建模论文《房价问题的相关分析》.docx

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建模论文《房价问题的相关分析》

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

参赛队员（打印并签名）：

1.刘伟

2.薛飞

3.孙国力

日期：

2011年8月25日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

对中国房价问题的相关分析

摘要

根据中国的国情，我国的房价近几年变化很大，房价问题在我国备受关注，时刻反映着我国的一些基本国情与国家的经济状况。

对我国的房价进行一定的分析和预测，是十分必要的。

而对我国房价的分析，主要是判断我国几类典型城市的房价合理与否；其次是预测我国这些城市未来的房价走势；最后，就它们对我国经济的影响做一个定量的分析。

在对我国房价合理性的判断时主要选用了分析数学中的聚类分析法，首先建立了聚类分析模型，之后依据此方法将所选城市按不同年份分为了不同三类，经过对各地区的经济情况和房价收入比的对比分析，以其为衡量标准得到我国北京，上海两地的房价近年来一直呈现不合理的态势，而福州，昆明、西安等城市只是2009年左右房价开始节节攀升，以往各年的房价还是较为合理的。

对于我国未来房价的预测主要选用了数学里的拟和方法，建立了拟和模型。

通过对以往各大城市2004到2011年商品房每平米均价与年份的拟合得出2011年之后所选取的8大城市的未来房价以及之后的走势。

通过对拟和后数据的综合分析，得到所选8座城市的房价高低各不相同，走势也不净相同，各有差异。

通过拟合的方法，推测出2012年我国部分城市的房价为上海：

26833元，银川：

7762.7元，福州：

15429元，西安：

8932.2元，哈尔滨：

9005.9元，乌鲁木齐：

5828.1元，昆明：

8085.7元，北京：

23536元整体较2011年有所上涨。

依据我国各城市的房价走势和我国的国情，我国的经济受其变动的影响较为明显。

在对我国主要城市分析可以看出未来房价依然存在较多的不合理现象。

对于我国的特殊国情，房价上涨对我国经济有利也有弊。

好的是它可以拉动国民经济的快速增长，对经济增长有一定的促进作用，然而，由于房价上涨过快导致我国居民消费能力大大透支，从长远来看，还是弊大于利的。

在具体模型求解过程中对于一些变动较大的数据进行了合理性的分析，由于2011年仅仅是7月份之前的有效数据，对于这些数据进行了特殊处理，适当的放宽了数据的计算要求。

同时在进行分析时忽略了一些不可预知的因素，如房产商的炒作和不可控制的突发事件对房价的影响等。

据此，通过对我国房价的具体分析，整体来说，部分城市是房价确实存在一些问题，对于这些城市还有待于政府部门的相关调控政策。

综合起来，目前我国的房价现状整体处于合理范围。

关键字：

国情聚类分析拟合房价Matlab房价收入比

一、问题重述

房价问题与国民的计生和经济发展乃至社会稳定都有着重大的影响，世界各国政府都给予了大力关注。

而从我国取消福利分房制度以来，我国的房价一路飙升，它已经成为了全民关注的焦点之一。

社会各界都对此表达着自己的看法但至今尚未有一致的共识。

基于此，根据中国的国情，收集各方较为有效的数据，选取我国比较具有代表性的几类城市对房价的合理性及未来走势等问题进行定量分析，根据分析结果进一步探讨房价调控的具体措施以及对经济发展的影响并定量分析。

二、问题分析

根据中国的国情，中国的房价受地理区位影响较大。

影响房价的因素众多，其中最为关键的有房价收入比，以及该地区经济发展状况。

由于因素之间无法直接进行有效地函数关系判比，因此，可以用聚类分析方法进行聚类后用房价收入比分析判断；同时，要对未来房价进行预测则可建立相关数学模型进行拟合预测。

对于众多的数据和问题的细致研究，需要解决以下几个关键问题：

1、对数据进行适当的分析，判断中国较为典型城市的房价是否合理。

2、建立适当的模型，预测出未来的房价走势并量化分析。

3、给出房价调控的建议和措施并对经济发展的影响作出量化分析。

三、问题的假设

1、忽略突发事件对房价的冲击因素。

2、地方房价以政府公布的房屋均价为主，忽略不同户型间的差异。

3、不考虑地产商人的恶意炒作行为。

4、对于2011年以7月份统计数据为主。

5、政府调控始终对各地区房价影响相同。

6、各项资料可信度较高。

四、符号说明

1、

：

表示数据标准化处理后的数值。

2、

：

表示表单序号为

的城市每列的数据。

3、

：

表示每列中数据的平均值。

4、

:

