中考数学压轴题几何变换10题.docx
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中考数学压轴题几何变换10题
2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题):
几何变换(10
题)
一、解答题(共10小题)
1.(2018?
金水区校级四模)如图乙,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,
BACDAE90,点P为射线BD,CE的交点.
(1)如图甲,将ADE绕点A旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是.
1BDCE②BDCE③ACEDBC45④BE22(AD2AB2)
(2)若AB4,AD2,把ADE绕点A旋转,
①当EAC90时,求PB的长;②求旋转过程中线段PB长的最大值.
2.(2016?
天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把ABO绕点B逆时针旋转,得△ABO,点A,O旋转后的对应点为A,O,记旋转角为.
(Ⅰ)如图①,若90,求AA的长;
(Ⅱ)如图②,若120,求点O的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,边OA上的一点P旋转后的对应点为P,当OPBP取得最小值时,求点P的坐标(直接写出结果即可)
3.(2019?
沈丘县一模)观察猜想
(1)如图①,在RtABC中,BAC90,ABAC3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是,BEBF;
探究证明
2)在
(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD1,其余条件不变,如图②,判断BE
与BF的位置关系,并求BEBF的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸
(3)如图③,在ABC中,ABAC,BAC,点D在边BA的延长线上,BDn,
值是多少?
请用含有n,的式子直接写出结论.
4.(2016?
湖州)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120
连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角EDF,连接BF,则BEBF的
的平行四边形
ABCD(BAD120)进行探究:
将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形
ABCD所在平面内旋转,且60角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若ADAB,求证:
①BCEACF,②AEAFAC;
(2)类比发现
如图2,若AD2AB,过点C作CHAD于点H,求证:
AE2FH;
(3)深入探究
AE3AF
如图3,若AD3AB,探究得:
AE3AF的值为常数t,则t
AC上,CP3x,CQ4x(0x3).把PCQ绕点P旋转,得到PDE,点D落在线段PQ上.
1)求证:
PQ//AB;
2)若点D在BAC的平分线上,求CP的长;
3)若PDE与ABC重叠部分图形的周长为T,且12剟T16,求x的取值范围.
6.(2017?
天桥区三模)如图1,已知线段BC2,点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点,且EDBD,连接DE,BE.
(1)依题意补全图1,并证明:
BDE为等边三角形;
(2)若ACB45,点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB.将CDE绕点D顺时针旋转度(0360)得到△CDE,点E的对应点为E,点C的对应点为点
C.
①如图2,当30时,连接BC.证明:
EFBC;
2如图3,点M为DC中点,点P为线段CE上的任意一点,试探究:
在此旋转过程中,
3
线段PM长度的取值范围?
1)填空:
OBC
1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,OMN的面积为y,求
8.(2015?
烟台)【问题提出】
AB上,点D在直线BC上,且EDEC,
如图①,已知ABC是等腰三角形,点E在线段将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF
试证明:
ABDBAF
类比探究】
(1)如图②,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?
请说明理由
(2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,
(1)当正方形ABCD旋转到MAN的外部(顶点A除外)时,AM,AN分别与正方形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.
①如图1,若BMDN,则线段MN与BMDN之间的数量关系是;
②如图2,若BMDN,请判断①中的数量关系是否仍成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,当正方形ABCD旋转到MAN的内部(顶点A除外)时,AM,AN分别与直线BD交于点M,N,探究:
以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是何种
三角形,并说明理由.
10.(2015?
济南)如图
1,在ABC中,ACB
90,ACBC,EAC90,点M为
射线AE上任意一点(不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90得
到线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.
(1)直接写出NDE的度数;
(2)如图2、图3,当EAC为锐角或钝角时,其他条件不变,
(1)中的结论是否发生变化?
如果不变,选取其中一种情况加以证明;如果变化,请说明理由;
(3)如图4,若
EAC15,ACM60,直线CM与AB交于G,BD62,其
2
他条件不变,求线段AM的长.
