数学的历史.docx
- 文档编号:23389759
- 上传时间:2023-05-16
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:115.69KB
数学的历史.docx
《数学的历史.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学的历史.docx(30页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数学的历史
数学的历史
数统治着宇宙。
——毕达哥拉斯
第一章:
基础数学
概括:
数学形成时期,这是人类建立最基本的数学概念的时期。
人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念,简单的计算法,并认识了最基本最简单的几何形式,算术与几何还没有分开。
1、数学概念
数学概念(mathematicalconcepts):
是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式,即一种数学的思维形式。
在数学中,作为一般的思维形式的判断与推理,以定理、法则、公式的方式表现出来,而数学概念则是构成它们的基础。
正确理解并灵活运用数学概念,是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。
正确地理解和形成一个数学概念,必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征,及其外延——对象的“量”的范围。
一般来说,数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。
但在这之前,有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。
到小学高年级,开始出现以文字表达一个数学概念,即定义的方式,如分数、比例等。
有些数学概念要经过长期的酝酿,最后才以定义的形式表达,如函数、极限等。
定义是准确地表达数学概念的方式。
许多数学概念需要用数学符号来表示。
如⊿y表示函数y的微分。
数学符号是表达数学概念的一种独特方式,对学生理解和形成数学概念起着极大的作用,它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。
许多数学概念的定义就是用数学符号来表达,从而增强了科学性。
许多数学概念还需要用图形来表示。
有些数学概念本身就是图形,如平行四边形、棱锥、双曲线等。
有些数学概念可以用图形来表示,比如y=x+1的图像。
有些数学概念具有几何意义,如函数的微分。
数形结合是表达数学概念的又一独特方式,它把数学概念形象化、数量化了。
总之,数学概念是在人类历史发展过程中,逐步形成和发展的。
2、自然数
性质:
对自然数可以定义加法和乘法。
其中,加法运算“+”定义为:
a+0=a;
a+S(x)=S(a+x),其中,S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”,那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b),即,“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
同理,乘法运算“×”定义为:
a×0=0;
a×S(b)=a×b+a
自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
但相减和相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。
分类:
①按能否被2整除分,可分为奇数和偶数。
1、奇数:
不能被2整除的数叫奇数。
2、偶数:
能被2整除的数叫偶数。
也就是说,除了奇数,就是偶数
注:
0是偶数。
(2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。
偶数可以被2整除,0照样可以,只不过得数依然是0而已)。
②按因数个数分,可分为质数、合数、1和0。
1、质数:
只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。
也称作素数。
2、合数:
除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
3、1:
只有1个因数。
它既不是质数也不是合数。
4、当然0不能计算因数,和1一样,也不是质数也不是合数。
备注:
这里是因数不是约数。
特殊的自然数0
0既不是正数也不是负数,而是正数和负数之间的一个数。
当某个数X大于0(即X>0)时,称为正数;反之,当X小于0(即X<0)时,称为负数;而这个数X等于0时,这个数就是0。
应用
1、自然数列在“数列”,有着最广泛的运用,因为所有的数列中,各项的序号都组成自然数列。
任何数列的通项公式都可以看作:
数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。
2、求n条射线可以组成多少个角时,应用了自然数列的前n项和公式;第1条射线和其它射线组成n-1个角,第2条射线跟余下的其它射线组成n-2个角,依此类推得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2
3、求直线上有n个点,组成多少条线段时,也应该了自然数列的前n项和公式
第1个点和其它点组成n-1条线段,第2个点跟余下的其它点组成n-2条线段,依此类推同样可以得到式子:
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2
第二章:
初等数学
概括:
初等数学,即常量数学时期。
这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。
这个时期从公元前5世纪开始,也许更早一些,直到17世纪,大约持续了两千年。
这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支:
算数、几何、代数、三角。
1、算数
介绍
算术算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。
它研究数的性质及其运算。
把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来,并加以整理,就形成了最古老的一门数学——算术。
在古代全部数学就叫做算术,现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。
规律
算术的基础在于:
整数的加法和乘法服从某些规律。
为了要叙述这些具有普遍性的规律,我们不能用像1,2,3这种表示特定数的符号。
两个整数,不管它们的次序如何,它们的和相同。
而1+2=2+1
这一命题仅仅是这一般规律的一个特殊例子。
因此当我们希望表示整数之间的某个关系——不论涉及的一些特定的整数值如何——是正确的,我们可以用字母a,b,c,…作为表示整数的符号。
于是,我们所熟知的五个算术规律可叙述为:
1)a+b=b+a,
2)ab=ba,
3)a+(b+c)=(a+b)+c,
4)(ab)c=a(bc),
5)a(b+c)=ab+ac.
