高考数学三角函数试题汇编.docx
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高考数学三角函数试题汇编
2014年高考数学三角函数试题汇编
数学
C单元三角函数
C1角的概念及任意角的三角函数
6.、2014•新课标全国卷Ⅰ]如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,π]上的图像大致为()
6.C
C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
16.、、2014•福建卷]已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12.
(1)若0
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
16.解:
方法一:
(1)因为0所以f(α)=22×22+22-12
=12.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4,
所以T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
方法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4.
(1)因为0从而f(α)=22sin2α+π4=22sin3π4=12.
(2)T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
17.,,2014•重庆卷]已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ
(1)求ω和φ的值;
(2)若fα2=34π617.解:
(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.
又因为f(x)的图像关于直线x=π3对称,
所以2×π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….
因为-π2≤φ<π2,
所以φ=-π6.
(2)由
(1)得ƒα2=3sin(2×α2-π6)=34,
所以sinα-π6=14.
由π6<α<2π3得0<α-π6<π2,
所以cosα-π6=1-sin2α-π6=1-142=154.
因此cosα+3π2
=sinα
=sin(α-π6)+π6
=sinα-π6cosπ6+cosα-π6sinπ6
=14×32+154×12
=3+158.
C3三角函数的图象与性质
9.2014•辽宁卷]将函数y=3sin2x+π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数()
A.在区间π12,7π12上单调递减
B.在区间π12,7π12上单调递增
C.在区间-π6,π3上单调递减
D.在区间-π6,π3上单调递增
9.B
3.2014•全国卷]设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则()
A.a>b>cB.b>c>a
C.c>b>aD.c>a>b
3.C
6.、2014•新课标全国卷Ⅰ]如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,π]上的图像大致为()
6.C
14.、2014•新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.
14.1
17.,,2014•重庆卷]已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ
(1)求ω和φ的值;
(2)若fα2=34π617.解:
(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.
又因为f(x)的图像关于直线x=π3对称,
所以2×π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….
因为-π2≤φ<π2,
所以φ=-π6.
(2)由
(1)得ƒα2=3sin(2×α2-π6)=34,
所以sinα-π6=14.
由π6<α<2π3得0<α-π6<π2,
所以cosα-π6=1-sin2α-π6=1-142=154.
因此cosα+3π2
=sinα
=sin(α-π6)+π6
=sinα-π6cosπ6+cosα-π6sinπ6
=14×32+154×12
=3+158.
C4函数的图象与性质
3.2014•四川卷]为了得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需把函数y=sin2x的图像上所有的点()
A.向左平行移动12个单位长度
B.向右平行移动12个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
3.A
11.2014•安徽卷]若将函数f(x)=sin2x+π4的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y轴对称,则φ的最小正值是________.
11.3π8
14.2014•北京卷]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间π6,π2上具有单调性,且fπ2=f2π3=-fπ6,则f(x)的最小正周期为________.
14.π
16.、、2014•福建卷]已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12.
(1)若0
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
16.解:
方法一:
(1)因为0所以f(α)=22×22+22-12
=12.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4,
所以T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
方法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4.
(1)因为0从而f(α)=22sin2α+π4=22sin3π4=12.
(2)T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
7.、2014•广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
7.D
17.、、、2014•湖北卷]某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-3cosπ12t-sinπ12t,t∈0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
17.解:
(1)因为f(t)=10-232cosπ12t+12sinπ12t=10-2sinπ12t+π3,
又0≤t当t=2时,sinπ12t+π3=1;
当t=14时,sinπ12t+π3=-1.
于是f(t)在0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sinπ12t+π3,
故有10-2sinπ12t+π3>11,
即sinπ12t+π3又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温.
16.、2014•江西卷]已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-π2,π2.
(1)当a=2,θ=π4时,求f(x)在区间0,π]上的最大值与最小值;
(2)若fπ2=0,f(π)=1,求a,θ的值.
16.解:
(1)f(x)=sinx+π4+2cosx+π2=
22(sinx+cosx)-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x.