2020年中考数学复习之挑战压轴题(解答题):
几何变换(10
题)
参考答案与试题解析
一、解答题(共10小题)
1.(2018?
金水区校级四模)如图乙,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,
BACDAE90,点P为射线BD,CE的交点.
(1)如图甲,将ADE绕点A旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,
则下列给出的四个结论中,其中正确的是①②③.
①BDCE②BDCE③ACEDBC45④BE22(AD2AB2)
(2)若AB4,AD2,把ADE绕点A旋转,
①当EAC90时,求PB的长;
②求旋转过程中线段PB长的最大值.
考点】RB:
几何变换综合题
分析】
(1)①由条件证明
ABD
ACE,
就可以得到结论②由
ABD
ACE就可以得出
ABD
ACE,就可
以得出
BDC
90,进而得出
结论
;③由条件知
ABC
ABDDBC
45,由
ABD
ACE就可以得出结论;
④
BDE为直角三角形
就可以得出BE2BD2DE2,由DAE和BAC是等腰直角三角形就有DE22AD2,
222222
BC22AB2,就有BC2BD2CD2BD2就可以得出结论;
(2)①分两种情形a、如图乙1中,当点E在AB上时,BEABAE2.由
PBBE
PEB∽AEC,得,由此即可解决问题.b、如图乙2中,当点E在BA延长线
ACCE
上时,BE6.解法类似;
②如图乙3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在eA上方与eA相切时,PB的值最大.分别求出PB即可;
BACDACDAEDAC,即BADCAE.在ABD和ACE中,
ADAE
BADCAE,
ABAC
ABDACE(SAS),
BDCE,①正确;
②QABDACE,
ABD
ACE
.
Q
CAB
90,
ABD
AFB
90,
ACE
AFB
90.
Q
DFC
AFB
ACE
DFC
90
FDC
90.
BDCE,②正确;
4QBAC90,ABAC,第8页(共40页)
ABC45,
ABDDBC45.
ACEDBC45,③正确;
5QBDCE,
222
BE2BD2DE2,
QBACDAE90,ABAC,ADAE,
DE22AD2,BC22AB2,
2222
QBC2BD2CD2BD2,
2222
2AB2BD2CD2BD2,
222
BE22(AD2AB2),④错误.
故答案为:
①②③.
CEAE2AC225,同
(1)可证ADBAEC.
DBAECA.
QPEBAEC,
PEB∽AEC.
PBBE
ACCE
PB2
425
PB
b、如图乙2中,当点E在BA延长线上时,BE6.
QEAC90,
CEAE2AC2
25,
同
(1)可证ADB
AEC
DBAECA.
QBEPCEA,
PEB∽AEC,
PBBE,
ACCE,
PB6
4
PB
综上,
②解:
25
125
5PB45或125.
55
PB的
如图乙3中,以A为圆心AD为半径画圆,当CE在eA上方与eA相切时,
PB最大,
大,因此PB最大)
(PBC是直角三角形,斜边
BC为定值,
BCE最
QAEEC,
ECAC2AE223,
由
(1)可知,ABDACE,
ADBAEC90,BDCE23,
ADPDAEAEP90,
四边形AEPD是矩形,
PDAE2,
PBBDPD232.
综上所述,PB长的最大值是232.
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会分类讨论的思想思考问题,学会利用图形的特殊位置解决最值问题,属于中考压轴题.
2.(2016?
天津)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把ABO绕点B逆时针旋转,得△ABO,点A,O旋转后的对应点为A,O,记旋转角为.
