4重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学.docx
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4重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学
重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学
模拟题(四)
(考试时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)
1.-3的绝对值是(B)
A.-3 B.3 C.
D.-
2.如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周,所得的几何体从正面看到的形状图是(A)
第2题图
3.(2020·沙坪坝区校级一模)计算(4b)2正确的是(D)
A.16bB.8b2C.4b2D.16b2
4.如图,AC是⊙O的切线.切点为C,AO的延长线交⊙O于点B,若∠B=20°,则∠A的度数为(C)
A.40°B.45°C.50°D.60°
第4题图
5.下列计算正确的是(B)
A.3a+2b=5abB.(a3)2=a6
C.a6÷a3=a2D.(a+b)2=a2+b2
6.(2020·沙坪坝区校级三模)如图,△ABC与△DFE是位似图形,且位似中心为O,OB∶OF=2∶1,若线段AC=6,则线段DE为(D)
A.2B.4C.6D.3
7.估计(2
-
)×
的结果应在(B)
A.9.5至10之间B.10至10.5之间
C.10.5至11之间D.11至11.5之间
8.(2020·重庆巴蜀三模)根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入x的值是7,则输出y的值是-2,若输入x的值是-4,则输出y的值是(B)
A.9B.11C.4D.14
9.如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是27°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°,若斜坡AF的坡度i=1∶
,则大树的高度为(结果保留整数,参考数据:
sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.5,sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.1,
≈1.7)(C)
A.8米B.9米C.10米D.11米
10.(2020·重庆南开中学段考)从-2,-1,-
,1,2这五个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组
无解,且使分式方程
+
=-1的解为正分数,那么这五个数中所有满足条件的a的值之和是(A)
A.-3B.-
C.-2D.-
11.如图,在菱形ABOC中,∠A=60°,它的一个顶点C在反比例函数的图象上,若将菱形向下平移1个单位,点A恰好落在函数图象上,则反比例函数的解析式为(C)
A.y=-
B.y=-
C.y=-
D.y=-
第11题图
第12题图
12.★如图,△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,BC=2,D是AB上的动点,将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,连接BE,则BE的最小值是(A)
A.
-1B.
C.
D.2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.计算:
-
+|
-2|=2
.
14.为阻击新冠肺炎疫情,我国在10天内建成了一所建筑面积为34000平方米的“火神山”医院,被世界称赞为“中国速度”.其中34000这个数用科学记数法表示为3.4×104.
15.“五一”节期间,刘杰老师准备自驾从甲地经过乙地到丙地旅游.如图,甲地到乙地有两条路线,乙地到丙地有三条路线.如果刘杰老师从中任选一条从甲地到丙地的路线,则这条路线恰好是最短路线的概率为
.
16.(2020·凉山州)如图,点C,D分别是半圆AOB上的三等分点,若阴影部分的面积是
π,则半圆的半径OA的长为3.
第16题图
第17题图
17.甲、乙两辆汽车从A地出发前往相距250千米的B地,乙车先出发匀速行驶,一段时间后,甲车出发匀速追赶,途中因油料不足,甲到服务区加油花了6分钟,为了尽快追上乙车,甲车提高速度仍保持匀速行驶,追上乙车后继续保持这一速度直到B地,如图是甲、乙两车之间的距离s(km),乙车出发时间t(h)之间的函数关系图象,则甲车比乙车早到11.5分钟.
18.★某超市促销活动,将车厘子、波罗蜜、山竹三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒,分别是蒸蒸日上礼盒、独占鳌头礼盒、吉祥如意礼盒,将礼盒进行销售,每盒的总成本为盒中车厘子、波罗蜜、山竹三种水果成本之和,盒子成本忽略不计,蒸蒸日上每盒分别装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果8千克,4千克,3千克;独占鳌头每盒装有车厘子、波罗蜜、山竹三种水果3千克,8千克,6千克;蒸蒸日上每盒的总成本是每千克车厘子水果成本的14倍,每盒蒸蒸日上的销售利润是60%,每盒独占鳌头的售价是成本的
倍,每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售,获利为每千克车厘子水果成本的2.8倍,当销售蒸蒸日上、独占鳌头、吉祥如意三种礼盒的数量之比为5∶2∶5,则销售的总利润率为44%.