表示每列数据的标准差。

5、

：

表示对北京拟合时的应变量。

6、

：

表示对银川拟合时的应变量。

7、

：

表示对福州拟合时的应变量。

8、

：

表示对上海拟合时的应变量。

9、

：

表示对西安拟合时的应变量。

10、

：

表示对昆明拟合时的应变量。

11、

：

表示对哈尔滨拟合时的应变量。

12、

：

表示对乌鲁木齐拟合时的应变量。

13、

：

表示对北京拟合时的自变量。

14、

：

表示对银川拟合时的自变量。

15、

：

表示对福州拟合时的自变量。

16、

：

表示对上海拟合时的自变量。

17、

：

表示对西安拟合时的自变量。

18、

：

表示对昆明拟合时的自变量。

19、

：

表示对哈尔滨拟合时的自变量。

20、

：

表示对乌鲁木齐拟合时的自变量。

五、模型的建立与求解

处理房价综合分析问题首先采用聚类分析法，之后根据房价收入比和地区的经济状况，来分析房价是否合理；之后，再建立拟合模型，解决对未来房价走势的分析；最后再利用分析所得数据分析使得房价合理的具体措施以及对经济的影响。

为解决对我国现行几个较为能概括地域特性的城市房价的分析，故选取分布在我国不同区域的典型城市，所选取的城市有：

北京、银川、福州、乌鲁木齐、哈尔滨、昆明、西安以及上海。

所选城市均分布于我国不同地带，各自之间没有较为明显的影响。

5.1利用聚类分析法确定房价是否合理

5.1.1必要数据的收集

（1）、通过查询相关权威网站

得到各大城市近几年房屋均价数据汇总如下：

表1（单位：

元／平米）

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

北京

4747

6770

8050

12436

13222

15051

22310

22767

银川

2108

2387

2455

2660

2800

3004

4690

5547

福州

3262

3798

4060

5526

7373

7580

8666

12523

上海

6385

6698

7038

11500

14099

15404

19168

23591

西安

2985

3048

3180

3790

4039

4645

5398

7107

昆明

2916

3012

3150

4600

5381

5157

6006

7380

哈尔滨

2130

2370

2574

3528

4060

5036

7939

7654

乌鲁木齐

2033

2184

2280

2279

3300

3200

4410

4894

（2）经查询分析，判断一个地区的房价是否合理要综合考虑多方面的因素，在此，分别用国内生产总值（GDP）、居民家庭人均可支配收入、房价收入比、人均GDP四个维度进行聚类分析。

