
【解析】∵AB∥CD,∠1=70°,∴∠1=∠ACD=70°.又∵AD=CD,∴∠CAD=∠ACD=70°,∴∠2=180°-∠ACD-∠CAD=180°-70°-70°=40°,故选C.
6.(2015·长春中考)如图,在△ABC中,AB=AC.过点A作AD//BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为()
A.30°B.40°C.50°D.70°
【答案】B
【解析】∵AD//BC,∠1=70°,∴∠C=∠1=70°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°.故选B.
7.(2015·盐城中考)若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为()
A.12B.9C.12或9D.9或7
【答案】A
【解析】由题可知该三角形的三边长可能是2,2,5,也可能是5,5,2,又因为三角形三边之间必须满足“三角形两边之和大于第三边”,所以2,2,5这种情况不成立,所以该三角形的周长只可能是5+5+2=12.故选A.
8.(2015·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为()
A.35°B.45°C.55°D.60°
【答案】C
【解析】因为AB=AC,D为BC中点,所以∠BAC=2∠BAD=70°,所以∠C的度数为55°.
9.(2015·宿迁中考)若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的周长为()
A.9B.12C.7或9D.9或12
【答案】B
【解析】由题意可知该三角形的三边长可能是2,2,5,也可能是5,5,2 .又因为三角形三边之间必须满足“三角形两边之和大于第三边”,所以2,2,5这种情况不成立,所以该三角形的周长只可能是5+5+2=12.故选B.
10.(2015·淄博中考)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,将△ABC沿对角线AC折叠,点B的对应点落在点E处,且点B,A,E在一条直线上,CE交AD于点F,则图中等边三角形共有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】B
【解析】∵△ABC沿对角线AC折叠,点B,A,E在一条直线上,∴△ABC≌△AEC,
∠E=∠B=60°,∴△BCE是等边三角形;∵AD∥BC,∴∠EAF=∠B=60°,∴△EAF是等边三角形;∵BE∥CD,∴∠D=∠EAF=60°,∠E=∠DCF=60°,∴△CDF是等边三角形.
11.(2015·青海中考)一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上,AC与DM,DN分别交于点E、F,把△DEF绕点D旋转到一定位置,使得DE=DF,则∠BDN的度数是()
A.105°B.115°C.120°D.135°
【答案】C
【解析】在△DEF中,∵∠EDF=30°,DE=DF,∴∠DEF=∠DFE=75°,∵∠C=45°,
∴∠BDN=∠C+∠DFE=45°+75°=120°.故选C.
12.(2015·丹东中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为()
A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°
【答案】A
【解析】∵在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=
=75°,
∴∠ACE=180°-75°=105°.∴∠D=
.故选A.
13.(2015·陕西中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】D
【解析】∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=
∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD=36°,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形.在△BCD中,∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形.∵BE=BC,∴BD=BE,∴△BDE是等腰三角形.∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°,∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,
∴∠A=∠ADE,∴DE=AE,∴△ADE是等腰三角形.∴图中的等腰三角形有5个.故选D.
14.(2015·泸州中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(
,
),B(3
,3
),动点C在x轴上,若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数为()
A.2B.3C.4 D.5
【答案】B
【解析】若以AB为等腰三角形的底边,则∠C为等腰三角形的顶角,那么C是AB的垂直平分线与x轴的交点,如图中的点C3(C3M垂直平分线段AB);若以AB为等腰三角形的腰,则等腰三角形的腰长为4,当∠A为等腰三角形的顶角时,以A为圆心,4为半径画弧交x轴于两点,这两个点都是满足条件的点C(即图中的点C1与C2).当∠B为等腰三角形的顶角时,由于B点到x轴的距离为3
>4,所以以B为圆心,4为半径画弧时与x轴无交点,即满足题目要求以∠B为顶角,AB为腰的等腰三角形不存在.综上所述,满足题目要求的点C有三个,故选B.
15.(2015·内江中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,则∠BAC的度数为()
A.40°B.45°C.60°D.70°
【答案】A
【解析】因为AE∥BD,所以∠DBC=∠E=35°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=
2∠DBC=70°,因为AB=AC,所以∠ABC=∠C,所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=40°,故选A.
16.(2015·龙岩中考)如图,在边长为
的等边三角形ABC中,过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.1
【答案】D
【解析】连结PA,如下图,∵△ABC是等边三角形,BP是∠ABC的平分线,∴BP是边AC的垂直平分线,
∴AP=CP.又∵AB=BC,BP=BP,∴△APB≌△CPB,∴∠PAB=∠PCB.∵PC⊥BC,∴AP⊥AB.在Rt△PAB中,AB=
∠ABP=30°,∴AP=AB·tan30°=1.故选D.
