届西南名校联盟重庆市第八中学高三高考适应性月考六数学文试题解析版.docx
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届西南名校联盟重庆市第八中学高三高考适应性月考六数学文试题解析版
2019届西南名校联盟重庆市第八中学高三5月高考适应性月考(六)数学(文)试题
一、单选题
1.若集合,则=()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】用列举法表示集合,然后求出.
【详解】
因为
所以,故选C.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算,本题也可以这样解:
就是求集合中大于1的自然数,即故,所以
.
2.设.若为实数,则实数的值为()
A.-2B.-1C.0D.2
【答案】D
【解析】运用复数的除法运算公式,求出,根据复数的分类规则,求出实数的值.
【详解】
为实数,所以,故选D.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算、复数的分类,正确求出是解题的关键.
3.函数的最小正周期为()
A.B.C.2D.4
【答案】B
【解析】利用二倍角降幂公式,化简函数的解析式,用最小正周期公式求出最小正周期.
【详解】
,最小正周期,故选B.
【点睛】
本题考查了二倍角的降幂公式、最小正周期公式,考查了运算能力,逆用公式的能力.
4.向量,若,则的值是()
A.4B.-4C.2D.-2
【答案】B
【解析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示,可直接求出的值.
【详解】
,故选B.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示,考查了运算能力.
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】通过三视图可以判断这一个是半个圆柱与半个圆锥形成的组合体,利用圆柱和圆锥的体积公式可以求出这个组合体的体积.
【详解】
该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体,
故,故选C.
【点睛】
本题考查了利用三视图求组合体图形的体积,考查了运算能力和空间想象能力.
6.设满足约束条件,则的最大值为()
A.B.9C.14D.18
【答案】C
【解析】在直角坐标系内,画出可行解域,平行移动直线,直至找到,在轴截距最大时,经过的可行解域内的点,求出的最大值.
【详解】
作出约束条件的可行域如图1,可知的最大值在点处取得,故,故选C.
【点睛】
本题考查了线性规划问题,考查了数形结合能力、运算能力.
7.已知函数,则的大致图像为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】求出的解析式,然后求导,可以得到函数的极大值,根据这个性质可以从四个选项中,选出正确的图象.
【详解】
,由,可得是极大值点,故选D.
【点睛】
本题考查了运用导数研究函数的图象问题,考查了识图能力.
8.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出如下预测:
甲说:
获奖者在乙丙丁三人中;
乙说:
我不会获奖,丙获奖;
丙说:
甲和丁中的一人获奖;
丁说:
乙猜测的是对的.
成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖,则获奖的是()
A.甲和丁B.甲和丙C.乙和丙D.乙和丁
【答案】D
【解析】根据四人的预测可以知道:
乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符,可以通过假设的方法可以判断出获奖的是乙和丁.
【详解】
乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符,若乙、丁的预测成立,则甲、丙的预测不成立,可知矛盾,故乙、丁的预测不成立,从而获奖的是乙和丁,故选D.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力,假设法是解决此类问题常用的方法.
9.已知椭圆的焦点在轴上,若椭圆的短轴长为4,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意可知:
且,这样可以求出的取值范围.
【详解】
依题意得,
且,故选A.
【点睛】
本题考查了根据椭圆焦点的位置求参问题,考查了解不等式的能力.
10.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【解析】先判断是否成立,如果成立,进入循环体,直至,退出循环体,输出.
【详解】
,故选C.
【点睛】
本题考查了循环结构程序框图,找到退出循环体的条件很是重要.
11.小明和小波约好在周日下午4:
00-5:
00之间在某处见面,并约定好若小明先到,最多等小波半小时;若小波先到,最多等小明15分钟,则小明和小波两人能见面的概率为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设小明到达时间为x,小波到达时间为y,,则由题意可列出不等式,画出图象,利用几何概型公式求出小明和小波两人能见面的概率.
【详解】
设小明到达时间为x,小波到达时间为y,,则由题意可列出不等式,画出图象如图2,计算阴影部分面积与正方形的面积的比值为,故选C.
【点睛】
本题考查了几何概型,考查了不等式组表示平面区域的应用,求出面积是解题的关键.
12.已知双曲线,焦点,是曲线C上的一个动点,点N满足,则点N到原点的最短距离为()
A.2B.C.D.1
【答案】B
【解析】由,可以得出点N的轨迹是以为直径的圆,设,为的中点,,利用圆的性质和双曲线的定义可以求出点N到原点的最短距离.
【详解】
由,得点N的轨迹是以为直径的圆,设,为的中点,,则点N到原点的最短距离为,故选B.
【点睛】
本题考查了圆的几何性质和双曲线的定义,考查了数形结合思想.
二、填空题
13.函数的最大值为_______
【答案】1
【解析】因为,所以可以把函数解析式化简,再逆用两角差的正弦公式化简函数解析式,利用正弦函数的性质求出最大值.
【详解】
所以,因此的最大值为1.
【点睛】
本题考查了二角差的正弦公式的逆用,正弦型函数的最值,考查了三角恒等变换.