房价收入比；房价收入比通常为一个广义上的概念，即指一个城市的平均房价与每户居民的平均年收入之比：

…（Ⅰ）

其余三项因素均可通过网络查询得到该地区的合理数据，由于房价收入比不是查询可以得到，其求解过程如下：

在此，将房价合理与否分为：

合理，基本合理，不合理三类。

现以北京、福州、西安、昆明为例，就它们房价的合理性进行分析：

通过网站查询汇总可得各个城市的各项数据见下表：

北京表2（单位：

元／平米）

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

房价

4747

6770

8050

12436

13222

15051

20308

22767

人均收入

15637

17653

11774

21989

24725

26738

28772

29073

为便于进行数据的处理，在此以主流的90平米的房屋作为参考。

依据我国国情，以一户家庭里有2个有效劳动力进行数据的处理，房价收入比（Ⅰ）的公式可以改写成如下：

…（Ⅱ）

利用上述公式（Ⅱ）计算出北京历年房价收入比如下表：

北京表3

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

房价收入比

13.66

17.26

30.77

25.45

24.06

25.33

31.76

35.24

使用同样的方法依次得到福州历年房价收入比见下表：

福州表4

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

房价收入比

15.58

16.29

14.99

14.84

17.45

16.79

30.57

24.80

西安表5

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

房价收入比

15.72

14.25

13.12

13.47

11.95

24.46

25.23

14.38

昆明表6

2004年

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

房价收入比

14.51

14.10

13.17

17.13

16.72

25.65

28.11

30.40

余下四座城市银川、上海、哈尔滨、乌鲁木齐历年房价收入比的明细见附表1。

仔细分析表3～表6中的数据，不难发现，四座城市的房价收入比总体呈上升趋势。

因此，在分析房价是否合理时，选取2010年与2011年的房价收入比作为参考，这样可以通过对这两年的分析从而对以往合理性与其做一个比较，得出以往几年的房价合理与否。

5.1.2聚类分析模型的建立和求解

（1）、针对所收集的数据建立聚类分析模型，表7用于做数据的标准化处理。

收集表3～表6以及附表中2010～2011年房价收入比的数据加入其中，表7中其余各项为地区GDP总量、居民家庭可支配收入、人均GDP、每平方米商品房屋均价。

表7（2010年相关数据）

序号

城市

总GDP

居民家庭可支配收入

房价收入比

人均GDP

每平米房价

1

上海

14900.93

63676

46.26

18645

19168

2

北京

11865.9

57544

31.76

17653

22310

3

哈尔滨

3258.1

20130

35.49

10065

7939

4

福州

2524

12757

30.57

12757

8666

5

西安

2719.1

19256

25.23

9628

5398

6

昆明

1808.6

19232

28.11

9616

6006

7

乌鲁木齐

1095

21632

18.35

10816

4410

8

银川

763.26

34146

12.36

17073

4690

对以上数据做标准化处理，选用方法为平移—标准差变换法，其变换公式如下：

…（Ⅲ）

通过使用公式（Ⅲ）对表7中2010年的数据做标准化处理，使得所有表7内所有数据易于对比，运用Matlab软件求得结果见附表，同时

经收集汇总得到2011年8大城市的各项数据其结果如下表：

表9（2011年）

序号

城市

总GDP

家庭可支配收入

房价收入比

人均GDP

每平米房价

1

上海

9164.1

36764

57.75

39810.77

23591

2

北京

7418.1.1

37688

54.37

37824.29

22767

3

哈尔滨

1690

17180

40.1

6334.5

7654

4

福州

1490

26976

41.78

20987

12523

5

西安

1612

25786

24.81

12839

7107

6

昆明

1076.97

21848

30.4

5726.09

7380

7

乌鲁木齐

717.6

20346

21.65

8082

4894

8

银川

396.75

18026

27.7

9013

5547

（2）、通过对以上数据的标准化处理，使得各项具有不同量纲、不同数量级的数据能够放在一起互作比较。

对进行标准化处理后的附表2和表附3分别运用SPSS软件对表中信息进行分类处理，其中2010年和2011年的聚类分析图像分别如下：

2010年的城市聚类图

2011年的城市聚类图

（3）、通过对以上图形的分析，可以得到所选的8大城市使用聚类分析后的所归类别。

在此，先以2010年的树状图做一个较为详细的分析，将所选的城市分为三类，其结果如下表：

（2010年）表10

类型

包括城市

一类

北京、上海

二类

银川

三类

哈尔滨、福州、西安、昆明、乌鲁木齐

通过表10选取归类后的城市北京、银川、西安、福州作为所要研究的对象，这样可以通过对这些城市的研究从而反映出这一类城市的房价情况。

对所选取的城市以该地区的经济发展和房价收入比为标准对他们的房价做出评判。

四座城市中北京人均GDP最高为18645元，但其房价收入比也为四座城市最高，达到46.26的水平，在2010年它的房价是不合理的；银川的人均GDP还是比较靠前的达到了17073元，而该地区的房价收入比为12.36，在2010年它的房价是比较合理的；西安的人均GDP为9628元，它的房屋收入比值是25.23，依据中国国情，它的房价水平基本合理；福州的人均GDP为12757元，房价收入比是30.57，大致处于中间位置，但考虑到这些地区为沿海一带发展迅速，在我国属于较为发达的城市，因此，它的房价是基本合理的。