三、解答题(本大题共7个小题,每小题10分,共70分)
19.(本题满分10分,每小题5分)计算:
(1)
×(π-
)0+
;
解:
原式=8×1+2
=8+2
.
(2)
÷
.
解:
原式=
÷
=
÷
=
÷
=
·
=
.
20.(本小题满分10分)如图所示,在△ABC中,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,AD是高,∠BAC=80°,∠C=54°,求∠DAC,∠BOA的度数.
解:
∵AD是高,
∴∠ADC=90°,
∵∠C=54°,
∴∠DAC=90°-54°=36°,
∵∠BAC=80°,∠C=54°,AE是角平分线,
∴∠BAO=40°,
∠ABC=46°,
∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠ABO=23°,
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=117°.
21.(本小题满分10分)新型冠状病毒爆发,教育部部署了“停课不停学”的有关工作,各地都在进行在线教育.小依同学为了了解网课学习情况,对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查,调查课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程,并制成以下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次调查中一共调查了 名学生,其中“名著阅读”所占的圆心角度数为 .
(2)请把条形统计图补全.
(3)在调查的同学中随机选取一名学生,求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率.
(4)若该校一共有3000名学生,请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数.
解:
(1)2÷10%=20(名),
所以本次调查中一共调查了20名学生,
其中“名著阅读”的人数为20-5-6-4-2=3(名),
所以在扇形统计图中,
×360°=54°;
故答案为20,54°;
(2)补全条形统计图如图所示.
(3)他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率=
=
;
(4)3000×
=900(人),
所以估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数为900人.
22.(本小题满分10分)设函数y=k1x+
,且k1·k2≠0,自变量x与函数值y满足以下表格:
x
…
-2
-
-1
-
0
2
3
…
y
…
-
-
m
-
1
3
1
n
…
(1)根据表格直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围 ;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,请根据表格中的数据补全函数图象,并写出该函数的一条性质:
.
(3)结合函数图象,直接写出关于x的不等式k1x+
≥x+1的解集为_____________.
解:
(1)把(0,1),
代入函数y=k1x+
得,
解得
答:
y与x的函数表达式为y=2x-
,
自变量x的取值范围是x≠1.
(2)将x=2代入得n=3,描点补全函数图象如图.
观察图象可知:
当x>1时,y随x的增大而增大;x<1时,y随x的增大而增大;
故答案为当x>1时,y随x的增大而增大;x<1时,y随x的增大而增大;
(3)观察图象可知:
不等式k1x+
≥x+1的解集为
0≤x<1或x≥2,
故答案为0≤x<1或x≥2.
23.(本小题满分10分)一个四位数,记千位和百位的数字之和为a,十位和个位的数字之和为b,如果a=b,那么称这个四位数为“心平气和数”.例如:
1625,a=1+6,b=2+5,因为a=b,所以,1625是“心平气和数”.
(1)直接写出:
最小的“心平气和数”是 ,最大的“心平气和数” ;
(2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置,同时将百位与千位的数字交换,称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”.例如:
1625与6152为一组“相关心平气和数”,求证:
任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数.
(3)求千位数字是个位数字的3倍,且百位数字与十位数字之和是14的倍数的所有“心平气和数”.
(1)解:
最小的“心平气和数”必须以1为千位,而1000显然不符合题意,所以最小的只能是1001,最大的“心平气和数”必须以9开头,后面的数字要尽可能在0~9这九个数字中选最大的,所以最大的“心平气和数”一定是9999.故答案为1001;9999.
(2)证明:
设千位和百位的数字之和为m,十位和个位的数字之和为m,千位数字为a,十位数字为b,所以个位数字为(m-b),百位数字为(m-a),依题意可得,这组“相关心平气和数”之和为(m-b)+10b+100(m-a)+1000a+b+10(m-b)+100a+1000(m-a)=11(m-b)+11b+1100a+1100(m-a)=11(m-b+b+100a+100m-100a)=11×101m,因为m为整数,所以11×101m是11的倍数,所以任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数.