(Ⅰ)如图①,若90,求AA的长;
(Ⅱ)如图②,若120,求点O的坐标;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,边OA上的一点P旋转后的对应点为P,当OPBP取得最小
考点】RB:
几何变换综合题
专题】15:
综合题
分析】
(1)如图①,先利用勾股定理计算出AB5,再根据旋转的性质得BABA,
ABA90,则可判定ABA为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求AA的长;
2)作OHy轴于H,如图②,利用旋转的性质得BOBO3,OBO120,则
HBO
60,再在RtBHO中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和
OH的长,然后利用坐标的表示方法写出O点的坐标;
3)由旋转的性质得BPBP,则OPBPOPBP,作B点关于x轴的对称点C,连接OC交x轴于P点,如图②,易得OPBPOC,利用两点之间线段最短可判断此
时OP
BP的值最小,接着利用待定系数法求出直线OC的解析式为y53x3,从
3
而得到
P(33,0),则OPOP,作PDOH于D,然后确定DPO30后
利用含
30度的直角三角形三边的关系可计算出PD和DO的长,从而可得到P点的坐
标.
【解答】解:
(1)如图①,
Q点A(4,0),点B(0,3),
OA4,OB3,
AB32425,
QABO绕点B逆时针旋转90,得△ABO,
BABA,ABA90,
ABA为等腰直角三角形,
AA2BA52;
(2)作OHy轴于H,如图②,
QABO绕点B逆时针旋转120,得△ABO,
BOBO3,OBO120,
HBO60,
在RtBHO中,QBOH90HBO30,
BH1BO3,OH3BH33,
222
39
OHOBBH3,
22
OPBPOPBP,作B点关于x轴的对称点C,连接OC交x轴于P点,如图②,
BP的值最小,
则OPBPOPPCOC,此时OP
Q点C与点B关于x轴对称,
C(0,3),
两点之间线段最短解决最短路径问题;记住含30度的直角三角形三边的关系.
3.(2019?
沈丘县一模)观察猜想
置关系是BFBE,BEBF
探究证明
拓展延伸
2)如图②中,作DH//AC交BC于H.利用
(1)中结论即可解决问题;
解答】解:
(1)如图①中,
QEAFBAC90,
BAFCAE,
QAFAE,ABAC,
BAFCAE,
ABFC,BFCE,
QABAC,BAC90,
ABCC45,
FBEABFABC90,BCBEECBEBF,故答案为:
BFBE,BC.
2)如图②中,作DH//AC交BC于H.
QAC//DH,
ACBH,BDHBAC
QABAC,
ABCACB
DBHH,
DBDH,
QEDF
BDH,
BDF
HDE,
QDFDE
,DBDH,
BDF
HDE,
BF
EH,
BF
BE
EHBEBH,
QDB
DH,
DMBH,
BM
MH
,BDMHDM
BM
MH
BDgsin.
2
BF
BE
BH2ngsin.
2
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
4.(2016?
湖州)数学活动课上,某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD(BAD120)进行探究:
将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).
(1)初步尝试
如图1,若ADAB,求证:
①BCEACF,②AEAFAC;
(2)类比发现
如图2,若AD2AB,过点C作CHAD于点H,求证:
AE2FH;
(3)深入探究
如图3,若AD3AB,探究得:
AE3AF的值为常数t,则t7.
AC
分析】
(1)①先证明ABC,
ACD都是等边三角形,再证明
BCEACF即可解决问
题.②根据①的结论得到
BE
AF,由此即可证明.
2)设DH
x,由题意,
CD
2x,CH3x,由ACE∽
HCF,得AE
AC由此即
FH
CH
可证明.
3)如图
3中,作CN
AD
于N,CMBA于M,CM
与AD交于点
H.先证明
CFN∽
CN
CEM,得
FN,由ABgCMADgCN,AD
3AB,推出
CM3CN,
CMEM
FN1
,设CNa,FNb,则CM3a,EM3b,想办法求出AC,EM3
AE3AF即可解决问题.