因为x∈0,π],所以π4-x∈-3π4,π4,
故f(x)在区间0,π]上的最大值为22,最小值为-1.
(2)由fπ2=0,f(π)=1,得cosθ(1-2asinθ)=0,2asin2θ-sinθ-a=1.
又θ∈-π2,π2,知cosθ≠0,
所以1-2asinθ=0,(2asinθ-1)sinθ-a=1,
解得a=-1,θ=-π6.
12.、2014•新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)=3sinπxm,若存在f(x)的极值点x0满足x20+f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()
A.(-∞,-6)∪(6,+∞)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
12.C
16.,2014•山东卷]已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a•b,且y=f(x)的图像过点π12,3和点2π3,-2.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
16.解:
(1)由题意知,f(x)==msin2x+ncos2x.
因为y=f(x)的图像过点π12,3和点2π3,-2,
所以3=msinπ6+ncosπ6,-2=msin4π3+ncos4π3,
即3=12m+32n,-2=-32m-12n,
解得m=3,n=1.
(2)由
(1)知f(x)=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6.
由题意知,g(x)=f(x+φ)=2sin2x+2φ+π6.
设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2).
由题意知,x20+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得,sin2φ+π6=1.
因为0因此,g(x)=2sin2x+π2=2cos2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为kπ-π2,kπ,k∈Z.
2.2014•陕西卷]函数f(x)=cos2x-π6的最小正周期是()
A.π2B.πC.2πD.4π
2.B
16.,,,2014•四川卷]已知函数f(x)=sin3x+π4.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,fα3=45cosα+π4cos2α,求cosα-sinα的值.
16.解:
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,
由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为-π4+2kπ3,π12+2kπ3,k∈Z.
(2)由已知,得sinα+π4=45cosα+π4(cos2α-sin2α),
所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=45cosαcosπ4-sinαsinπ4(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,
得α=3π4+2kπ,k∈Z,
此时,cosα-sinα=-2.
当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=54.
由α是第二象限角,得cosα-sinα综上所述,cosα-sinα=-2或-52.
15.、、2014•天津卷]已知函数f(x)=cosx•sinx+π3-3cos2x+34,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值和最小值.
15.解:
(1)由已知,有
f(x)=cosx•12sinx+32cosx-3cos2x+34
=12sinx•cosx-32cos2x+34
=14sin2x-34(1+cos2x)+34
=14sin2x-34cos2x
=12sin2x-π3,
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)因为f(x)在区间-π4,-π12上是减函数,在区间-π12,π4上是增函数,f-π4=-14,f-π12=-12,fπ4=14,
所以函数f(x)在区间-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.
4.2014•浙江卷]为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=2cos3x的图像()
A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位
C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位
4.C
17.,,2014•重庆卷]已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ
(1)求ω和φ的值;
(2)若fα2=34π617.解:
(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2.
又因为f(x)的图像关于直线x=π3对称,
所以2×π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….
因为-π2≤φ<π2,
所以φ=-π6.
(2)由
(1)得ƒα2=3sin(2×α2-π6)=34,
所以sinα-π6=14.
由π6<α<2π3得0<α-π6<π2,
所以cosα-π6=1-sin2α-π6=1-142=154.
因此cosα+3π2
=sinα
=sin(α-π6)+π6
=sinα-π6cosπ6+cosα-π6sinπ6
=14×32+154×12
=3+158.
C5两角和与差的正弦、余弦、正切
14.、2014•新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.
14.1
16.、2014•安徽卷]设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sinA+π4的值.
16.解:
(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=sinA2sinB,所以由正弦定理可得a=2b•a2+c2-b22ac.
因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=23.
(2)由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=9+1-126=
-13.因为0故sinA+π4=sinAcosπ4+cosAsinπ4=223×22+-13×22=4-26.
7.、2014•广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
7.D
16.、2014•广东卷]已知函数f(x)=Asinx+π4,x∈R,且f5π12=32.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈0,π2,求f3π4-θ.
