高二数学 92空间的平行直线与异面直线第四课时大纲人教版必修.docx
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高二数学92空间的平行直线与异面直线第四课时大纲人教版必修
2019-2020年高二数学9.2空间的平行直线与异面直线(第四课时)大纲人教版必修
●教学目标
(一)教学知识点
1.余弦定理的应用.
2.异面直线所成的角.
(二)能力训练要求
1.会求异面直线所成的角.
2.培养学生的空间想象能力,分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力.
3.使学生初步掌握将空间图形问题转化为平面问题的数学思想.
(三)德育渗透目标
渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
●教学重点
异面直线所成角的计算.
●教学难点
余弦定理在求异面直线所成角中的应用.
●教学方法
师生共同讨论法
●教具准备
投影片四张.
第一张:
本课时教案例1及图(记作9.2.4A)
第二张:
本课时教案例2及图(记作9.2.4B)
第三张:
本课时教案的课堂练习(记作9.2.4C)
第四张:
本课时教案后面的预习内容及提纲(记作9.2.4D)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
[师]请同学们回忆异面直线所成角的定义及范围.
[生]过空间任意一点O,与异面直线a和b分别平行的直线所在的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.两条异面直线所成角的范围是(0,〕.
[师]这节课我们继续研究两条异面直线所成角的计算.
Ⅱ.新课讨论
(打出投影片9.2.4A)
[例1]已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为B1B的中点,求A1M与C1N所成的角(如图所示).
[师]求异面直线所成的角,关键是选择恰当的点.根据两条异面直线所成角的定义,通过平移找到两条异面直线所成的角.
[生甲]先取A1B1的中点E,连结BE,则BE∥A1M.再取EB1的中点F,连结FN,则FN∥BE.∠C1NF即为A1M与C1N所成的角.
在△C1FN中,由勾股定理可得C1N=BE=a,FN=BE=a,C1F=a,由余弦定理得
cosC1NF=
=
∴∠C1NF=arccos.
[生乙]当BE∥A1M后,也可取C1C的中点G,连结BG,则BG∥C1N,∠EBG即为A1M与C1N所成的角.
在△EBG中,BE=BG=,EG2=EC12+C1G2=a2,得EG=a.
由余弦定理得
cosEBG=
=
∴∠EBG=arccos.
(教学中教师注意引导学生体会求两条异面直线所成角的方法与步骤)
[师]以上过程明确了求两条异面直线所成角的三个步骤:
1.根据两条异面直线所成角的概念作出所成的角;
2.找出这个角所在的三角形;
3.解这个三角形.要注意在求作这个角时,一次平移不行时,要用两次平移的方法;在解角所在的三角形时,常用余弦定理求之.
再看一例(打出投影片9.2.4B).
[例2]在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a>b,求AC1与BD所成角的余弦值.
[师]如何根据异面直线所成角的定义及长方体的有关性质,作出AC1与BD所成的角呢?
[生丙]取AC1的中点O1,B1B的中点G,则∠C1O1G为AC1与BD所成的角.
[生丁]连结AC,设AC∩BD=O,则O平分AC,取C1C的中点F,连结OF,则∠FOB为AC1与BD所成的角.
[生戊]延长CD至点E,使ED=DC,则ABDE为平行四边形,AE∥BD,则∠EAC1为AC1与BD所成的角.
[师]这三位同学用不同的方法作出了AC1与BD所成的角,但要注意,这时作出的角有可能是异面直线所成的角,也可能是异面直线所成角的邻补角.在图中并没有办法判断,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦值的正负来判断这个角是锐角(两异面直线所成角)或钝角(两异面直线所成角的邻补角).
请同学们将以上三种方法的解题思路表述出来.
(学生整理,教师查看,指导)
解法一:
取AC1的中点O,B1B的中点G,在△C1O1G中,∠C1O1G为AC1与BD所成的角.(如上图)
∵O1GOB,C1GBF,O1C1=AC1,
又∵O1C1=,O1G=,C1G=,
由余弦定理,得
cosC1O1G=
=.
解法二:
连结AC,设AC∩BD=O,则点O平分AC.取C1C的中点F,连结OF,则OFAC,∠FOB为AC1与BD所成的角.在△FOB中,OB=,OF=,
BF=.
由余弦定理,得
cosFOB=.
解法三:
延长CD到点E,使ED=DC,则ABDE为,AE∥BD,∠EAC1即为AC1与BD所成角的补角.
连结EC1,则在△AEC1中,
AE=,AC1=,C1E=.
由余弦定理,得
cosEAC1=
=
<0.
∴∠EAC1为钝角.
依两条异面直线所成角的定义,得AC1与BD所成角的余弦值为.
Ⅲ.课堂练习
(打出投影片9.2.4C)
如图ABCD与ABEF为有公共边但不共面的矩形,它们的面积之和为25cm2,AD=2cm,AF=
3cm,△ADF的面积为cm2,求:
(1)AD与BE所成的角;
(2)AD与BE的距离.