14.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则=________
【答案】0
【解析】利用奇函数的性质可以求出,最后求出的值.
【详解】
,所以.
【点睛】
本题考查了复合函数求值问题,考查了奇函数的性质,考查了运算能力.
15.已知在直三棱柱中,,,若此三棱柱的外接球的表面积为,则=________
【答案】2
【解析】根据直三棱柱的几何性质和,可知直三棱柱的外接球的球心是的中点,这样通过计算可以求出的长度.
【详解】
设三棱柱的外接球的半径为
由于直三棱柱的外接球的球心是的中点,所以,在,中,,所以在中,.
【点睛】
本题考查了已知直三棱柱的外接球的表面积求底面边长问题,考查了空间想象能力、运算能力.
16.的内角,的对边分别为,若,则的面积为_______
【答案】
【解析】由正弦定理可以化简,利用面积公式求出的面积.
【详解】
由正弦定理得,
所以,从而.
【点睛】
本题考查了正弦定理、面积公式,正确使用公式是解题的关键.
三、解答题
17.已知为等差数列的前n项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)求,可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组,解这个方程组,求出首项和公差,进而求出等差数列的通项公式;
(2)直接利用等比数列的前n项和公式求出.
【详解】
解:
(1)由,解得,
所以.
(2),所以的前项和.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列前n项和公式,考查了数学运算能力、解方程组的能力.
18.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,,截面是等边三角形,M,N分别是,的中点。
(1)求证:
平面;
(2)若,,求三棱锥的体积。
【答案】
(1)详见解析;
(2).
【解析】
(1)取的中点F,连接,可以证明出是平行四边形,利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理可以证明出平面;
(2)连接交于点O,连接,可以证明出平面,利用三棱锥等积性质可以求出三棱锥的体积.
【详解】
(1)证明:
如图3,取的中点F,连接,
在中,易得,
又在平行四边形中,,
∴,
∴是平行四边形,
∵,平面,平面,
∴平面.
(2)解:
如图,连接交于点O,连接,
在等腰中,,∴,
又在等边中,,
∴平面,
∴,
又,
∴.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理,考查了求三棱锥的体积,考查了空间想象能力和数学运算能力.
19.某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分,具体如下表:
质量指标值M
等级
三等品
二等品
一等品
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本,对其质量指标值M进行统计分析,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”,试估计事件A的概率;
(2)已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元,试估计该企业销售10000件该产品的利润;
(3)根据该产品质量指标值M的频率分布直方图,求质量指标值M的中位数的估计值(精确到0.01)
【答案】
(1)0.84;
(2)61200元;(3).
【解析】
(1)记B表示事件“一件这种产品为二等品”,C表示事件“一件这种产品为一等品”,则事件B,C互斥,且由频率分布直方图估计,用公式估计出事件A的概率;
(2)由
(1)可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值,任取一件产品是三等品的概率估计值,这样可以求出10000件产品估计有一等品、二等品、三等品的数量,最后估计出利润;
(3)求出质量指标值的频率和质量指标值的频率,这样可以求出质量指标值M的中位数估计值.
【详解】
解:
(1)记B表示事件“一件这种产品为二等品”,C表示事件“一件这种产品为一等品”,则事件B,C互斥,且由频率分布直方图估计,
,
又,
故事件A的概率估计为0.84..
(2)由
(1)知,任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19,065,
故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16,
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900,6500,1600件,
故利润估计为元
(3)因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中,
质量指标值的频率为,
质量指标值的频率为,
故质量指标值M的中位数估计值为.
【点睛】
本题考查了频率直方图的应用,考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.
20.设抛物线的方程为,点在抛物线上,过M作抛物线的切线,切点分别为A,B,圆N是以线段为直径的圆.
(1)若点M的坐标为,求此时圆N的半径长;
(2)当M在上运动时,求圆心N的轨迹方程.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)设,利用导数,可求出切线的斜率,进而可求出切线的直线方程,这样利用的坐标,可以求出的值,
这样可以求出直线的斜率,利用弦长公式可以求出圆N的半径长;
(2)N为线段的中点,可以得到,点在抛物线上,得到等式,结合
(1),可以求出圆心N的轨迹方程.
【详解】
解:
(1)设,
∴切线的方程分别为,
得的交点的坐标为,
又,
∴.
(2)∵N为线段的中点,∴,
点在上,即,
由
(1)得,则,
∴,即,
∴圆心N的轨迹方程为.
【点睛】
本题考查了抛物线的切线方程,求圆弦长以及求圆心轨迹问题,解题的关键是数形结合.
21.已知函数的极小值为1.
(1)求a的值;
(2)当时,对任意,有成立,求整数b的最大值。
【答案】
(1)详见解析;
(2)2.
【解析】
(1)求导,根据的不同取值,进行分类讨论,根据极值,求出的值;
(2)由
(1)可知,对函数进行求导,求出函数在的最大值,
即,比较的大小,作差,设新函数,求导,最后可求出的最大值为,对任意,有成立,只需.设函数,求导,最后求出整数b的
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