17.2014•湖北卷]某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-3cosπ12t-sinπ12t,t∈0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
17.解:
(1)因为f(t)=10-232cosπ12t+12sinπ12t=10-2sinπ12t+π3,
又0≤t当t=2时,sinπ12t+π3=1;
当t=14时,sinπ12t+π3=-1.
于是f(t)在0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sinπ12t+π3,
故有10-2sinπ12t+π3>11,
即sinπ12t+π3又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温.
17.、2014•辽宁卷]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA→•BC→=2,cosB=13,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
17.解:
(1)由BA→•BC→=2得c•a•cosB=2,
又cosB=13,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sinB=1-cos2B=1-132=223.
由正弦定理,得sinC=cbsinB=23•223=429.
因为a=b>c,所以C为锐角,
因此cosC=1-sin2C=1-4292=79.
所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=13×79+223×429=2327.
17.2014•全国卷]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.
17.解:
由题设和正弦定理得
3sinAcosC=2sinCcosA,
故3tanAcosC=2sinC.
因为tanA=13,所以cosC=2sinC,
所以tanC=12.
所以tanB=tan180°-(A+C)]
=-tan(A+C)
=tanA+tanCtanAtanC-1
=-1,
所以B=135°.
8.2014•新课标全国卷Ⅰ]设α∈0,π2,β∈0,π2,且tanα=1+sinβcosβ,则()
A.3α-β=π2B.3α+β=π2
C.2α-β=π2D.2α+β=π2
8.C
13.,2014•四川卷]如图13所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,3≈1.73)
图13
13.60
16.,,,2014•四川卷]已知函数f(x)=sin3x+π4.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,fα3=45cosα+π4cos2α,求cosα-sinα的值.
16.解:
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,
由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为-π4+2kπ3,π12+2kπ3,k∈Z.
(2)由已知,得sinα+π4=45cosα+π4(cos2α-sin2α),
所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=45cosαcosπ4-sinαsinπ4(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,
得α=3π4+2kπ,k∈Z,
此时,cosα-sinα=-2.
当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=54.
由α是第二象限角,得cosα-sinα综上所述,cosα-sinα=-2或-52.
15.、、2014•天津卷]已知函数f(x)=cosx•sinx+π3-3cos2x+34,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值和最小值.
15.解:
(1)由已知,有
f(x)=cosx•12sinx+32cosx-3cos2x+34
=12sinx•cosx-32cos2x+34
=14sin2x-34(1+cos2x)+34
=14sin2x-34cos2x
=12sin2x-π3,
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)因为f(x)在区间-π4,-π12上是减函数,在区间-π12,π4上是增函数,f-π4=-14,f-π12=-12,fπ4=14,
所以函数f(x)在区间-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.
10.,2014•重庆卷]已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()
A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>162
C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24
10.A
C6二倍角公式
15.、2014•全国卷]直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.
15.43
16.、2014•全国卷]若函数f(x)=cos2x+asinx在区间π6,π2是减函数,则a的取值范围是________.
16.(-∞,2]
16.、、2014•福建卷]已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-12.
(1)若0
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
16.解:
方法一:
(1)因为0所以f(α)=22×22+22-12
=12.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4,
所以T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
方法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-12
=12sin2x+1+cos2x2-12
=12sin2x+12cos2x
=22sin2x+π4.
(1)因为0从而f(α)=22sin2α+π4=22sin3π4=12.
(2)T=2π2=π.
由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.
16.,,,2014•四川卷]已知函数f(x)=sin3x+π4.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,fα3=45cosα+π4cos2α,求cosα-sinα的值.
16.解:
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z,
由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为-π4+2kπ3,π12+2kπ3,k∈Z.
(2)由已知,得sinα+π4=45cosα+π4(cos2α-sin2α),
所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=45cosαcosπ4-sinαsinπ4(cos2α-sin2α),
即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,
得α=3π4+2kπ,k∈Z,
此时,cosα-sinα=-2.
当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=54.
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