解答】解;
(1)①Q四边形ABCD是平行四边形,BAD120,
D
B60,
QAD
AB,
ABC,ACD都是等边三角形,
BCAD60,ACB60,BCAC,QECF60,
BCEACEACFACE60,
BCEACF,
在BCE和ACF中,
BCAF
BCAC
BCEACF
②Q
BCE
ACF,
BE
AF,
AE
AF
AEBEABAC
(2)
设DH
x,由题意,CD
AD
2AB
4x,
AH
AD
DH3x,
QCH
AD,
AC
AH
2CH223x,
AC
22
2CD2
AD2,
BCE
ACF.
2x,CH3x,
ACD
90,
BAC
ACD
CAD
30,
ACH
60,
ECF
60,
HCF
ACE
ACE∽
HCF
90
Q
AEAC2
FHCH2
(3)如图
3中,作CN
AD于N,
CM
QECF
EAF
180
AEC
AFC
180
QAFC
CFN
180
CFN
AEC,
Q
MCNF
90
CFN∽
CEM,
AE2FH.
BA于M,CM与AD交于点H.
CNFN
QABgCM
ADgCN,AD3AB,
CM3CN,
CN
FN
1
,设CNa,FN
CM
EM
3
QMAH
60
,M90,
CMEM
AHMCHN30,
b,则CM
3a,EM
3b,
HC2a,HM
a,HN3a,
AM
3a,
a,
3
AH
23
a
3
ACAM2CM22321a,
AE3AF(EMAM)3(AHHN
FN)EMAM3AH3HN3FN3AH3HNAM
143
a
3
AE3AF
AC
143
a
2321aa7.
a
3
故答案为7.
【点评】本题考查几何变换综合题.全等三角形的判定和性质.相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
5.(2015?
南通)如图,RtABC中,C90,AB15,BC9,点P,Q分别在BC,AC上,CP3x,CQ4x(0x3).把PCQ绕点P旋转,得到PDE,点D落在线段PQ上.
(1)求证:
PQ//AB;
(2)若点D在BAC的平分线上,求CP的长;
(3)若PDE与ABC重叠部分图形的周长为T,且12剟T16,求x的取值范围.
考点】RB:
几何变换综合题
专题】16:
压轴题
分析】
(1)先根据勾股定理求出AC的长,再由相似三角形的判定定理得出PQC∽BAC,由相似三角形的性质得出CPQB,由此可得出结论;
2)连接AD,根据PQ//AB可知ADQDAB,再由点D在BAC的平分线上,得出DAQDAB,故ADQDAQ,AQDQ.在RtCPQ中根据勾股定理可知,
AQ124x,故可得出x的值,进而得出结论;
3)当点E在AB上时,根据等腰三角形的性质求出x的值,再分0x,
情况进行分类讨论.
解答】
(1)证明:
Q在RtABC中,AB15,BC9,
ACAB2BC2
152
92
PC
3xx,
QC
4x
x
BC
93,
AC
12
3,
PC
QC.
BC
AC.
C
C,
PQC∽BAC
12.
Q
Q
CPQB,
PQ//AB;
(2)解:
连接AD,
QPQ//AB,
ADQDAB.
Q点D在BAC的平分线上,
DAQDAB,
ADQDAQ,
AQDQ.
在RtCPQ中,PQ5x,
QPDPC3x,
DQ2x.
QAQ124x,
124x2x,解得x2,
CP3x6.
3)解:
当点
E在AB上时,
QPQ//AB,
QCPQ
DPE,
CPQ
B,
B
PGB,
PB
PG
5x,
3x
5x9
,解得
9x.
8
①当0
9
x,8
时,T
PDDE
PE3x
4x
5x
12x,
②当9
8
x3时,设
PE交AB
于点G,
DE交AB于F,
HG
DF,
FG
DH,Rt
PHG∽Rt
PDE
GH
PG
PH.
ED
PE
PD.
QPG
PB
93x,
GH
93xPH
4x
5x
3x
GH
4
45(9
3x),
3
PH(9
5
3x),
FG
DH
3x3(93x),
5
TPGPDDF
FG(9
3x)3x
4
45(9
3x)
[3x
12
x
5
54,
5,
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