解:
据题意,得
S矩形ABCD+S矩形ABEF=AD·AB+AF·AB=(AD+AF)AB=5AB=25,
∴AB=5,
S△ADF=AD·AFsinDAF=×2×3·sinDAF=3sinDAF=.
∴sinDAF=.
∴∠DAF=45°.
(1)∵AF∥BE,
∴∠DAF为AD与BE所成的角.
又∠DAF=45°,
∴AD与BE所成的角是45°.
(2)∵AB⊥AD,AB⊥BE(矩形),
∴AB是AD与BE的公垂线段.
又AB=5cm,
∴AD与BE间的距离是5cm.
Ⅳ.课时小结
本节课我们一起讨论了求异面直线所成角的几个例子,目的是通过举例,让同学们明确求角的关键是通过平移法将两异面直线所成的角转化成相交线所成的角,这种转化的思想我们应该重视,化难为易、化繁为简、化生疏为熟悉、化空间问题为平面问题,这种转化的思想无处不在.
Ⅴ.课后作业
(一)补充题
1.A是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,
(1)若EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角;
(2)若EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角.
解:
设G是AC的中点,连结EG、FG.
∵E、F分别是AB、CD的中点,
∴EG∥BC且EG=BC,
FG∥AD且FG=AD.
∵AD=BC,∴EG=FG=AD.
∴GE与GF所成的锐角(或直角)为AB、CD所成的角.
(1)若EF=AD,则在△EFG中,有
cosEGF=
=
=0.
∴∠EGF=90°,即AD与BC所成的角为90°.
(2)若EF=,则在△EFG中,有
cosEGF=
=
=-.
∴∠EGF=120°,其补角为60°.
∴AD与BC所成的角为60°.
2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,O、M分别是D1B、AA1的中点.
(1)求证:
MO是AA1和BD1的公垂线;
(2)若正方体的棱长为a,求异面直线AA1和BD1的距离.
(1)证明:
∵M是AA1的中点,
∴MD1=MB.
又O是BD1的中点,
∴MO⊥BD1.
同理由A1O=AO,得MO⊥AA1.
∴MO是AA1、BD1的公垂线.
(2)解:
OM=
=
∴AA1与BD1间的距离是a.
(二)1.预习课本P13
2.预习提纲
(1)反证法是怎样的一种推理方法?
(2)反证法证题的步骤是什么?
●板书设计
9.2.4空间直线(四)
例1例2例3
练习小结
2019-2020年高二数学9.3直线和平面平行与平面和平面平行(备课资料)大纲人教版必修
思考与练习
一、选择题
1.a、b两直线平行于平面α,那么a、b的位置关系是
A.平行B.相交
C.异面D.可能平行、可能相交、可能异面
答案:
D
2.直线a∥b,bα,则a与α的位置关系是
A.a∥αB.a与α相交
C.a与α不相交D.aα
答案:
C
3.直线m与平面α平行的充分条件是
A.nα、m∥nB.mα、nα、m∥n
C.nα,l∥α,m∥n、m∥lD.nα,M∈m、P∈m、N∈n、Q∈n且MN=PQ
答案:
B
4.在以下的四个命题中,其中正确的是
①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行②直线上有两点到平面的距离相等(距离不为零),则直线与平面平行③直线与平面内的任一条直线不相交,则直线与平面平行④直线与平面内无数条直线不相交,则直线与平面平行
A.①②B.①③
C.①②③D.①②③④
答案:
B
二、填空题
1.过直线外一点,与这条直线平行的直线有条,过直线外一点,与这条直线平行的平面有个.
答案:
1无数
2.过两条异面直线中的一条可作个平面与另一条平行.
答案:
1
3.过平面外一点,与这个平面平行的直线有条.
答案:
无数
4.P是两条异面直线a、b外一点,过点P可作个平面与a、b都平行.
答案:
1
三、解答题
1.在△ABC所在平面外有一点P,M、N分别是PC和AC上的点,过MN作平面平行于BC,画出这个平面与其他各面的交线,并说明画法的理由.
画法:
过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于点E,过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于点F,连结EF,则平面MNEF为所求,其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.
.
2.已知:
AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段,E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.
求证:
AC∥平面EFG,
BD∥平面EFG.
证明:
连结AC、BD、EF、FG、EG.
在△ABC中,∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴AC∥EF.
又EF面EFG,AC面EFG,
∴AC∥面EFG.
同理可证BD∥面EFG.
●备课资料
一、选择题
1.如果a、b是异面直线,且a∥平面α,那么b与α的位置关系是
A.b∥αB.b与α相交
C.bαD.不确定
答案:
D
2.如果一条直线和一个平面平行,夹在直线和平面间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是
A.平行B.相交
C.异面D.不确定
答案:
D
3.下面给出四个命题,其中正确命题的个数是
①若a∥α、b∥α,则a∥b
②若a∥α,bα,则a∥b
③若a∥b,bα,则a∥α
④若a∥b,b∥α,则a∥α
A.0B.1
C.2D.4
答案:
A
4.下列说法正确的是
A.若直线a平行于面α内的无数条直线,则a∥α
B.若直线a在平面α外,则a∥α
C.若直线a∥b,直线bα,则a∥α
D.若直线a∥b,直线bα,则直线a平行于平面α内的无数条直线
答案:
D
5.下列命题中,正确的是
A.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线,则l∥α
B.如果直线l与平面α内无数条直线平行,则l∥α
C.如果直线l与平面α内无数条直线成异面直线,则lα
D.如果一条直线与一个平面平行,则该直线平行于这个平面内的所有直线
E.如果一条直线上有无数个点不在平面内,则这条直线与这个平面平行
答案:
C
二、填空题
1.如果直线m∥平面α,直线nα,则直线m、n的位置关系是.