前两个可以说明人们可以交换加法或乘法中元素的次序。
第三个表明三个数相加时,或者我们把第一个加上第二个与第三个的和;或者我们把第三个加上第一个与第二个的和,其结果都相同。
第四个是乘法的结合律。
最后一个表明用一个整数去乘一个和时,我们可以用这整数去乘这和的每一项,然后把这些乘积加起来。
演变
算术是数学的一个分支,其内容包括自然数和在各种运算下产生的性质,运算法则以及在实际中的应用。
可是,在数学发展的历史中,算术的含义比现在广泛得多。
在中国古代,算是一种竹制的计算器具,算术是指操作这种计算器具的技术,也泛指当时一切与计算有关的数学知识。
算术一词正式出现于《九章算术》中。
而当时的“算术”是泛指数学的全体,与现代的意义不同。
直到宋元时代,才出现了“数学”这一名词,在数学家的菱中,往往数学与算学并用。
当然,此处的数学仅泛指中国古代的数学,它与古希腊数学体系不同,它侧重研究算法。
从19世纪起,西方的一些数学学科,包括代数、三角等相继传入中国。
1953年,中国数学会成立数学名词审查委员会,确立起“算术”现在的意义,而算学与数学仍并存使用。
发展
关于算数的产生,还是要从数谈起。
数是用来表达、讨论数量问题的,有不同类型的量,也就随着产生了各种不同类型的数。
远在古代发展的最初阶段,由于人类日常生活与生产实践中的需要,在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。
使用
1、十进制计数法2、算术运算3、加法(+)
4、减法(−)5、乘法(×或·)6、除法(÷或/)
2、几何
定义
几何,就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一,与分析、代数等等具有同样重要的地位,并且关系极为密切。
古代几何
(1)、国外
最早记载可以追溯到古埃及、古印度、古巴比伦,其年代大约始于公元前3000年。
早期的几何学是关于长度,角度,面积和体积的经验原理,被用于满足在测绘,建筑,天文,和各种工艺制作中的实际需要。
埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理(勾股定理);埃及人有方形棱锥的锥台(截头金字塔形)体积正确公式;而巴比伦有一个三角函数表。
(2)、中国
中国文明和其对应时期的文明发达程度相当,因此它可能也有同样发达的数学,但是没有那个时代的遗迹可以使我们确认这一点。
也许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使用,而不是用陶土或者石刻来记录他们的成就。
发展
几何学发展历史悠长,内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
几何思想是数学中最重要的一类思想。
目前的数学各分支发展都有几何化趋向,即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。
几何作图三大问题
①化圆为方,求作一正方形,使其面积等于一已知圆
②三等分任意角;
③倍立方,求作一立方体,使其体积是一已知立方体的两倍。
(这些问题的难处,是作图只许用直尺【没有刻度,只能作直线的尺】和圆规。
)
3、代数
简介
代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
初等代数是更古老的算术的推广和发展。
基本内容
三种数——有理数、无理数、复数
三种式——整式、分式、根式
中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容,
但又不完全相同。
比如,严格的说,数的概念、排列和组合应归入
代数学之父—丢番图
算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程
的方法,但不等式作为一种估算数值的方法,本质上是属于分析数学
的范围;坐标法是研究解析几何的……。
这些都只是历史上形成的一
种编排方法。
初等代数是算术的继续和推广,初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。
代数运算的特点是只进行有限次的运算。
全部初等代数总起来有十条规则。
这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
规则
五条基本运算律:
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律;
两条等式基本性质:
等式两边同时加上一个数,等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数,等式不变;三条指数律:
同底数幂相乘,底数不变指数相加;指数的乘方,底数不变,指数相乘;积的乘方等于乘方的积。
初等代数学进一步的向两个方面发展,一方面是研究未知数更多的一次方程组;另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。
这时候,代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。
(1)a-b=0,a=b
(2)a+b=0,a=-b,b=-a
(3)a*b=0,a=0或b=0
(4)(a-b)(a-b)=0,a=b
解方程
(1)
初等代数的中心内容是解方程,因而长期以来都把代数学理解成方程的科学,数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。