由对2011年各城市的聚类分析树状图同样可以得到所选城市的类别如下表：

（2011年）表11

类型

包括城市

一类

北京、上海

二类

福州

三类

哈尔滨、银川、西安、昆明、乌鲁木齐

通过表11所得的分类情况，为了不和2010年分析过于类似，在此选取上海、福州、哈尔滨、乌鲁木齐作分析研究的对象，同样以这些地区的人均GDP和房价收入比为衡量标准进行分析。

同时值得注意的是在此我们以基本假设中的第4条为依据，对数据的尺度进行适当的放宽。

据此，分析过程如下：

在所选取的四座城市中上海人均GDP最高为39810.77元，它的房价收入比是高的不合情理的57.75，虽然上海是我国经济较为发达的城市但它的房价却不合理；福州的人均GDP是20987，它的房价收入比为41.78在四座城市中仅次于上海，在2011年它的房价也是不合理的；我国的北方城市哈尔滨人均GDP是6334.5（2011年7月所公布的数据），房价收入比为40.1，依据它的情况，房价也是不合理的；乌鲁木齐的人均收入为8082元，房价收入比是21.65，依据我国的国情，它的房价还是基本合理的。

5.1.3对结果部分的拓展分析

通过聚类，将城市划归成了三个大类，从上述对2010和2011年的分析来看北京和上海的房价在这两年是不合理的，主要还是因为这两地环境较好，外来人口多，在经济发展的同时其房地产市场也存在一定的问题，对以往房价的调查来看两地的房价收入比在2006年前还是合理的，这说明在那以前房价还是合理的；而福州虽然近年房价不是很合理，但是考虑到它地域的特殊性，它的房价可以理解，但还是不很合理，从对房价收入比统计来看，在2009以前，它的房价还是较为合理的；银川在2010年以前房价都是比较便宜的，还是很合理的，不过这也与它的经济发展水平有较大的关系；由房价收入比的统计数据得出哈尔滨的房价在2008以前都是较为合理的，作为一个北方城市，受沿海房价的冲击较小，房价波动不是很强烈；乌鲁木齐的房价在2009年以前都是较为合理的，几乎不受沿海一带的影响；西安近几年房价上涨很快，它的房价在2009年以前还是合理的；昆明的房价在2008年以后涨幅较快，在此之前房价还是合理的。