(3)解:
设个位数字为x,则千位数字为3x,显然1≤3x≤9,且x为正整数,故x=1,2,3.又因为百位数字与十位数字之和是14的倍数,而百位数字与十位数字之和最大为18,所以百位数字与十位数字之和只能是14.故可设十位数字为n,则百位数字为14-n,依题意可得,x+n=14-n+3x,整理得,n-x=7,故当x=1时,n=8,当x=2时,n=9,当x=3时,n=10(不合题意舍去),综上所述x=1,n=8时“心平气和数”为3681,x=2,n=9时,“心平气和数”为6592.所以满足题中条件的所有“心平气和数”为3681和6592.
24.(本小题满分10分)(2020春·北碚区校级期末)每年农历五月初五,是中国民间传统节日——端午节.今年端午节,某蛋糕店推出了蛋黄肉粽和白粽两种粽子,其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克30元,白粽的销售单价为每千克20元.5月份,蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克,销售总额为2600元.
(1)5月份蛋黄肉粽的销售数量是多少千克?
(2)为迎接端午节的到来,6月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低了
a%,其销量在5月份的基础上增加了
a%;白粽的销售单价保持不变,其销量在5月份的基础上增加了
a%.6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了
a%,求a的值.
解:
(1)设5月份,蛋黄肉粽的销售数量是x千克,白粽的销售数量是y千克,依题意,得
解得
答:
5月份蛋黄肉粽的销售数量是60千克.
(2)依题意得:
30
×60(1+
a%)+20×40(1+
a%)
=2600(1+
a%),
整理,得a2-50a=0,
解得a1=0(不合题意,舍去),a2=50.
答:
a的值为50.
25.(本小题满分10分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求二次函数的解析式及A点坐标;
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点,求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标;
(3)★M是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N.使以M,N,B,O为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请写出点N的坐标(不写求解过程).
图①
图②
解:
(1)把B(1,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c,则有
解得
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3,
令y=0,得到x2+2x-3=0,解得x=-3或1,
∴A(-3,0).
(2)如图①中,连接AD,CD.
∵点D到直线AC的距离取得最大,
∴此时△DAC的面积最大.
设直线AC解析式为y=kx+b,
∵A(-3,0),C(0,-3),∴
解得
∴直线AC的解析式为y=-x-3.
过点D作x轴的垂线交AC于点G,设点D的坐标为(x,x2+2x-3),则G(x,-x-3),
∵点D在第三象限,
∴DG=-x-3-(x2+2x-3)=-x-3-x2-2x+3=-x2-3x,
∴S△ACD=
·DG·OA=
(-x2-3x)×3=-
x2-
x
=-
+
,
∴当x=-
时,S最大=
,点D
,
∴点D到直线AC的距离取得最大时,
D
.
(3)存在,如图②中,当OB是平行四边形的边时,OB=MN=1,OB∥MN,可得N(-2,-3)或N′(0,-3),当OB为对角线时,点N″的横坐标为2,x=2时,y=4+4-3=5,∴N″(2,5).
综上所述,满足条件的点N的坐标为(-2,-3)或(0,-3)或(2,5).
四、解答题(本大题1个小题,共8分)
26.如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E,点O是对角线AC的中点,点F是线段AD上一点,连接FO并延长交BC于点G,点H为DC延长线上一点,连接HF.
(1)若AC=8,tan∠CAD=
,求△CDE的面积;
(2)若∠H=30°,DE=BG,求证:
DH=CE+
FH.
(1)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
AD=BC,
∴∠CAD=∠ACB,
∵AB⊥AC,∴CD⊥AC,
在Rt△ACD中,
tan∠CAD=
=
,AC=8,∴CD=6,
∵∠ADC+∠CDE=90°,∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠CDE=∠CAD,∴在Rt△CDE中,
tan∠CDE=
=
,AC=8,∴CE=
,
∴S△CDE=
CE·CD=
×
×6=
;
(2)证明:
如图,过点F作FK⊥DH于点K,
∵∠H=30°,∴∠HFK=60°.
∴HK=sin60°·FH=
FH.
连接BD,则OB=OD,∠OBG=∠ODF,
∠BOG=∠DOF,
在△BOG和△DOF中,
∴△BOG≌△DOF(ASA),∴BG=DF.
∵DE=BG,∴DE=DF.
∵AB⊥AC,AB∥CD,∴CD⊥AC,
∴∠DCE=∠FKD=90°.
∵∠CDE+∠CED=90°,∠CDE+∠KDF=90°,∴∠CED=∠KDF.
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