名师伴你行届高考理科数学二轮复习专题突破课件+题能专训第10讲 三提能专训10.docx
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名师伴你行届高考理科数学二轮复习专题突破课件+题能专训第10讲三提能专训10
提能专训(十) 等差与等比数列
一、选择题
1.(2014·武威凉州区一诊)等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20=( )
A.54B.48
C.32D.16
[答案] D
[解析] 解法一:
由等比数列的性质,知S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15仍成等比数列,∴2,4,8,16,故选D.
解法二:
∵S5=,S10=,
∴=1+q5=3,q5=2.
∴a16+a17+a18+a19+a20=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=23·S5=8×2=16,故选D.
2.(2014·广西四市联考)已知等比数列{an}的前n项和Sn,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=( )
A.35B.33
C.31D.29
[答案] C
[解析] 由得
∴q3=,q=.∴a1=16.
∴S5==32×=31,故选C.
3.(2014·南阳三次联考)等差数列{an}中,如果a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和为( )
A.297B.144
C.99D.66
[答案] C
[解析] 由
得∴a4+a6=22.
∴S9=×9=×9=99,故选C.
4.(2014·郑州质检)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b12等于( )
A.1B.2
C.4D.8
[答案] C
[解析] ∵a4-2a+3a8=0,∴2a=a4+3a8=a7-3d+3(a7+d)=4a7,∴a7=2,∴b7=2.
∴b2b12=b=4,故选C.
5.(2014·陕西质检三)已知a,b,c是三个不同的实数.若a,b,c成等差数列,且b,a,c成等比数列,则a∶b∶c=( )
A.2∶1∶4B.(-2)∶1∶4
C.1∶2∶4D.1∶(-2)∶4
[答案] B
[解析] 依题意有检验各选项,可知B正确.
6.(2014·合肥二检)数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T2014=( )
A.B.-
C.6D.-6
[答案] D
[解析] 由an=,得an+1=,因为a1=2,所以a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,由a5=a1,得数列{an}的周期为4,因为a1·a2·a3·a4=1,所以T2014=T503×4+2=T2=a1·a2=-6,故选D.
7.(2014·合肥一中、安师大附中等六校素质测试)在正项等比数列{an}中,an+1 A.B.C.D. [答案] D [解析] 由题意可知,a4·a6=6,且a4+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以==,故选D. 8.(2014·洛阳统考)已知数列{an}是等差数列,且a3+a6=5,数列{bn}是等比数列,且b5=,则b2b8=( ) A.1B.5 C.10D.15 [答案] D [解析] 由等差数列的通项公式知,a3+a6=2a1+7d(其中d为等差数列{an}的公差),由等比数列的性质知,b2b8=b=a2+5a5=6a1+21d=3(2a1+7d)=3(a3+a6)=15,故选D. 9.(2014·合肥第一次质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn,并满足an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7=( ) A.7B.12 C.14D.21 [答案] C [解析] 因为an+2=2an+1-an⇔an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,因为a5=4-a3,所以a3+a5=4,所以S7===14,故选C. 10.(2014·安徽六校联考)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=( ) A.0B.3 C.8D.11 [答案] B [解析] 设{bn}的公差为d, ∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2. ∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6. ∴b1+b2+…+b7=7b1+·d =7×(-6)+21×2=0. 又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0, ∴a8=3.故选B. 11.(2014·辽宁五校联考)设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2012π),则函数f(x)的各极小值之和为( ) A.-B.- C.-D.- [答案] D [解析] f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′=2exsinx,若f′(x)<0,则x∈(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z;若f′(x)>0,则x∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z.所以当x=2π+2kπ,k∈Z时,f(x)取得极小值,其极小值为f(2π+2kπ)=e2kπ+2π[sin(2π+2kπ)-cos(2π+2kπ)]=e2kπ+2π×(0-1)=-e2kπ+2π,k∈Z.