5.2建立拟合模型分析预测未来的房价走势

5.2.1选取有效数据分析并建立拟合模型

运用Matlab软件对所选的数据做出散点图，并对所得图表使用该软件进行数据的拟合。

针对不同的城市分别进行多次数据的拟合操作，从而可以得出所选取的8个城市的数据拟合曲线，根据年份的变化，从而通过所得到的拟合曲线对未来的房价作出预测和分析。

针对表1中商品房屋每平米均价的数据建立差值拟合模型，对每一个城市未来房屋每平米均价分别进行拟合，可以得到所选取的城市未来的房价走势以及大致的价位。

由于所统计的近几个年份数据变动较大，可以通过用曲线拟合来进行预测。

通过对表1的细致，分析运用Matlab软件绘制出每个城市不同的散点图如下：

其中哈尔滨去掉一个不合理的散点。

于不同的城市分别选取时间（即年份）作为变量，每平米商品房的均价作为应变

量用作数据的拟合处理。

处理得到8个城市拟合后的预测表达式如下：

北京：

银川：

福州：

上海：

西安：

昆明：

哈尔滨：

乌鲁木齐：

8座城市的拟合曲线表达式如上，通过对以上表达式的验证，都符合拟合的各项指标要求，可以用于作对未来房价的预测。

5.2.2根据拟合模型分析预测未来房价

通过对以上表达式的分析，且由2011年开始进行预测未来几年各大城市的房价，同时也通过这个预测来反映出未来房价的大致走势情况。

详细预测过程如下：

由8座城市不同的表达式分别给自变量赋予不同的数值，计算出等式左边相应的数据，即可得到本年度本城市每平米商品房的均价：

表12（单位：

元/平米）

上海

银川

福州

西安

哈尔滨

乌鲁木齐

昆明

北京

2012年

26833

7762.7

15429

8932.2

9005.9

5828.1

8085.7

23536

2013年

30364

10601

19757

11468

9630.6

6782.8

9070.7

24587

由于预测具有一定的误差存在，在此仅选取2012年和2013年两年进行预测，由于时间跨度太大误差也越大，因此以这两年的房价进行分析和说明。

从所预测的2012和2013两年的房价来看，所选取的8座城市中多数的房价呈上涨趋势，但相对来说昆明，乌鲁木齐的房价上涨不是很快，其余各城市的房价均有很强劲的上涨势头。

根据我国的国情，我国的房价在近几年，尤其是从2008年奥运会开始以来，我国的整体房价也开始快速增长，这其中房地产市场异常火爆，同时也为我国GDP的增长做出了很大的贡献。

但是房价的快速上涨虽然对国家GDP的增长作出了贡献，但近年的疯狂楼市已经显露出了房价的不合理的一面。

就结合对房价所做的预测，绘制出2004年到所预测的2013年所选8座城市的中的北京、上海、银川、西安的房价信息如下图：

图1图2

以上两图表分别是北京，上海两地的房价信息，通过对图形1的仔细观察分析，可以看出：

北京的房价在2012和2013年还会走高，但走势相对平缓。

从整体来看，在2008奥运之前，北京的房价在合理的水平，而由于受08年奥运会的影响较大，在此之后，房价一路攀升，居高不下。

由图表2可以看出上海的房价基本上是随着年份一直上涨，这与它在我国独特的地理和经济位置有着密不可分的联系。

上海的流动人口多，高消费人群也多。

开放商利用一些机会炒高房价，再借助世博会的影响，使得该地区的房价久居高位，由我国的国情分析：

高房价的背后与商人的炒作和上海特殊性是密不可分的。

图3图4

图3与图4分别是银川和西安两地的房价信息。

从图表3可以看出银川房价近年涨幅很大，由于受到了我国其它城市房地产市场的影响，今年的房价渐渐显露出不合理的趋势。

从2009年以前它的房价还是比较低的，没有很明显的涨幅落差。

从图4可以看出西安的房价从2004年到所预测的2013年之间整体呈上涨态势。

尤其在2009年到所预测的2013年间，上涨势头较快，但虽然一路飙升，但整体来说它的房价对于该地区还是基本合理的。

在2009年以前，整体房价水平变动不大，较为合理。

根据对所选城市的预测分析，可以看出我国整体房价的走势将会在近年有所上升，对于一直期待买房的人不算一个好消息，当然，在此之后的房价还有待于进一步的分析，考虑到我国国情，目前的房价还是可以接受的。

5.3通过对数据的定量分析探讨使得房价合理的措施和对经济的影响

针对当前的房价问题，要使房价合理，可以有多种政策选择。

首先，要明确宏观调控的方向，一般来说，宏观调控的政策方向由三种：

第一种是扩张政策；第二种是紧缩政策；第三种是中性政策。

采取何种政策，则要视当时所处的经济形势而定。

由于房地产业具有市场形势的较大差异，必然会产生取向不一的调控政策。

其次，要区别对待，因地制宜，分类指导。

对于同一地区的不同城市之间也有不少差别。

对开发规模大、空置亮过多的地区，应促进其控制供给，减少空置，防止过热，对房价上涨过快、价格结构失衡的地区，应引导多开发中低价位房，降低开发成本，调控房价上涨幅度；对市场需求潜力较大的地区，则要从各方面大力支持房地产业的发展，以促进地区的经济增长。

我国的楼市与我国的政府政策之间的关系如下图：

改革开放以来，随着中国经济的飞速发展，房地产市场化开发的逐渐深入，住房需求的增多和购买力的加强，使得房地产市场欣欣向荣，在拉动经济增长的同时，也使得房价居高不下，尽管现在房地产开发商在户型，配套，环境规划，物业管理，卫生等方面相较于以前有不少的提高，但这并不是房价能够节节攀升且居高不下的理由，高房价的出现，是有更加深层次的原因的。

而在这个非理性