它的研究方法是高度计算性的。
要讨论方程,首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式,然后根据等量关系列出方程。
所以初等代数的一个重要内容就是代数式。
由于事物中的数量关系的不同,大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。
代数式是数的化身,因而在代数中,它们都可以进行四则运算,服从基本运算定律,而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。
通常把这六种运算叫做代数运算,以区别于只包含四种运算的算术运算。
4、三角
简介
研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。
三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础,应用于测量为目的,同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。
三角学分为平面三角学与球面三角学。
它们都是研究三角形中边与角之间的关系的学科。
平面三角学分为角的度量、三角函数与反三角函数、诱导公式、和与差的公式、倍角、半角公式、和差化积与积化和差公式、解三角形等内容;球面三角学研究球面上由大圆弧构成的球面三角形的边与角之间的关系,在天文学、测量学、制图学、结晶学、仪器学等方面有广泛的应用。
古代研究
以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础,达到测量上的应用为目的的一门学科。
同时还研究三角函数的性质以及它的应用。
古代埃及人已有三角学知识,三角法主要是适应测量上的需要而产生的。
例如,建筑金字塔,整理尼罗河泛滥后的耕地,以及通商航海,观测天象的需要。
希腊的自然哲学家泰勒斯的相似理论,可以认为是三角学的萌芽,但历史上都认为希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。
他著有三角学12卷,并作成弦表。
印度人从天文、测量的角度,曾研究过三角学,在公元6世纪,有阿耶波多第一也曾作出正弦表。
中国唐代,瞿昙悉旺达在他所编的《开元占经》中曾介绍了印度的正弦表。
德国的J.雷格蒙塔努斯曾研究过天文学与三角学。
在他的《论三角》一书中,有仿印度人的正弦表作成的非常精密的正、余弦表。
他对天文、航海、测量方面都有很大的贡献。
16世纪法国著名数学家F.韦达的《应用于三角形的数学法则》,是他对三角法研究的第一本书,其中包括他对解直角三角形、斜三角形的一些贡献,例如有正切定理;17世纪法国数学家棣莫弗也研究过三角问题。
他曾发现有名的棣莫弗定理:
从17世纪后半期到18世纪,I.牛顿和丹尼尔第一·伯努利曾发现各种三角级数,直到近代,才在三角学中引进现在使用的三角符号,并将三角法作为解析学的一部分,这是从L.欧拉开始的,欧拉曾发现:
中国的戴煦在他所著的《外切密率》中,讨论了三角函数线与弧度之间的关系,并在他的《假数测图》中,结合三角函数与对数函数的幂级数阐明了三角函数对数表的作法。
重要的三角函数
基本函数
英文
缩写
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sin
y/r
∠O的对边比斜边
余弦函数
cosine
cos
x/r
∠O的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tan
y/x
∠O的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cot
x/y
∠O的邻边比对边
正割函数
Secant
sec
r/x
∠O的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
csc
r/y
∠O的斜边比对边
(注:
tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法。
且因为cot、sec、csc易由sin、cos、tan推出,所以现在初、高中教材中已将其删去不讲。
)
特点与应用
早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,是天文观测结果推算的一种方法,因而最先发展起来的是球面三角学.直到13世纪中亚数学家纳速拉丁在总结前人成就的基础上,著成《完全四边形》一书,才把三角学从天文学中分离出来.
15世纪,德国的雷格蒙塔努斯(J·Regiomontanus,1436—1476)的《论三角》一书的出版,才标志古代三角学正式成为独立的学科.这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等,而且给出了现代三角学的雏形.
16世纪法国数学家韦达(F·Viete,1540—1603)则更进一步将三角学系统化,在他对三角研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中,就有解直角三角形、斜三角形等的详述.
18世纪瑞士数学家欧拉(L·Euler,1707—1783),他首先研究了三角函数.这使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来,成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科.
欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数,彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题,同时引进直角坐标系,在代数与几何之间架起了一座桥梁,通过数形结合,为数学的学习与研究提供了重要的思想方法.著名的欧拉公式,把原来人们认为互不相关的三角函数和指数函数联系起来了。
欧拉
第三章:
变量数学
简介:
变量数学时期。
变量数学产生于17世纪,大体上经历了两个决定性的重大步骤:
第一步是解析几何的产生;第二步是微积分的创立。
1、解析几何
概括
解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。
平面解析几何通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系,运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题。
17世纪以来,由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展,以及初等几何和初等代数的迅速发展,促进了解析几何的建立,并被广泛应用于数学的各个分支。
解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破。
基本内容
在解析几何中,首先是建立坐标系。
坐标系包括直角坐标系、斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。
在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系。
这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
用这种方法研究几何学,通常就叫做解析法。
直角坐标系
解析几何的创立,引入了一系列新的数学概念,特别是将变量引入数学,使数学进入了一个新的发展时期,这就是变量数学的时期。
解析几何在数学发展中起了推动作用。
应用
解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
在平面解析几何中,除了研究直线的有关性质外,主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质。
在空间解析几何中,除了研究平面、直线有关性质外,主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题:
一类是满足给定条件点的轨迹,通过坐标系建立它的方程;另一类是通过方程的讨论,研究方程所表示的曲线性质。
运用坐标法解决问题的步骤是:
首先在平面上建立坐标系,把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程;然后运用代数工具对方程进行研究;最后把代数方程的性质用几何语言叙述,从而得到原先几何问题的答案。
坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。
先前被看作几何学中的难题,一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。
坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。
2、微积分
简介
微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
创立
从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。
极限的产生
公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。
比如中国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。
微积分产生
到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来,大约有四种主要类型的问题:
第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了一个基本概念,在那以后的二百年里,这个概念在几乎所有的工作中占中心位置,这就是函数——或变量间关系——的概念。
紧接着函数概念的采用,产生了微积分,它是继Euclid几何之后,全部数学中的一个最大的创造。
围绕着解决上述四个核心的科学问题,微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。
位于他们全部贡献顶峰的是牛顿和莱布尼茨的成就。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
艾萨克·牛顿
例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲线的切线以及曲线围成的面积问题有过深入的研究,并且得到了一些结果,但是他们都没有意识到它的重要性。
在十七世纪的前三分之二,微积分的工作沉没在细节里,作用不大的细微末节的推理使他们筋疲力尽了。
只有少数
几个大学家意识到了这个问题,而这普遍的东西是由两个包罗万象
的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。
十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
创立意义
微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。
英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。
应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。
他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。
牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。
这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。
莱布尼茨
直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,
建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了
微积分的坚定基础。
才使微积分进一步的发展开来。
现代发展
微积分不断深化
在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后,Lebesgue又引进了测度的概念,进一步将Riemann积分的含义扩展。
例如著名的Dirichilet函数在Riemann积分下不可积,而在Lebesgue积分下便可积。
前苏联
前苏联著名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性,建立了广义函数和广义导数的概念。
这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义,更重要的是,它使得泛函分析等现在数学工具得以应用到微分方程理论中,从而开辟了微分方程理论的新天地。
中国
中国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域,便是利用微积分的理论来研究几何,这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥着巨大的作用,并且这门学科至今仍然很活跃。
前不久由俄罗斯数学家佩雷尔曼完成的庞加莱猜想便属于这一领域。
在多元微积分学中,Newton—Leibniz公式的对照物是Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及经典的Stokes公式。
无论在观念上或者在技术层次上,他们都是Newton—Leibniz公式的推广。
随着数学本身发展的需要和解决问题的需要,仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。
有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。
在微分流形上,外微分式扮演着重要的角色。
于是,外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。
而经典的Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及Stokes公式也得到了统一。
微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始,进而达到抽象思维,也就是从感性认识到理性认识的过程。
人类对客观世界的规律性的认识具有相对性,受到时代的局限。
随着人类认识的深入,认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展。
第四章:
现代数学
简介:
现代数学。
现代数学时期,大致从19世纪上半年开始。
数学发展的现代阶段的开端,以其所有的基础--------代数、几何、分析中的深刻变化为特征。
高等代数
研究对象
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。
现在大学里开设的高等
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 历史
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)