17.(2015·来宾中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D,E,则∠BAE=()
A.80° B.60° C.50° D.40°
【答案】D
【解析】∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°.∵AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,∴∠B=∠BAE=40°,故选D.
18.(2015·玉林、防城港中考)如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,则下列结论中不正确的是()
A.AD=AEB.DB=ECC.∠ADE=∠CD.
【答案】D
【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE∥BC,∴∠B=∠C=∠ADE=∠AED,∴AD=AE,
∴DB=EC,因此A、B、C选项均正确,D选项只有DE是△ABC的中位线时才成立,故
选D.
19.(2015·南宁中考)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()
A.35°B.40°C.45°D.50°
【答案】A
【解析】在△ABD中,∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∴∠ADC=180°-∠ADB=110°,在△ACD中,∵AD=CD,∴∠C=∠DAC,设∠C=∠DAC=x°,∴x+x+110=180,解得x=35,∴∠C=35°,故选A.
20.(2015·毕节中考)如图,已知D为△ABC的边AB的中点,E在边AC上,将△ABC沿着DE折叠,使A点落在BC上的F处,若∠B=65°,则∠BDF等于()
A.65°B.50°C.60°D.57.5°
【答案】B
【解析】由折叠知AD=DF,∵D为△ABC的边AB的中点,∴AD=DB,∴DF=DB,
∴∠DFB=∠B=65°,∴∠BDF=180°-65°-65°=50°,故选B.
二、填空题
1.(2015·河北中考)如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1.按下列要求画图:
以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3……
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.
【答案】9
【解析】由于∠BOC=9°,且OA=1,根据画法可知∠A1AA2=∠AA2A1=18°,∠A3A1A2=∠A1A3A2=∠BOC+∠AA2A1=27°,…,可见△Ak-1OAk的外角∠AkAk-1Ak+1满足如下规律:
当k=1时,∠AkAk-1Ak+1即为∠A1AA2,外角为18°,k=2时,外角为27°,…,即∠AkAk-1Ak+1=9°+k×9°,因此,当k=9时,外角为90°,此时A8A9⊥OB,即A8A9是点A9到OB的距离,在此以后所画弧不会与∠BOC的边OB有交点,因此满足条件的线段能画9条,故答案为9.
2.(2015·南通中考)如图,△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC=______度.
【答案】52
【解析】∵AC=AD=DB,∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C.设∠B=∠BAD=x°,∴∠ADC=2x°,∠C=2x°.∴∠B+∠C=3x°.∵∠BAC=102°,∴∠B+∠C=78°.∴3x=78,解得x=26.∴∠ADC=52°.
3.(2015·淄博中考)如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,
∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是_______度,度.
【答案】120150
【解析】∵△ABC是等边三角形,△BDC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠DCB=45°,△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD=30°,∠ABD=∠ACD=15°,∠ADB=∠ADC=135°.过点D作一条直线将△ABD分成两个等腰三角形时,可考虑以下三种分割方法:
分割方法
顶角度数
分析
AD=DE
120,150
∵AD=DE,∴∠AED=∠EAD=30°,∴∠ADE=120°.
∵∠ADB=135°,∴∠EDB=15°,又∠EBD=15°,∴△BDE是等腰三角形,∴∠BED=150°.
AD=AE
不符合题意
∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=75°.∵∠ADB=135°,
∴∠BDE=60°,又∠EBD=15°,∴∠BED=105°,∴△BED不是等腰三角形.
AE=DE
不符合题意
∵AE=DE,∴∠ADE=30°.∵∠ADB=135°,∴∠BDE=105°,又∠EBD=15°,∴∠BED=60°,∴△BED不是等腰三角形.
综上所述,作出的分割线只有一条符合题意,此时两个等腰三角形的顶角分别为120°和150°.
4.(2015·西宁中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是 .
【答案】110°或70°
【解析】此题要分情况讨论:
当等腰三角形的顶角是钝角时(如图
(1)),腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐角时(如图
(2)),腰上的高在其内部,故顶角是90°-20°=70°.故答案为110°或70°.
5.(2015·丹东中考)如图,直线OD与x轴所夹的锐角为30°,OA1的长为1,△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3,…,△AnAn+1Bn均为等边三角形,点A1、A2、A3、…、An+1在x轴的正半轴上依次排列,点B1、B2、B3、…、Bn在直线OD上依次排列,那么点Bn的坐标为.
【答案】
(也可写成
)
【解析】∵△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3、…、△AnAn+1Bn均为等边三角形,∴△OA1B1、△OA2B2、△OA3B3、…、△OAnBn均为底角为30°的等腰三角形,∴A1A2=A1B1=OA1=1,∴B1的横坐标为
,纵坐标为
,∴B1的坐标为
,同理B2的坐标为(3,
),B3的坐标为(6,
),∴Bn的坐标为
.故填
,也可写成
.