因为0≤x≤2012π,又在两个端点的函数值不是极小值,所以k∈[0,1004],所以函数f(x)的各极小值构成以-e2π为首项,以e2π为公比的等比数列,共有1005项,故函数f(x)的各极小值之和为S1005=-e2π-e4π-…-e2010π=-,故选D. 12.在等差数列{an}中,a1=-2012,其前n项和为Sn,若-=2002,则S2014的值等于( ) A.2011B.-2012 C.2014D.-2013 [答案] C [解析] 等差数列中,Sn=na1+d,=a1+(n-1),即数列是首项为a1=-2012,公差为的等差数列.因为-=2002,所以(2012-10)·=2002,=1,所以S2014=2014×[(-2012)+(2014-1)×1]=2014,故选C. 二、填空题 13.(2014·浙江名校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为________. [答案] [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则由S1,2S2,3S3成等差数列,得4S2=S1+3S3,∴4(a1+a1q)=a1+3a1+3a1q+3a1q2,解之,得q=(q=0舍去). 14.(2014·衡水中学二调)在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8·a9=-,则+++=________. [答案] - [解析] ∵+=,+=,而a8a9=a7a10, ∴+++= ==-. 15.(2014·上海静安区一模)已知数列{an}(n∈N*)的公差为3,从{an}中取出部分项(不改变顺序)a1,a4,a10,…组成等比数列,则该等比数列的公比是________. [答案] 2 [解析] a4=a1+3d=a1+9,a10=a1+9d=a1+27,由a=a1a10,得(a1+9)2=a1(a1+27),解得a1=9.从而得公比q====2. 16.(2014·北京顺义一模)设等差数列{an}满足公差d∈N*,an∈N*,且数列{an}中任意两项之和也是该数列的一项.若a1=35,则d的所有可能取值之和为________. [答案] 364 [解析] 设an,am(m≠n)是等差数列{an}中的任意两项,由已知,得an=35+(n-1)d,am=35+(m-1)d,则am+an=2×35+(m+n-2)d,设am+an是数列{an}中的第k项,则有am+an=35+(k-1)d,即2×35+(m+n-2)d=35+(k-1)d,d=,d∈N*,m,n,k∈N*,所以k+1-(m+n)=35,34,33,32,31,30,则d的所有可能取值为1,3,32,33,34,35,其和为=364. 三、解答题 17.(2014·浙江名校联考)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=a1且bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*),求数列{bn}的通项公式. 解: (1)由题意,得 ∵公差d>0,∴ ∴d=2,an=2n-1. (2)∵bn=an+bn-1(n≥2,n∈N*), ∴bn-bn-1=2n-1(n≥2,n∈N*). ∵bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1(n≥2,n∈N*),且b1=a1=1, ∴bn=2n-1+2n-3+…+3+1=n2(n≥2,n∈N*). ∴bn=n2(n∈N*). 18.(2014·西安八校联考)在各项均为正数的等差数列{an}中,对任意的n∈N*都有a1+a2+…+an=anan+1. (1)求数列{an}的通项an; (2)设数列{bn}满足b1=1,bn+1-bn=2an,求证: 对任意的n∈N*都有bnbn+2 解: (1)设等差数列{an}的公差为d. 令n=1,得a1=a1a2.由a1>0,得a2=2. 令n=2,得a1+a2=a2a3, 即a1+2=a1+2d,得d=1. 从而a1=a2-d=1.故an=1+(n-1)·1=n. (2)证明: 因为an=n,所以bn+1-bn=2n, 所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+…+2+1 =2n-1. 又bnbn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n<0, 所以bnbn+2 19.(2014·陕西质检)在等比数列{an}中,a1=2,且an+1=an+2n. (1)求数列{an}的通项an; (2)数列{an}中是否存在这样的两项ap,aq(p 若存在,求符合条件的所有的p,q;若不存在,请说明理由. 解: (1)a2=a1+21, a3=a2+22, … an=an-1+2n-1(n≥2). 各式相加,可得 an=a1+21+22+…+2n-1=2+=2n(n≥2). 又a1=2=21, ∴an=2n. (2)假设存在这样的两项ap,aq(p 当q>p≥2时,ap+aq=2p+2q=2p(1+2q-p)是4的倍数,但2014不是4的倍数. 当p=1时,2014=ap+aq=21+2q,故2q=2012. ∵不存在正整数q使2q=2012, ∴不存在满足条件的p,q. 20.(2014·武汉武昌区调研)在公差不为零的等差数列{an}中,已知a1=1,且a1,a2,a5依次成等比数列.数列{bn}满足bn+1=2bn-1,且b1=3. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)设数列的前n项和为Sn,试比较Sn与1-的大小. 解: (1)因为a1=1,且a1,a2,a5依次成等比数列, 所以a=a1·a5,即(1+d)2=1·(1+4d), 所以d2-2d=0,解得d=2(d=0不合要求,舍去), 所以an=1+2(n-1)=2n-1. 因为bn+1=2bn-1,所以bn+1-1=2(bn-1), 所以{bn-1}是首项为b1-1=2,公比为2的等比数列. 所以bn-1=2×2n-1=2n. 所以bn=2n+1. (2)因为==-, 所以Sn=++…+-=1-, 于是Sn-=1--1+=-=
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