答案:
平行或异面
2.已知E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点,则BD1与过A、C、E的平面的位置关系是.
答案:
平行
3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,和平面A1DB平行的侧面对角线有.
答案:
D1C、B1C、D1B1
三、解答题
如图,a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D∈a,线段AB、AC、AD交α于E、F、G点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.
解:
Aa,∴A、a确定一个平面,设为β.
∵B∈a,∴B∈β.又A∈β,∴ABβ.
同理ACβ,ADβ.
∵点A与直线a在α的异侧,
∴β与α相交.
∴面ABD与面α相交,交线为EG.
∵BD∥α,BD面BAD,面BAD∩α=EG,
∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.
∴(相似三角形对应线段成比例).
∴EG=.
●备课资料
Ⅰ.思考与练习
一、选择题
1.m、n是平面α外的两条直线,在m∥α的前提下,m∥n是n∥α的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案:
A
2.直线a∥面α、面α内有n条互相平行的直线,那么这n条直线和直线a
A.全平行B.全异面
C.全平行或全异面D.不全平行也不全异面
答案:
C
3.直线a∥平面α,平面α内有n条直线相交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的
A.至少有一条B.至多有一条
C.有且只有一条D.不可能有
答案:
B
4.a和b是两条异面直线,下列结论中,正确的是
A.过不在a、b上的任意一点,可作一个平面与a、b都平行
B.过不在a、b上的任意一点,可作一条直线与a、b都相交
C.过不在a、b上的任意一点,可作一条直线与a、b都平行
D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行
答案:
D
二、填空题
1.过平面外一点,与平面平行的直线有条,如果直线m∥平面α,那么在平面α内有条直线与m平行.
答案:
无数无数
2.n平面α,则m∥n是m∥α的条件.
答案:
既不充分也不必要
3.直线a∥平面α,在平面α内任取两点P、Q,当PQ与a的位置关系是时,直线a及点P确定的平面与α的交线和过直线a及点Q的平面与α的交线互相平行.
答案:
PQ与a垂直
三、解答题
1.求证:
经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.
已知:
a、b是异面直线.
求证:
过b有且只有一个平面与a平行.
证明:
(1)存在性
在直线b上任取一点A,显然Aa.
过A与a作平面β,
在平面β内过点A作直线a′∥a,
则a′与b是相交直线,它们确定一个平面,设为α.
∵bα,a与b异面,∴aα.
又a∥a′,a′α,
∴a∥α.
∴过b有一个平面α与a平行.
(2)唯一性
假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,则bγ.
∵A∈b,
∴A∈γ.
又A∈β,∴γ与β相交.设交线为a″,则A∈a″.
∵a∥γ,aβ,γ∩β=a″,
∴a∥a″.
又a∥a′,
∴a′∥a″.
这与a′∩a″=A矛盾,
∴假设错误.故过b与a平行的平面只有一个.
综上所述,过b有且只有一个平面与a平行.
2.如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面α过EH分别交BC、CD于F、G.
求证:
EH∥FG.
证明:
连结BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴EH∥BD.
又BD面BCD,
EH面BCD,
∴EH∥面BCD.
又EHα、α∩面BCD=FG,
∴EH∥FG.
3.已知:
M、N分别是△ADB和△ADC的重心,A点不在平面α内,B、D、C在平面α内,求证:
MN∥α.
证明:
连结AM、AN并延长分别交BD、CD于点P、Q,连结PQ.
∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心,
∴=2.
∴MN∥PQ.
又PQα,MNα,
∴MN∥α.
4.三个平面两两相交得到三条交线,如果其中两条交线平行,则第三条也和它们分别平行.
已知:
平面α∩β=l,平面β∩γ=m,平面γ∩α=n,m∥n.
求证:
l∥m,l∥n.
同理可证l∥n.
Ⅱ.线面平行的判定与性质定理
线面平行的判定与性质定理是立体几何中的重要知识,也是高考考查的重点内容.因此,教学中应注意以下几点:
1.帮助学生理解好线面平行的定义、直线和平面没有公共点,直线才和平面平行,这一条件用来判定线面平行很困难,一般采用反证法,利用定义进行论证问题.
2.线面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定,将立体几何题转化为平面几何问题,运用起来方便得多.
3.线面平行的性质定理可得线线平行,给我们作平行线提供了方法.
4.线面平行的判定定理是由线线平行到线面平行,性质定理是由线面平行到线线平行,实现了线面问题与线线问题间的相互转化.
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