6.(2015·四川中考)一个等腰三角形两边的长分别为2cm,5cm,则它的周长为____cm.
【答案】12
【解析】∵等腰三角形的两条边长分别为2cm,5cm,∴由三角形三边关系可知该等腰三角形的腰长不可能为2,只能为5,∴等腰三角形的周长=5+5+2=12(cm).故答案是12.
7.(2015·泉州中考)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=_______°.
【答案】30
【解析】∵在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,∴∠BAD=
∠BAC=
×60°=30°.故填30.
8.(2015·毕节中考)如图,等腰三角形ABC的底角为72°,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连接BE,则∠EBC的度数为_________.
【答案】36°
【解析】∵等腰三角形ABC的底角为72°,∴∠ABC=∠C=72°,∴∠A=180°-72°×2=36°,∵DE为AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=36°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=
72°-36°=36°,故答案为36°.
9.(2015·绍兴中考)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点
之间的距离是cm.
【答案】18
【解析】∵OA=OB=18cm,∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=OB=
18cm,故答案为18.
10.(2015·甘孜州中考)边长为2的正三角形的面积是____________.
【答案】
【解析】如图,过A作AD⊥BC,∵AB=AC=BC=2,∴BD=CD=
BC=1,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD=
,则S△ABC=
BC•AD=
,故答案为
.
11.(2015·乐山中考)如图,在等腰三角形
中,
,
垂直平分
,已知
,则
.
【答案】15
【解析】∵
垂直平分
,∴∠AED=∠BED=90°,∠A=∠ABD.∵∠ADE=40°,
∴∠A=∠ABD=50°.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-50°)÷2=65°.∴∠DBC=
∠ABC-∠ABD=15°,故答案为15.
12.(2015·乌鲁木齐中考)等腰三角形的一个外角是60°,则它的顶角的度数是.
【答案】120°
【解析】①若这个60°的角是等腰三角形顶角的外角,则顶角为120°,此时每个底角都是30°,符合题意;②若这个60°的角是等腰三角形底角的外角,则每个底角都为120°,与三角形的内角和等于180°矛盾,不符合题意.故答案为120°.
三、解答题
1.(2015·南京中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:
画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
解:
满足条件的三角形有以下五种情形:
2.(2015·宿迁中考)如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:
∠C=2∠D.
证明:
∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠C,∠ABD=∠D.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D,∴∠ABD+∠CBD=2∠D,即∠ABC=2∠D,∴∠C=2∠D.
3.(2015·青岛中考)
问题提出:
用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
问题探究:
不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形.为了探究m与n之间的关系,我们可以先从简单情形入手,通过试验、观察、类比,最后归纳、猜测得出结论.
探究一:
(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
此时,显然能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=3时,m=1.
(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
只能分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成等腰三角形.
所以,当n=4时,m=0.
(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成等腰三角形;
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=5时,m=1.
(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成等腰三角形;
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=6时,m=1.
综上所述,可得:
表①
n
3
4
5
6
m
1
0
1
1
探究二:
(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(仿照上述探究方法,写出解析,并把结果填在表②中)
(2)用8根、9根、10根相同的木棒分别搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?
(只需把结果填在表②中)
表②:
n
7
8
9
10
m
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究……
问题解决:
用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
(设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)
表③:
n
4k-1
4k
4k+1
4k+2
m
问题应用:
用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?
(要求写出解析)
其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒(只填结果).
解:
(1)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒,则不能搭成等腰三角形;
若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.
所以,当n=7时,m=2.
(2)表②:
n
7
8
9
10
m
2
1
2
2
问题解决:
表③:
n
4k-1
4k
4k+1
4k+2
m
k
k-1
k
k
问题应用:
因为2016÷4=504,
所以能搭成504-1=503种不同的等腰三角形.面积最大的等腰三角形每腰用了672根木棒.
4.(2015·丽水中考)如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规作出点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连结AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
解:
(1)点D的位置如图所示(D为AB中垂线与BC的交点).
(2)∵在Rt△ABC中,∠B=37°,∴∠CAB=53°.
又∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B=37°.
∴∠CAD=53°-37°=16°.
5.(2015·北京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:
∠CBE=∠BAD.
证明:
方法1:
∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠CAD+∠C=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=
∠CAD,∴∠CBE=∠BAD.
方法2:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∴∠CBE=∠BAD.
6.(2015·珠海中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB (1)利用尺规作图,在BC边上确定点E,使点E到边AB,AD的距离相等(不写作法,保留作图痕迹); (2)若BC=8,CD=5,则CE=___________. 解: (1)如图所示. (2)∵E到边AB,AD的距离相等, ∴∠BAE=∠DAE. ∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∴∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE. ∴CE=BC-BE=8-5=3.
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